1、高考導(dǎo)數(shù)壓軸題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)核心考點(diǎn)(精編完美版)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)核心考點(diǎn)目錄題型一 切線型1 .求在某處的切線方程2 .求過(guò)某點(diǎn)的切線方程3 .已知切線方程求參數(shù)題型二 單調(diào)型1 .主導(dǎo)函數(shù)需“二次求導(dǎo)”型2 .主導(dǎo)函數(shù)為“一次函數(shù)”型3 .主導(dǎo)函數(shù)為“二次函數(shù)”型4 .已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍題型三 極值最值型1 .求函數(shù)的極值2 .求函數(shù)的最值3 .已知極值求參數(shù)4 .已知最值求參數(shù)題型四 零點(diǎn)型1 .零點(diǎn)（交點(diǎn)，根）的個(gè)數(shù)問(wèn)題2 .零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用3 .極值點(diǎn)偏移問(wèn)題題型五恒成立與存在性問(wèn)題1 .單變量型包成立問(wèn)題2 .單變量型存在性問(wèn)題3 .雙變量型的恒成立與存在性問(wèn)題4 .等式型包成

2、立與存在性問(wèn)題題型六與不等式有關(guān)的證明問(wèn)題1 .單變量型不等式證明2 .含有ex與lnx的不等式證明技巧3 .多元函數(shù)不等式的證明4 .數(shù)列型不等式證明的構(gòu)造方法題型一切線型1.求在某處的切線方程例1.12015重慶理20求函數(shù)f(x) = 3x%點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程. e解：由胞)=等，彳3f '(x) ="/絲,切點(diǎn)為(1,3),斜率為f '(1)="3 eeee由f(1) = ,得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,),由f '(1)=,得切線斜率為:； eeee3 3切線方程為 y=(x 1),即 3x ey= 0.e e1例2.求f(x) = ex(

3、-+2)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線萬(wàn)程.x111解：由 f(x)=ex4+2),得 f (x) = ex(q+ x+2)由f(1)=3e,得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3e),由f (1) = 2e,得切線斜率為2e；切線方程為 y 3e= 2e(x-1),即 2ex y+ e = 0.1 - x 4 ，*，,-、一一例3.求f(x) = ln汀x在點(diǎn)(0, f(0)處的切線萬(wàn)程.t .1-x11解:由 f(x)=ln1q-x = ln(1-x)-ln(1 + x),得 f (x)=-xTx由f(0)=0,得切點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 0),由f '(0) = 2,得切線斜率為一2;切線方程為y= 2x,

4、即2x + y= 0.x2例4.【2015全國(guó)新課標(biāo)理20】在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C: y=4與直線l: y=kx+ a(a>0)交于M, N兩點(diǎn)，當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M與N處的 切線方程.解：由題意得：a=f,則 x= ± 2Va,即 M( 2y，a), N(2京，a),x2 , x由 f(x)=x2, 彳* f'(x) = x當(dāng)切點(diǎn)為M(-2a, a)時(shí)，切線斜率為f (-2Va)=-Va,此時(shí)切線方程為：Vax+ y + a=0;當(dāng)切點(diǎn)為N(2g, a)時(shí)，切線斜率為f'(2«) = «,此時(shí)切線方程為：Vax y a=0；解題

5、模板一求在某處的切線方程寫(xiě)出f(x)；求出f '(x);寫(xiě)出切點(diǎn)(X0, f(X0)；切線斜率k=f'(x0)；切線方程為 y f(x0)= f '(x0)(xX0).2 .求過(guò)某點(diǎn)的切線方程點(diǎn)P在曲線上點(diǎn)P不在曲線上點(diǎn)P在曲線上Stepl設(shè)切點(diǎn)為(x0, f(x0),則切線斜率f'x0),切線方程為：y f(x0) = f 'x0)(x xo)Step2 因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(a, b),所以 b f(xo) = f zx0)(a xo),解得 x0 = xi 或 x0 = x2Step2 當(dāng) xo=xi 時(shí)，切線方程為 y f(xi)= f'x0)(

6、xxi)當(dāng) xo = x2 時(shí)，切線方程為 y f(x2) = f 'x0)(x x2)1 c 4 ,例1.求f(x) = ？3 + 3過(guò)點(diǎn)P(2, 4)的切線萬(wàn)程.1 3 4解：設(shè)切點(diǎn)為(xo, 3x03+3)，則切線斜率f x0) = xo2,所以切線方程為：y 1xo3+4 = xo2(x xo), 33由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(2, 4),可得 4；xo3+4 = xo2(2 xo),整理得：xo33xo2+ 4=0,解得 xo= 1 或 xo = 2當(dāng)xo = 1時(shí)，切線方程為：x y+ 2=o；當(dāng)xo = 2時(shí)，切線方程為：4x y 4 = o.例2.求f(x) = x34x2+

