1、§1.7近幾年平面向量考點、考題分析【課標(biāo)要求】(1)平面向量的實際背景及基本概念：了解向量的實際背景.理解平面向量的概念及向量相等的含義.理解向量的幾何表示.(2)向量的線性運(yùn)算掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個向量共線的含義.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.(4)平面向量的數(shù)量積理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系

2、.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.(5)向量的應(yīng)用會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.【考綱分析】平面向量的概念與性質(zhì)(共線、模、夾角、垂直等)要重點掌握.在選擇、填空中要重視平面向量的幾何運(yùn)算,也要重視坐標(biāo)運(yùn)算(有時要自己建系).要注意三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心的向量形式和判斷條件.在其它知識，如解析幾何、不等式、函數(shù)中要注意平面向量的工具作用(如平行、垂直可轉(zhuǎn)化向量的關(guān)系求解).【考點摸排】平面向量在各類考試(包括高考試題)中，重點突出向量的工

3、具作用主要考查平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及基本運(yùn)算技能，緊扣平面向量的和、差、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算法則及幾何意義不放松；對于向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)形式下的向量的線性運(yùn)算也頻頻出手；利用向量的工具作用，試題中也經(jīng)常出現(xiàn)和函數(shù)、曲線、數(shù)列等知識結(jié)合，考察綜合運(yùn)用知識能力在近幾年的高考中，小題以填空題或選擇題形式出現(xiàn)，考查了向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，數(shù)乘、數(shù)量積、共線問題與軌跡問題大題則以向量形式為條件，綜合考查了函數(shù)、三角、數(shù)列、曲線等問題.【熱點解析】 熱點1共線與垂直 無論是高考，亦或是平時的各種類型的測試題中，與共線、垂直條件的應(yīng)用相關(guān)聯(lián)的問題比比皆是.雖然它們出現(xiàn)的面孔不盡相同，但主要是圍繞共線

4、、垂直條件的兩種不同表現(xiàn)形式幾何形式和坐標(biāo)形式展開的.有時也會用到共線另一等價形式：.設(shè).不共線，+=1，.R，點P在AB上，則：=+， 反之亦成立.例1.(1)(2013年新課標(biāo)I高考)已知兩個單位向量a、b的夾角為600，若，則_.(2)(2013山東高考)已知向量|=3，|=2且其夾角為1200，若,且 ,則實數(shù)的值為( ).解:(1) , b·c=ta·b+(1-t)b2=1-=0,可得t=2. (2),且， . 即 解得.例2.(1)設(shè)點C在直線AB上，點O在直線AB外，若對xR滿足，0則下列結(jié)論正確的是().A.點C在線段AB的延長線上且點B為線段AC的中點.

5、B.點C在線段AB上.C.點C在線段AB的反向延長線上且點A為線段BC的中點. D.以上情況均有可能.(2) D是的邊BC延長線上一點，記. 若關(guān)于的方程：sin2x-(+1)sinx+1=0在0,2)上恰有兩解，則實數(shù)的取值范圍是( ).A.<-2. B.<-2或. C. D.<-4或.解:(1) A,B,C三點共線，且， -x2-2x=1，可得x=-1. 即. 點C在AB的延長線上且點B為線段AC的中點，故選A. (2) D在邊BC的延長線上， ，則有 1->1，<0. 又由于0、都不是原方程的解， 令t=sinx，則=，由于<0，我們只需要考查“雙鉤函

6、數(shù)”在第三象限的一支，可得當(dāng)<-4或時，直線y=與函數(shù)y=的圖像恰有一個交點，此時sin2x-(+1)sinx+1=0在0,2)上恰有兩解，故選D.熱點2線性運(yùn)算與基本定理 向量線性運(yùn)算及其幾何形式和坐標(biāo)形式，一直都是高考的重點和熱點，各種題型似乎有點眼花繚亂、目不暇接，但大多數(shù)都出現(xiàn)在選填題中，屬容易題或中檔題.平面向量基本定理的應(yīng)用也十分廣泛.例3.(1)(2012江西高考)在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則( ).A.2. B.4. C.5. D.10.(2)如圖1.71，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點P為BCD內(nèi)(含邊界)的動點，

7、設(shè)，則的最大值等于( ).A. B.1. C. D. 解:(1) . 應(yīng)選D. 也可考慮以C為原點，以兩直角邊分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系來求解.OADPBCxy圖1.71 (2)建立如圖1.71所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)P(x，y)， , (x，y)=(0,1)+(3,0)=(3,). 可得 x=3,y=,+=y+. 點P為BCD內(nèi)(含邊界)的動點，由線性規(guī)劃的知識易知，當(dāng)點P為點B(1,1)時，(+)max=故選D. 例4.(1)(2014安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量點滿足.曲線，區(qū)域.若為兩段分離的曲線，則( ).A. B. C. D.(2)(2013年安徽高考)在平面直角坐

