1、第4節(jié) 二項(xiàng)式定理考綱解讀1. 能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2. 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.命題趨勢(shì)探究1. 高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，并且高于中等偏易試題.2. 主要考查內(nèi)容是：利用通項(xiàng)求解展開(kāi)式中的某指定項(xiàng)；利用二項(xiàng)式特別是的展開(kāi)式求解系數(shù)或求某些類似于二項(xiàng)展開(kāi)式的式子的值；二項(xiàng)式系數(shù)的有關(guān)問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)精講一、二項(xiàng)式定理.展開(kāi)式具有以下特點(diǎn)：（1）項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng).（2）二項(xiàng)式系數(shù)：依次為組合數(shù).（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，都為次，展開(kāi)式依的降冪、的升冪排列展開(kāi).特別地，.二、二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)（第項(xiàng)） 二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)為.其中的二項(xiàng)式系數(shù).令變量（

2、常用）取1，可得的系數(shù).注 通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式展開(kāi)式的指數(shù)、滿足條件的項(xiàng)數(shù)或系數(shù)、展開(kāi)式的某一項(xiàng)或系數(shù).在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：分清是第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)；在通項(xiàng)公式中，含這6個(gè)參數(shù)，只有是獨(dú)立的，在未知的情況下利用通項(xiàng)公式解題，一般都需要先將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程組求和.3、 二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù) （1）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù) 二項(xiàng)式系數(shù)僅指而言，不包括字母所表示的式子中的系數(shù).例如：的展開(kāi)式中，含有的項(xiàng)應(yīng)該是，其中叫做該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而的系數(shù)應(yīng)該是（即含項(xiàng)的系數(shù)）.（2） 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，.二項(xiàng)展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

3、最大. 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項(xiàng)有兩項(xiàng)，即為第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)和相等并且最大.（3）二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)和 .奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，.系數(shù)和求所有項(xiàng)系數(shù)和，令；求變號(hào)系數(shù)和，令；求常數(shù)項(xiàng)，令。題型歸納及思路提示題型172二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的應(yīng)用思路提示 對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式的認(rèn)識(shí)不僅要關(guān)注展開(kāi)式中對(duì)各項(xiàng)的特點(diǎn)，更重要的是要理解等式兩邊的關(guān)系，右邊是左邊個(gè)因式積的結(jié)果，而左邊是右邊各項(xiàng)和的結(jié)果，這就為此類問(wèn)題的解決提供了思考的方向和解決的思路。例12.30用計(jì)數(shù)原理證明：.解析: ，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，

4、是由個(gè)中的個(gè)中每一個(gè)取，個(gè)中每一個(gè)取相乘取得的，這樣的取法（只需從個(gè)中取，自然剩余個(gè)中取）共有種，即.故變式1在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）A. B. C. D. 變式2在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)（用數(shù)字作答）.變式3的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)（用數(shù)字作答）.題型173二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用思路提示二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)從微觀角度反映了二項(xiàng)展開(kāi)式的全貌，是展開(kāi)式的縮影，它可以用于求二項(xiàng)展開(kāi)式的任意指定項(xiàng)及其系數(shù)等。例12.31（1）（2012安徽理7）的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（ ）A. B. C. D. (2)展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）A. B. C. D. 解析：（1）利用計(jì)數(shù)原理求解，當(dāng)左邊因式取2，所得常數(shù)

5、項(xiàng)為，當(dāng)左邊因式取，所得常數(shù)項(xiàng)為，故展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故選. .故展開(kāi)式中含的項(xiàng).故選.變式1展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)。變式2展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)。變式3已知的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，且，=_.例12.32（1）求證： .（2）求證：.解析 （1）因?yàn)?，又，所以展開(kāi)式至少有4項(xiàng)，即.證畢.（2）首先，顯然有；同時(shí)（至少有3項(xiàng)），故有.變式1，.求證：.變式2求證：.變式3對(duì)于，求證：. 例12.33 (1)展開(kāi)式中的系數(shù)為，=_.(2)(2012重慶理4)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. B. C.D.解析 （1），令x=1得系數(shù)為，的冪，由展開(kāi)式中的的系數(shù)為，得， 。，令，得r=4，即常數(shù)項(xiàng)為.故選B。變

6、式1的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)。變式 2 設(shè)二項(xiàng)式()的展開(kāi)式中的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，若B=4A，則的值為_(kāi)。變式 3展開(kāi)式中與的系數(shù)和為_(kāi)(用數(shù)字作答)。例12.34展開(kāi)式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)。解析：=()依題意，為4的整數(shù)倍，.故展開(kāi)式中系數(shù)為有理項(xiàng)的項(xiàng)共有6項(xiàng)。變式1的第三項(xiàng)和第二項(xiàng)系數(shù)之比為11：2，求展開(kāi)式中有理項(xiàng)有多少個(gè)？變式2(為有理數(shù))，則=（ ） A. 45 B. 55 C. 70 D. 80變式3展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，正整數(shù)的最小值為_(kāi).題型174二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題思路提示有關(guān)系數(shù)和的問(wèn)題不僅要注意二項(xiàng)式系數(shù)和的結(jié)果，重要的是研究二項(xiàng)式系數(shù)所用的方法

7、即賦值法，這里就需要讀者根據(jù)題目結(jié)合已知條件進(jìn)行賦值。例12.35已知=.求（1）；（2）；（3）；（4）.解析 令，則令，則.(1)因?yàn)?，所?(2)(-)2得.(3) (+)得(4)解法一：因?yàn)檎归_(kāi)式中大于零，而小于零，所以=（）（）=2187.解法二：即為展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和，故只需要對(duì)中令即可得的值等于=2187.評(píng)注： 求關(guān)于展開(kāi)式中的系數(shù)和問(wèn)題，往往根據(jù)展開(kāi)式的特點(diǎn)給其中字母一些特殊的數(shù)值，如1，-1等，此即賦值法。變式1已知二項(xiàng)展開(kāi)式，則=_.變式2的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. -40 B. -20 C. 20 D. 40例12.36若=（），則的值

8、為（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. -2解析：在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，令，得，令得，所以，故選C.變式1已知=.若，那么自然數(shù)的值為（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6變式2若，則=_.題型175二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問(wèn)題思路提示二項(xiàng)式系數(shù)最大（?。﹩?wèn)題按前述“知識(shí)點(diǎn)精講”原理求解.系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問(wèn)題需按該項(xiàng)大于（或小于）等于相鄰兩項(xiàng)，列不等式組求解。例12.37展開(kāi)式中：（1）只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則=_;（2）第7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)取最大值，= _.分析：只有一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大是偶數(shù)；有兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大是奇數(shù)。解析：（1）=只有二項(xiàng)式系數(shù)最大，為偶數(shù)，最大值

9、為，得. (2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大二項(xiàng)式系數(shù)為和或或.所以。變式1求展開(kāi)式的系數(shù)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。變式2求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)和系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)。最有效訓(xùn)練題52（限時(shí)30分鐘）1.的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）A. 10 B.-10 C.40 D. -402. (其中且)展開(kāi)式中，與的系數(shù)相等，則=（ ）A. 6 B. 7 C.8 D. 93的展開(kāi)式中，的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)等于（ ）A. B. C. 1 D. 24. 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. -24 B. -6 C. 6 D.245.若展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. -84 B. 84 C. -36 D. 366. 設(shè)=，則的值為（ ）A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 7. 若的展