7、5x 4過(guò)點(diǎn)(2, 2)的切線方程.解：設(shè)切點(diǎn)為(xo, xo3-4xo2+ 5xo-4),則切線斜率 f'xo)=3xo2 8xo+5,所以切線方程為：y- (xo3 4xo2+ 5xo 4) = (3xo2- 8xo+ 5) (x xo),由切線經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(2,4),可得 4-(xo3-4xo2+ 5xo4) = (3xo2 8xo+5) (2-xo), 解得xo= 1或xo= 2當(dāng)xo = 1時(shí)，切線方程為：2x+y 2 = o；當(dāng)xo = 2時(shí)，切線方程為：x y 4 = o.例3.過(guò)A(1 , m)(mw2時(shí)作f(x) = x3 3x的三條切線，求m的取值范圍.解：設(shè)切點(diǎn)為(

8、xo, xo3- 3xo),則切線斜率f 'x(0 = 3xo2 3,切線方程為3y (xo 3xo) = (3xo2- 3)(x xo)切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,m), . m (xo3 4xo2+ 5xo 4) = (3xo2 8xo+ 5) (1 xo),即：一2xo3+3xo2 3m=o,即 m= 2xo3+3xo2 3;過(guò)點(diǎn)A(1, m)(mw2/作f(x) = x33x的三條切線, 方程m= -2xo3+3xo2-3,有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.曲線H(X0)= 2x03+3x02 3與直線y=m有三個(gè)不同交點(diǎn)，H ' X0) = 6x02+ 6x0= 6x0(X0 1)令 H &

9、#39;xO)>0,則 0<x0< 1;令 H x0)<0,則 x0<0 或 x0>1H(x。)在(oo, 0)遞減，在(0,1)遞增，在(1, +8)遞減，H(x0)的極小值=H(0)= 3, H(x。)的極大值=H(1) = 2,由題意得一3< x< 2.例4.由點(diǎn)(一e, e 2)可向曲線f(x) = lnx x1作幾條切線，并說(shuō)明理由1斛：設(shè)切點(diǎn)為(x°, lnx。x。1),則切線斜率f x0) = 1,切線方程為1y一(lnx0 x01)=(踵1)(x-x0),二,切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一e, e 2),1e e 2 (lnx0 x01

10、) = (£1)(e x0),即 lnx0 = x0y=lnx與y=e只有一個(gè)交點(diǎn) x方程lnx°=x0有唯一的實(shí)數(shù)根由點(diǎn)(一e, e 2)可向曲線f(x) = lnx x1作一條切線.解題模板二求過(guò)某點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為(x0, f(x0),則切線斜率f 'x0),切線方程為：y f(x0) = f，x0)(x x0)因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(a, b),所以b f(x0) = f ' x0)(ax0),解得x0= x1或x0 = x2當(dāng)x0=x1時(shí)，切線方程為y f(x1) = f ' x0)(xx。當(dāng) x0=x2 時(shí)，切線方程為 y f(x2) = f &

11、#39; x0)(xx2)3.已知切線方程求參數(shù)解題模板三已知切線方程求參數(shù)已知直線Ax+ By+ C=0與曲線y=f(x)相切設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,則Ax0+C切點(diǎn)縱坐標(biāo)=切點(diǎn)縱坐標(biāo)f(x) b切線斜率=切線斜率同Af (x°)= 一B解方程組得x0及參數(shù)的值.例1.函數(shù)f(x) = an)+b在(1, f(1)處的切線方程為x + 2y3=0,求a, b的值.' 'x十 1 x ,a(x+1).一alnx ,力 -、alnx b 、 x b.斛：f(x) = x+ #x，'f (x)= (x+1)2x2f(1)=11f =2'b=1即a 1b 2 b

12、2a= b= 1bex 1例 2.f(x) = aeXlnx+在(1, f(1)處的切線方程為 y=e(x1)+2,求 a, b 的值.x 一、 xbex 1、 x 1 , 、，x 111由題意知:f(1)=2 即f'(1) = e'b=2ae= ea= 1, b = 2例3.若直線y= kx+b是y=lnx + 2的切線，也是y=ln(x+1)的切線，求b.解：設(shè)y= kx+ b與y=lnx + 2相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1, y= kx+b與y=ln(x+1)相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x2,lnx1+2=kx1 + b x1ln(x2+1) = kx2+b ，由得:x1 = x2+ 1

