1、數(shù)值分析課后部分習(xí)題答案習(xí)題 1 (P.14)1.下列各近似值均有4個有效數(shù)字，x* 0.001428, y* 13.521,z* 2.300，試指出它們的絕對誤差和相對誤 差限.解 x* 0.001428=0.1428 10 2 有4 個有效數(shù)，即 n 4, m 2由有效數(shù)字與絕對誤差的關(guān)系得絕對誤差限為1 m n 1610 10 ,22由有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系得相對誤差限為5 10(n 1) 2103；y* 13.521=0.13521 102有 4 個有效數(shù)，即 由有效數(shù)字與絕對誤差的關(guān)系得絕對誤差限為1 m n 12-10- 10 ,2 2由有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系得相對誤差限為蚩

2、10(n 1) 2103；z* 2.300=0.2300 101 有 4 個有效數(shù)，即 n 由有效數(shù)字與絕對誤差的關(guān)系得絕對誤差限為210mn 2103，由有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系得相對誤差限為>0(n1) 41032.下列各近似值的絕對誤差限都是103,試指出它們各有幾位有效數(shù)字.2.00021, y 0.032,z0.00052x*2.00021 0.200021 101 ,即 m由有效數(shù)字與絕對誤差的關(guān)系得110m n10 3 ,3即 m n 3,所以，ny 0.032 0.32 10由有效數(shù)字與絕對誤差的關(guān)系得1 10m n - 10 3 , 22即 m n 3,所以，n3z 0

3、.00052 0.52 10 32；,即由有效數(shù)字與絕對誤差的關(guān)系得m n10即 m n 3,所以，n 0.4.設(shè)有近似數(shù)x*2.41, y 1.84,z2.35且都有3位有效數(shù)字，試計算S x* y*z*,問S有幾位有效數(shù)字 解方法一2.41=0.241 101, y1.84 0.184*101,z2.350.235101都有3位有效數(shù)字,n 3,1,則|e(x*)|10m_ 210 , |e(y*)I210m|e(z*)lm10102,|e(y* z*) |z*e( y*)y*e(z*) |z*|e(y*)| y*|e(z*) |12.35 22_101.841一10222.095 10

4、,|e(x* y *z*) I |e(x*)e(y* z*) I2_102.095 100.2595 10 1又 x* y * z*=2.411.84 2.350.67341011,從而得n 2.方法二2.41=0.241 101, y1.84 0.184101,z2.350.235101都有3位有效數(shù)字，即n 3, m1,則2610 2,怕,汽*)|=|良學(xué)_|x*-1021|e(y*)I -10m n10 2, |e,(y*)I=Ie?Iy*10m10 2, ©(z*)|=| 冬 |z*1 10222.35|e(y* z*) |e(y*) er(z*)|,x*|er(x*-z*)

5、11/)y x* z*y* z*e(y* z*) I2.412.41 1.84 2.35|er(x*) I1.84 2.352.41 1.842.35|er(y*)+er(z*) I”2121.84 1022122.35 10222.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.350.3854 10 22102,由有效數(shù)字與絕對誤差的關(guān)系得n 2.5.序列yn有遞推公式y(tǒng)n若 y0v,21.4110yn 1 1,(n 1,2,(三位有效數(shù)字)，問計算y10的誤差有多大，這個計算公式穩(wěn)定嗎？解用0表示y0的誤差，推公式 yn 10yn 1 1,(n 1,2,)

6、,由y0&1.41 ,得 知計算y的誤差為0=0.0042L1o=0.42L,由遞108,因為初始誤差在計算的過程中被逐漸的放大，這個計算公式不穩(wěn)定習(xí)題 2 ( P.84)3 .證明lk(x) 1,對所有的xk 0其中l(wèi)k(x)為Lagrange插值基函數(shù).從而可得證明令f (x) 1 ,則Ln(X)nlk(x)f (xk)k 0f(n 1)()Rn(x) (-2(n 1)!n 1 ( x)4.Ln(X) f(X)f(xi) 1,n lk(x),0,nlk(x)0求出在x=0,1,2和3處函數(shù)f(x)x2 1的插值多項式.2 一方法一因為給出的節(jié)點個數(shù)為4,而f(x) x 1從而余項R

7、3(x)f()4(x)°，于是 L3(x) f (x) R3(x) f(x)=x2+1(n次插值多項式對次數(shù)小于或等于n的多項式精確成立)方法二 因為 f(0)1, f(1) 2, f(2) 5, f(3) 10,、 (x 1)(x 2)(x 3)1 ,L(x) -=-(x 1)(x 2)( x 3),(0 1)(0 2)(0 3)6li(x)x(x 2)(x 3) =1x(x(1 0)(1 2)(1 3) 22)(x3),l2(x)x(x 1)(x 3) , 1 xi x(2 0)(2 1)(2 3)21)(x3),l3(x)x(x 1)(x 2)(3 0)(3 1)(3 2)1x

8、(x 61)(x2),從而5.L3(x) l°(x)f(0) h(x)f 設(shè) f (x) C2a,b且 f (a)一 一一 一2l2(x)f(2) l3(x)f(3) = x2+1.f (b) 0 ,求證12.maXj f(x)i(b a) ma" f (x)i.a x ba x b證明因 f(a) f(b) 0,則 Li(x) 0,從而 f (x) Ri(x)f 2( ) (x a)(x b),由極值知識得maxj f（x）i6.證明 (f(x)g(x)證明由差分的定義(f (X)g(x)f(x+h)g(xf(x) g(x)12.8(b a) maxJf(X) g(x)f

9、(x+h)g(x h)f (x)lf(x) g(x+h).f(x)g(x)h) f(x)g(x+h) f (x)g(x h) f (x)g(x) f (x) g(x+h)或著(f (x)g(x) f(x+h)g(x h) f (x)g(x)f (x+h)g(x h) f (x h)g(x) f(x h) g(x) f(x) g(x)7.證明n階差商有下列性質(zhì)(a)如果 F(x) cf (x),則 FXo,Xi,L ,x(b)如果 F(x) f (x) g(x),則FX°,Xi,L ,Xn f Xo,Xi,L ,Xnf(x h)g(x) f(x)gcfXo,Xi,L , Xn.gXo,

10、Xl,L , Xn.證明歸納法：由差商的定義(a)如果 F(x) cf(x),則FXi,X2,L ,Xn-FXo, Xi,L ,Xn iFXo,Xi,L ,XnXnX0CfXl，X2，L , Xn-cf Xo, Xi，L , Xn 1XnXof Xi,X2,L , Xn-f X0,Xi,L , Xn 1 c cfXo,Xi,L ,Xn.Xn Xo(b)如果 F(X) f (X) g(x),則FXi,X2,L ,Xn-FXo, Xi,L ,Xn iFXo,Xi,L ,XnXnXo(x)fXl，X2，L ,Xn gXi，X2，L ,Xn-fX0,Xi，L , Xn 1 g X0，,L , Xn 1

11、xnx0f x，x2,Lxn-f x0, xi，L ,x1gx1,x2,L , xn gx0,x1,L , xn 1f x0,x1,L , xn gx0,x1,L ,xn8 .設(shè) f(x) 3x 4x 3x 1 ,求 f2 ,2 ,L ,2 , f 2 ,2 ,L ,2 . 解由P.35定理7的結(jié)論，得7階差商f 20,21 ,L ,27=3 ( f(x)的最高次方項的系數(shù)),8階差商f20,21,L ,28=0 (8階以上的差商均等與0).9 .求一個次數(shù)不超過4次的多項式P(x),使它滿足：P(0) P (0) 0, P(1) P (1) 1, P(2) 1.解方法一先求滿足插值條件P(0

12、) 0, P(1)=1, P(2) 1的二次插值多項式1 23P2(x) = 2x - (L-插值基函數(shù)或待7E系數(shù)法),設(shè) P(x)=P2(x) Ax(x 1)(x 2) Bx (x 1)(x 2)-x2 - x +Ax(x 22'2-1)(x 2) Bx (x 1)(x 2)從而 P (x) =4Bx3+(3A 9B)x2(6A 4B 1)x (2A 3),再由插值條件P(0)1 - 4-B,3 - 4-A得1z331 2所以 P(x)= - x - x -x(x 1)(x 2) - x (x 1)(x 2),1 43 39 2即 P(x)= x x + x 424方法二 設(shè) P(

13、x)=a0 a1x a2xa3xa4x ,貝 UP(x)=a1 2a2x 3a3x2 4a4x3由插值條件 P(0) P(0) 0, P(1) P(1) 1, P(2) 1,得aoai a0+a1+a2+a3+a4 1a1 +2a2+3a3+4a4 1a0+2 a1 +4a2+8a3+16a4 11 43 39 2從而 P(x) = - x -x +- x . 424方法三利用埃爾米特插值基函數(shù)方法構(gòu)造.10 .下述函數(shù)S(x)在1,3上是3次樣條函數(shù)嗎?x3 3x2 2x 1,1 x 2S(x)=32x3 9x2 22x 17, 2 x 3.3x解因為 S (x)=3x6x 2,18x 22

14、,1 x 22x3,6x 6, S (x)=6x 18,而S1(2)=1=S2(2) , S(2)=2=S2(2) , SK2)=6= S2(2),又S(x)是三次函數(shù)，所以函數(shù) S(x)在1,3上是3次樣條函數(shù).補 設(shè)f(x)=x4,試?yán)肔-余項定理寫出以-1,0,1,2 為插值節(jié)點 的三次插值多項式.f (4)()解因為R3(x)寸 4(x) x(x+1)(x 1)(x 2),從而_32L3(x) f (x) R3(x) 2x x 2x習(xí)題 3 ( P.159)1 .設(shè) k(x)；0為a,b上具有權(quán)函數(shù)(x) 0的正交多項式組且k(x)為首項系數(shù)為1的k次的多項式,則 k(x)：0于a,

15、b線性無關(guān).解 方法一 因為 k(x)； °為a,b上具有權(quán)函數(shù) (x) 0的正交多 項式組，則其Gram行列式不等于零，采用反證法：若 °, i, , n于 a,b線性相關(guān)，于是，存在不全為零c°,ci, ,g,使c° °(x)Cii(x) Lcnn(x)0, xa,b上式兩邊與i作內(nèi)積得到C0( i，0)Ci( i，1) L Cn(i，n)0, (i0,1,L ,n)由于Ci不全為零，說明以上的齊次方程組有非零解(C0,C1, ,Cn),故系數(shù)矩陣的行列式為零，即G 0, 1，, n 0與假設(shè)矛盾.方法二 因為 k(x)；0為a,b上具有權(quán)

16、函數(shù)(x) 0的正交多項式 組，則其Gram行列式不等于零，由(P.95)定理2得 x)：。于a,b線 性無關(guān).2 .選擇，使下述積分取得最小值1.01o(a) 1xx dx, (b)0(ex x) dx解(a) 1xx22dx = 1xx22dx=112xx2 ( x2)dx =| x5 11 =：,55.1令1 x x dx=0 ,得=0.(b) 一 ；(exx)2dx =；(exx)2dx1x(e0 3.式.解1 x202(e x) ( x)dx =- 23x)2dx=0 ,得=3 .設(shè) f (x) ,x x取權(quán)函數(shù)為1,3,試用Hi1,x求f(x) 一次最佳平方逼近多項(x)3(1,1

17、)1 xdx(x,x)3x3dx1(f(x),1)x(為了計算簡便)，則34, (1,x)3(x,1)12 ,x dxxdx20,(f (x), x)2632 .x dx34,1得法方程26326320a0a1解得a0a11211所以f(x)的一次最佳平方逼近多項式12P1(x)而3一 x .118 .什么常數(shù)C能使得以下表達式最小?n(f(xi) Cexi)2i 1nT (f(xi) Cexi)2C i 1n_ x；=2 (f(x。Cei)(i 1exi)，令Ti(f(xi) Cexi)2=0,1nf(xi) exi得C ，e2xii 1(f (x),ex)(ex, ex)14.用最小二乘法

18、求解矛盾方程組2x+3y 1 x 4y 9. 2x y 123解方法一方程組可變形為 AX F ,其中A 14 ,F21求解法方程,A F 269409 0 x90 26 y40得到矛盾方程組的解為20.13y+1)2方法二 令 I (x, y) = (2 x+3y 1) 2+ (x 4y+9)2+(2xI (x, y) =4 (2x+3y 1) +2 (x 4y+9) +4 (2 x y+1) x=18x+18 ,I (x, y) =6 (2 x+3 y 1) 8 (x 4y+9) 2 (2 x y+1) y=52y 80一I(x,y) 0 x一I(x,y) 0 y18x 18 052y 8

19、0 0解之得矛盾方程組的解為20.13習(xí)題 4 (P. 207)7 .對列表函數(shù)10f (x)0152127求 f (5), f (5).解一階微商用兩點公式(中點公式)，得f (8) f (2)10由"4)從而二階微商用三點公式(中點公式)，首先用插值法求f(5),5, f (8) 21,得一次插值函數(shù) Li(x) 4x 11,f (5)Li 9,于是,f(2) 2f(5) f (8)328 .導(dǎo)出數(shù)值微分公式,1,3,f (x) ”f(x 2h) 3f(x2) 3f(x 2) f(x32h)并給出余項級數(shù)展開的主部.由二階微商的三點公式(中點公式)，得h(x 2)1 "

20、(xh2) 2f(xh2)f (x3 即,從而h(x 2)1Ef(x3h1) 2f(x 2)hf(x 2)(3)f (x)f (xh(x 2)1.3.=浦(x 2h) 3f(xh) 3f(x f f(x 射(h)分別在x處展開，得f (x 2h), f (x -), f (x -), f (x一 3 一f(x 2h)=f(x)2f (x3f(x *(5)f (x) /8 f (x)h_2O(h )313 2f (x) 3h f (x) (3h)222!2134135 _54y f (x)(h)5! f()(x) (-h) +O(h )f (x h)=f(x) f (x) hf (x) (-)2

21、 f (3)(x)(-)3222!23!21f(x)(h)41f(5)(x)(。)5 O(h5)(2)4!25!2f (x h)=f (x)f(x)( h)-f(x)(h)2-f (x) ( h)3222!23!2；f(4)(x) (h)41f(5)(x)()5O(h5)(3)4!25!2331321(3)33f (x-h)=f (x)f (x) (-h)f (x) (-h)f (x) (-h)222!23!2/f(4)(x)( |h)4(f(5)(x)( 3h)5O(h5)4!25!2 (2) X3 +(3) X3(4), 得即余項主部為卡(x)習(xí)題 5 (P. 299)3.設(shè)A Rnn為對

22、稱矩陣，且加0,經(jīng)高斯消去法一步后，A約化為a01rT a1A2,試證明A2亦是對稱矩陣.證明設(shè)A(aij ) =a11r Ta1,A1其中a 21a 31Man1rai =a12a13Ma1na22a23a2nAi =an2an3a nna11則經(jīng)高斯消去法A約化為AirT a11ana1T，1因而A2 A1 一 a11若A Rnn為對稱矩陣，則Ai為對稱矩陣，且a1 =,易知 A2A11ana1T為對稱矩陣.13.100999998計算 l|A| ,|Ab計算 Cond(A)解(1)計算|A|,及 Cond(A)2.= 199 ,A 100999998,其特征值為1,2 99 9802 ,

23、又a 190 98為對稱矩陣，則9998ATA=A2的特征值為122(99 J9802)2因此 11A |2 max (AT A)A2 max r99 79802 ;A 1*99所以 Cond(A) =|A|991001,| A | =199 ,| A 1 | =1992 39601,A1999 199為對稱矩陣，其特征值為I?99闡2,則(A 1)T A 1=(A 1)2 的特征值為 2,2 (99 J9802)2 ,因此I|A1|2、max(A1)TA1) max(A1)299 磁所以 Cond(A)2二 | A|2 | A 1 II2 (99 J9802)215.設(shè) A Rn n,X R

24、n ,求證(1)閔閔1 n閔；料網(wǎng)1 n網(wǎng)I網(wǎng)1 n圈，證明(2)由(1)閔閔1 II AxilM就”口從而maxx RnAxlnllxlmax£ RnA1n I Amaxnr.1 11 ,x R lx由算子范數(shù)的定義maxxRn xmaxx Rnax1得 1 網(wǎng) |A|L nA .17.設(shè)W Rnn為非奇異陣，又設(shè)| 11|為Rn上一向量范數(shù)，定義 lixilW IWxr II ,求證：閔W是Rn上向量的一種范數(shù)(稱為向量的 W 一范數(shù)).證明 正定性，因 Wxr為一向量， NlW |Wxr |0 ,下證llxrllw =0x=0,，“ "若間W =0即|Wx卜0 ,由向量范數(shù)的正定性得 r rr rWx =0 , W Rnn為非奇異陣，所以x=0 ;“ "若x = J ,則Wxr =0r ,由向量范數(shù)的正定性得|Wxr| =0即I x w =0 .齊次性，任意實數(shù)有| x|W|Wx| = | Wxrll，由向量范|WxrIlixilW ;數(shù)的齊次性，得I x W W x = I Wxr三角不等式，任意實數(shù)x Rn,y Rn,