1、屬于特征值=-1的特征向量（- I - A） x = 0第四講矩陣的對角化元糸坐標(biāo)向量加法元素加法坐標(biāo)向量的加法數(shù)乘數(shù)與元素“乘”數(shù)與坐標(biāo)向量相乘線性變換及其作用對應(yīng)關(guān)系矩陣與坐標(biāo)列向量的乘積對任何線性空間，給定基后，我們對元素進(jìn)行線性變換或線性運(yùn)算時， 只需 用元素的坐標(biāo)向量以及線性變換的矩陣即可，因此，在后面的內(nèi)容中著重研究矩陣和向量。對角矩陣的形式比較簡單，處理起來較方便，比如求解矩陣方程Ax二b時, 將矩陣A對角化后很容易得到方程的解。對角化的過程實(shí)際上是一個去耦的過 程。以前我們學(xué)習(xí)過相似變化對角化。那么， 一個方陣是否總可以通過相似變化 將其對角化呢？或者對角化需要什么樣的條件呢？

2、如果不能對角化，我們還可以做哪些處理使問題變得簡單呢？ 一、特征征值與特征向量1.1.定義：對m階方陣A，若存在數(shù)，及非零向量（列向量）x，使得Ax=*、則稱九為A的特征值，x為A的屬于特征值人的特征向量。特征值不唯一特征向量非零( I - A)x二0有非零解，則det(，I - A) = 0,稱det( I - A為A的多項式。12 2 例 1A=1A=21 2，求其特征值和特征向量。22 1丸-1_2_2detpj - A)=_2丸-1_2 =0_2_2九一1(12(-5)01=2 =一13=51可取基礎(chǔ)解系為x - 1112.2.矩陣的跡與行列式ntrA =aii所有對角元素之和i dn

3、deAjji T3.3.兩個定理(1 1)設(shè)A、B分別為m n和n m階矩陣，則tr( AB二t(r B)A(2(2) sylvstersylvster 定理：設(shè)A、B分別為m n和n m階矩陣，則det( lm- AB)八mdet( ln- BA)即：ABAB 與 BABA 的特征值只差零特征值的個數(shù)，非零特征值相同二、矩陣對角化的充要條件定理：n階方陣A可通過相似變換對角化的充要條件是它具有n個線性無關(guān)的特 征向量。證明充分性：已知A具有n個線性無關(guān)的特征向量X1,X2H,Xn，貝UAx二iK i = 1,2卄n,一2 2 2飛1 t 11一 F2 2 2卜2 A。J + U 丿J = J

4、.2 2 2一SJ“3 _匕1 _42-F_0 1口取基礎(chǔ)解系為x1=0 x2=d11|一-1:廠1j屬于，二5的特征向量(51 - A)x二041_2-21飛11 1 1-242巴0一2丨12|一廣2_24上32二A【x冷川I扎iX丸2x|入Jx可見，-為A的特征值，R為A的特征向量， A具有n個線性無關(guān)的特征向量。推論：n階方陣有n個互異的特征值，則必可對角化。（充分條件）三、內(nèi)積空間1.1.EuclidEuclid 空間設(shè)V是實(shí)線性空間（R），對于V中任何兩個元素X、y均按某一規(guī)則存在一個實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，記為X, y，若它滿足-XiX2l|XJ】Xi,X2,|,Xn線性無關(guān)，故P = I.

5、XiX2III Xi 1為滿秩矩陣,0I，則有A P二P “P_AP=上必要性：已知存在可逆方陣0II5將P寫成列向量P -舊巳illPJ1，Pn為n維列向量AR AP HIAPI 1尸2PHnJP令=P，使P_1AP二上二（1 1）交換律x,y二y, X(2)分配律x,y z二X,yX,Z（3 3）齊次律kx, y二k x, y（4 4）非負(fù)性x,x _ 0,當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時，x,x =0則稱x, y為x與y的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間稱為 EuclidEuclid 空間。對于一個給定的線性空間，可以定義多種內(nèi)積，較典型的如三維向量空間的 數(shù)量積就滿足以上四條性質(zhì)，構(gòu)成內(nèi)積。以n維向量

6、空間為例：TT；川制，y12Ulnn可定義內(nèi)積（x, y）=：Z Wj：（wA。），它滿足內(nèi)積的四條性質(zhì)：i丄nn（1 1）X, yi= 6 wi=為Wi i廠y,xi二i二nnn（2）x, y z八Wj1（iJ八Wj i i Wi i二x, y x,zi=1idi丄nn（3 3）kx,y八Wi（kJiWi i=k x,yi=1i Vn（4 4）xxiuWj2-。 當(dāng)且僅當(dāng)x =0時，x,xi；= 0w0TW2該內(nèi)積可寫為：（x,y）=xTWy，其中W =.A10Wn_更一般的，對實(shí)對稱正定矩陣A，x,y二xTAy也滿足內(nèi)積的定義。正定：（1 1）特征值全為正（2 2）各階順序主子式大于 0

7、02.2.酉空間：設(shè) V V 是復(fù)線性空間（kC），對于V中任何兩個元素x、y均按某一規(guī)則存在一個復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，記為x, y，若它滿足（1 1）交換律x,y = y,x（2 2）分配律x,y - zl=：x, y - x,z(3)齊次律kx, y二k x, yororx, ky = k x,y(4)非負(fù)性x,x _ 0,當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時，x,x =0則稱x, y為x與y的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的復(fù)線性空間稱為酉空間。HH以n維向量空間為例，A為厄米（A = A）正定（x Ax 0）矩陣,n nT x,y =x Ay二一 向ji4 j二較常見的比如A = diagwiW2lil Wn，Wi0最簡單

8、：實(shí)x, y二x y復(fù)x, y二x y3.3.正交性：若x, y=0，則稱x與y正交。x與y的夾角：cos（x, y），：稱為x與y的夾角。|x|y|4.4. Gram-SchmidtGram-Schmidt 正交化手續(xù)設(shè)Xi,X2|,Xn為一組線性無關(guān)的元素或向量，可以進(jìn)行如下正交歸一化操（正交規(guī)范化或正交單位化）：X2二x?k?i選擇合適的k?i使x?與yi正父,(X2,%) =(x2,yj k2i(yi,yi) =0X3二X3k3iyik32y2選擇k3i、k32使X3與yi和y2均正父i ioXiyiXTi2 2ok2i二-(X2, yi)X2I X2|3o（X3,yj二民必）=0(X3, yi尸(X3,yi)k3i0 k3i八X3,yi(X3, y2尸(X3,y2) k3 20 k32二-X3,y2X3作業(yè)：P106P106- - 107107 1(1)(2),2,4