8、標(biāo)系中，兩定點滿足，則點集所表示的區(qū)域的面積是( ).圖1.72A. B. C. D.解：(1)設(shè)則，. 所以曲線C是單位元，區(qū)域為圓環(huán).如圖1.72. ，. 應(yīng)選A.(2)由兩定點A，B滿足，知O,A,B三點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形.不妨設(shè)A()，B()再設(shè)P(x，y)由，得：(x，y)=().圖1.73所以，解得由|+|1所以等價于或,或或可行域如圖1.73中矩形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域，則區(qū)域面積為故選D熱點3平面向量的數(shù)量積 與數(shù)量積有關(guān)的問題在各類試題中出現(xiàn)的頻率也是非常高的，在前面我們曾做過專題的討論.這里，我們主要再從利用坐標(biāo)運(yùn)算的角度解題作些介紹.例5.如圖1.74.A是半徑為5的

9、圓O上的一個定點，單位向量在A點處與圓O 相切，點P是圓O上的一個動點，且點P與點A不重合，則·的取值范圍是 .圖1.74解：建立平面直角坐標(biāo)系如下圖,設(shè)點P的坐標(biāo)為 則 , ,所以 因為點在圓上,所以,，即:.所以答案應(yīng)填: 圖1.74例6.四邊形ABCD是半徑為1的圓O的外切正方形，是圓O的內(nèi)接正三角形，當(dāng)繞著圓心O旋轉(zhuǎn)時，的取值范圍是( ).A. B. C. D.解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則，設(shè)，則.熱點4與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.例7.(2011新課標(biāo))已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題. . .其中的真命題是( ).A. B. C. D.解： ，而，解得，同

10、理由，可得.選A.例8. (2013四川高考）在中,角的對邊分別為,且.(1)求的值. (2)若,求向量在方向上的投影.解:(1)由,得 , 即,則,即. (2)由,得, 由正弦定理,有. 由題知,則,故. 根據(jù)余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影為 熱點5與其它的綜合應(yīng)用例9.已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，左頂點為A，若|F1F2|2，橢圓的離心率為e.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)若P是橢圓上的任意一點，求·的取值范圍；(3)已知直線l：ykxm與橢圓相交于不同的兩點M，N(均不是長軸的端點)，AHMN，垂足為H且2

11、3;，求證：直線l恒過定點解:(1)由已知得c=1，a=2，b=. 所求橢圓的方程為 (2)由(1)得A(-2，0),F1(-1,0)，設(shè)P(x0，y0)， . -2x02, ·的取值范圍為0，12. (3), 由得4k2+3>m2. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).則，·()·()2···0， (x12)(x22)y1y20，即(1k2)x1x2(2km)(x1x2)4m20， 4k216km7m20，km或km，均適合當(dāng)km時，直線過A點，舍去當(dāng)km時，直線ykxk過定點.例10.(2013浙江高考)P0是的邊上一定點

12、,滿足,且對于邊上任一點,恒有.則( ).A. B. C. D.解：如圖1.75.設(shè)AB=4，C(a，b)，P(x，0)則BP0=1，A(2，0)，B(2，0)，P0(1，0)圖1.75 =(1，0)，=(2x，0)，=(ax，b)，=(a1，b). 恒有.（2x）（ax）a1恒成立.整理可得x2(a+2)x+a+10恒成立, =(a+2)24(a+1)0,即=a20, a=0，即C在AB的垂直平分線上，AC=BC. 故ABC為等腰三角形,應(yīng)選D.例11.(2011福建高考)設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射滿足：對任意向量以及任意R，均有則稱映射f具有性質(zhì)P.現(xiàn)給出如下映射： 其中，具有性

13、質(zhì)P的映射的序號為_.(寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號).解：由題意知對于：而.故中映射具有性質(zhì)P.對于：，而，故中映射不具有性質(zhì)P.對于：，.故中映射具有性質(zhì)P. 具有性質(zhì)P的映射的序號為.例12.(2011福建高考)已知函數(shù).對于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點A,B,C，給出以下判斷：ABC一定是鈍角三角形. ABC可能是直角三角形.ABC可能是等腰三角形. ABC不可能是等腰三角形. 其中，正確的判斷是( ).A. B. C. D.解：設(shè)這三個點的坐標(biāo)分別是，由于為R上的增函數(shù)，所以，故為鈍角，所以成立，不成立，若為等腰三角形，只有可能是，此時有，即，與矛盾，故正確選B.習(xí)題

14、1.71.在ABC中，邊，過作，且，則 2.(2014四川高考)平面向量，（），且與的夾角等于與的夾角，則( ).A. B. C. D.3.(2014大綱高考)若向量滿足：則( ). A.2. B. C.1. D.4.(2014天津高考)已知菱形的邊長為2，BAD=1200，點分別在邊BC，DC上， 若則l+m=( ). A. B. C. D.5.(2011江西高考)已知2，·-2，則與的夾角為 .6.(2012天津高考)已知正ABC中，AB=2，點P,Q滿足若( ). A. B. C. D.7.在直角中,，P為AB邊上的點,若.則的取值范圍是( ).A. B. C. D.8.若平面向量a，b滿足：|2a-b|3.則a·b的最小值是 .9.(2013上海高考)在邊長為1的正六邊形ABCDEF中,記以A為起點,其余頂點為終點的向量分別為;以D為起點,其余頂點為終點的向量分別為.若分別為的最小值、最大值,其中,.則滿足( ).A. B. C. D. 10. (2013江蘇高考)已知,. (1)若,求證: