1、知識(shí)準(zhǔn)備知識(shí)準(zhǔn)備回憶定積分回憶定積分. .設(shè)一元函數(shù) y = f (x) 在a, b可積. 則有niiibaxfxxf10)(limd)(.d)(,0)(面積在幾何上表示曲邊梯形時(shí)當(dāng)baxxfxf如圖0 xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中xi = xi+1 xi , 表示小區(qū)間xi, xi+1的長(zhǎng), f ( i) xi表示小矩形的面積.有一空間幾何體. 其底面是 xoy 面上的區(qū)域d, 其側(cè)面為母線平行于 z 軸的柱面, 其頂是曲面 z= f (x, y), 我們稱為曲頂柱體.我們知道，頂是平面的平頂柱體的體積v = 底面積高，那么曲頂柱體的體積v怎么計(jì)算呢？0yzxz

2、 = f (x,y)d 一、引例一、引例(1)用曲線將d分成 n 個(gè)小區(qū)域 d1, d2, dn , 每個(gè)小區(qū)域di 都對(duì)應(yīng)著一個(gè)小曲頂柱體.如圖z = f (x,y)0yzxz = f (x,y)ddidi計(jì)算步驟(2)由于di很小, 小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體. ( i , i) di .小平頂柱體的高 = f ( i , i).若記 i = di的面積. 則小平頂柱體的體積 = f ( i , i) i 小曲頂柱體體積 f ( i , i) ( i , i)diz = f (x,y)(3)因此, 大曲頂柱體的體積niiiifv1),(分割得越細(xì), 則右端的近似值越接近于精確值v, 若

3、分割得無(wú)限細(xì), 則右端近似值會(huì)無(wú)限接近于精確值v.也就是niiiifv1),(lim1.1.定義定義 設(shè)z=f (x,y)是定義在有界閉區(qū)域dr2上的有界函數(shù). 將d任意分割成n個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的小區(qū)域di(i=1, 2, , n), 其面積記為 i. (i, i) di, 作積f (i, i) i,.max1的直徑記inid,),(1niiiif作和 二、二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的概念與性質(zhì) 若對(duì)任意的分法和任意的取法, 當(dāng) 0時(shí), 和式niiiif1),(的極限存在且極限值都為i, 則稱f (x,y)在d上可積, 記為f (x,y) r(d),并稱此極限值 i 為f (x,y)在d上的

4、二重積分. 記作ddyxf,),(即其中“ ”稱為二重積分符號(hào), d稱為積分區(qū)域, f (x,y)稱為被積函數(shù), d稱為面積元素, x, y稱為積分變量. 和式.),(1稱為積分和niiiif注注1. 定積分niiibaxfdxxf10)(lim)(二重積分niiiidfdyxf10),(lim),(區(qū)別在將小區(qū)間的長(zhǎng)度 xi 換成小區(qū)域的面積 i,將一元函數(shù) f (x)在數(shù)軸上點(diǎn) i 處的函數(shù)值 f (i)換成二元函數(shù) f (x, y)在平面上點(diǎn)(i, i)處的函數(shù)值 f (i, i).可見(jiàn), 二重積分是定積分的推廣. 注注2. 若將d用兩族平行于x軸和y軸的直線分割.(如圖)則除邊界上區(qū)域

5、外則除邊界上區(qū)域外, di都是都是矩形，它矩形，它的面積的面積為：為：故也將二重積分寫(xiě)成故也將二重積分寫(xiě)成ddxdyyxf),(i ixiyxyo此時(shí)面積元素記為此時(shí)面積元素記為 ： d = dxdy i = xi yi(1) 當(dāng)z=f (x, y)0時(shí),.),(曲頂柱體的體積ddyxf(2) 當(dāng)z= f (x, y)0時(shí),)(),(曲頂柱體的體積ddyxf(3)則上在上在無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)且若, 0),(, 0),(,212121yxfdyxfdddddd21),(),(),(ddddyxfdyxfdyxf= (d1上曲頂柱體體積) (d2上曲頂柱體體積).),(,的代數(shù)和表示各小曲頂柱體體積一般d

6、dyxf設(shè)d為有界閉區(qū)域, 以下涉及的積分均存在.性質(zhì)1. .|,|的面積為區(qū)域其中ddddd性質(zhì)2. ddddyxgyxfdyxgyxf),(),(),(),(性質(zhì)3. dddyxfkdyxkfk),(),(,則為常數(shù)設(shè)性質(zhì)4. 則無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)且設(shè),2121ddddd21),(),(),(ddddyxfdyxfdyxf由二重積分的幾何意義知, 當(dāng)f (x, y)0時(shí), vdyxfd曲頂柱體的體積),(如圖若點(diǎn)x處截面面積為a(x), 則體積.)(badxxav三、二重積分的計(jì)算三、二重積分的計(jì)算xy0axa(x)bxyoab)(1xy )(2xy 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域d表示為：表示為：利用

7、直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分我們稱為我們稱為x型型xyoab)(1xy )(2xy , bxa ).()(21xyx （特殊情況）（特殊情況）abzyxo為底，為底，的值等于以的值等于以 ddyxfd ),(.),()()()(21xxdyyxfxa. 0),( yxf假定假定為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積以曲面以曲面),(yxfz )(2xy )(1xy ),(yxfz )(0 xa.),( ),()()(21 dbaxxdxdyyxfdyxfv 0 x.)(badxxav積分區(qū)域積分區(qū)域d為：為：x型型.),( ),()()(21 dbaxxdxdyyxfdyxf 一

8、般地，一般地，.),()()(21baxxdyyxfdx - 先對(duì)先對(duì) y 積分，后對(duì)積分，后對(duì) x 積分的積分的二次積分二次積分, bxa ).()(21xyx .),( ),()()(21dydxyxfdyxfddcyy 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域d為：為：,dyc ).()(21yxy y型型xyocd)(1yx )(2yx xyocd)(1yx )(2yx dcyydxyxfdy)( )(21),( - 先對(duì)先對(duì) x 積分，后對(duì)積分，后對(duì) y 積分的積分的二次積分二次積分若區(qū)域如圖，比不是若區(qū)域如圖，比不是x x型也不是型也不是y y型，型， 3d2d1d在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使在分割

9、后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式得：用積分公式得：.),(),(),(),(321 dddddyxfdyxfdyxfdyxf 則必須分割則必須分割. .例例1 將將dxdyyxf ),(d 化為二次積分?；癁槎畏e分。其中其中 d 由直線由直線4 , 2 , 2 , yyxyxy圍成。圍成。xyo24624xy 2 xy解解 1： 先畫(huà)出積分區(qū)域先畫(huà)出積分區(qū)域 d ，可知可知d 是是 y型。型。24將將 d 向向 y 軸投影。軸投影。 . 42, 2 :yyxyd于是，于是， dxdyyxf ),(ddxyxfyy ),(2 42 dyxyo24624xy 2 xy解解 2： d 也是也是 x型

10、。型。將將 d 向向 x 軸投影。軸投影。26.21ddd 于是，于是，dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf ),( ),( ),(21ddd 41d2d .2, 42 :1xyxd . 42, 64 :2yxxd dyyxfx ),(2 42 dxdyyxfx ),(42 64 dx例例2 計(jì)算計(jì)算 dxy d 其中其中 d 由直線由直線2 , 1 , xyxy圍成。圍成。xyo1212xy 1 y2 x解解 先畫(huà)出積分區(qū)域先畫(huà)出積分區(qū)域 d ，d 是是 x型。型。將將 d 向向 x 軸投影。軸投影。 .1, 21 :xyxd dyxyx 1于是，于是， dxy d 21 dx12xyx122 21 dx 213 22 dyxx212448 xx.8