13、 ,Srk解：. f(x) = ae lnx + -x-, . f (x) = ae (x+lnx)+be 1(一0+ x)由一得：lnx一ln(x2+1)+2= k(x1 x2),將上式代入得：k= 2 1.X1 = 2,代入得：一ln2+2=1 + b. .b=1 ln2.例4.若f(x) = >/X與g(x)=a lnx相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求 a和該切線 方程.qXO = alnx0 解：設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為X0,則 1 a令，由得/Xo = 2a, 布二X0代入得：X0=e2,a = 2切點(diǎn)為(e2, e),切線斜率為，切線方程為x-2ey+ e2=0. 4D1例5.已知函數(shù)

14、f(x)= x3+ax+4，當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線方程y=f(x)的切線.例6.已知函數(shù)f(x) = x2+ ax+ b和g(x)= ex(cx+ d)都過(guò)點(diǎn)P(0,2)且在P處有相同切 線 y=4x+2,求 a, b, c, d 的值.13題型二 單調(diào)型1.主導(dǎo)函數(shù)需七次求導(dǎo)”型I不含參求單調(diào)區(qū)間1 、例1.求函數(shù)f(x)=x(eX1) 2x2勺單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)镽f 'x)=ex(1+x)1x=(x+ 1)(ex+1)令 f'x)>0,得 x< 1 或 x>0;令 f 'x)<0,得1<x<0 f(x)的增區(qū)間為(

15、一oo, 1)和(0, + OO)減區(qū)間為(1, 0)。a例2.求函數(shù)f(x)=(1+a) ex(a>0)在(一8 0)上的單調(diào)性.x，解：f(x)的定義域?yàn)?8, 0)a a .exf x)=e(-x2>+ x+1尸乂2+ ax a)令f x)>0,得x”浮尾,令f，x)<0,得*滬右<x<0f(x)的增區(qū)間為(一8, *),減區(qū)間為(-a產(chǎn)三,0)。解題模版一求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)問(wèn) 求出函數(shù)f(x)的定義域；求f ' x);判斷f 'x0的正負(fù)；f (x) = kx+b注：導(dǎo)函數(shù)的形式是有限的f '(x)=ax2+ bx+c二次求導(dǎo)型

16、寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.注：求單調(diào)區(qū)間結(jié)論一定敘述為f(x)單調(diào)區(qū)間為 討論單調(diào)性可敘述為f(x)在某區(qū)間增(減)多個(gè)相同單調(diào)性區(qū)間要用逗號(hào)隔開(kāi)，不能用U 單調(diào)區(qū)間書(shū)寫(xiě)時(shí)用中括號(hào)還是小括號(hào)問(wèn)題II.主導(dǎo)函數(shù)需 上次求導(dǎo)”型例1.討論函數(shù)f(x)= (x+1)lnx x+1的單調(diào)性.解：f(x)的定義域?yàn)?0, +8)f x)=lnx+"Ll = lnx + 1 xx“111 x1令 Mx) = lnx + x(x>0),則| xl= x-x2= F令 Mx)>0,則 x> 1;令(Xx)<0,則 0<x<1 ,貶)在(0, 1)上遞減，在(1, 十00

17、比遞增.(|(x)讖0)=1>0,從而 f'x)>0；f(x)在(0, +oo比遞增.例2.求函數(shù)f(x)=xe2-x+ex的單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)镽f 'x)=(1x)e2 x+ e令 Mx) = (1x)e2 x+e,則 小'x)=(x 2)e2 x當(dāng)xC (j, 2)時(shí)，小'x)<0,椽)在(8, 2)上遞減;當(dāng) xC (2, +ooM, y x)>0,椽)在(2, +oo比遞增;貶)詞(2)= 1 + e>0；f(x)單調(diào)增區(qū)間為R,無(wú)減區(qū)間.例3.求函數(shù)f(x)=ln(x+1)的單調(diào)區(qū)間.x解：f(x)的定義域?yàn)?/p>

18、(1, 0)U(0, +00)f x)=x (x+ 1)ln(x+ 1)(x+ 1)x2令(|(x) = x(x+1)ln(x+ 1),則 小'x)=ln(x+1)當(dāng)xC (-1, 0)時(shí),x)>0,則 椽)在(1, 0)上遞增(Kx)< 設(shè)0) = 0f x)<0 f(x)在(一1, 0)上遞減當(dāng) xC (0, +00M, y x)<0,椽)在(0, +oo比遞減；(Kx)< 設(shè)0) = 0f x)<0-f(x)在(0, +oo上遞減綜上所述：f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(1, 0)和(0, + °°).x例4.求函數(shù)H(x)= |l

19、nx |一支+C的單調(diào)區(qū)|可.ex _ _Tnx ex+C 0Vx<1解：H(x)=xlnxex+C x>l,.,1 1 2x e?x x+ 2x2當(dāng) xC (0, 1)時(shí)，H x)=-x-=育x exe令(Kx) = -e2x-x+2x2, xC(0, 1)則x)= 2e2x1+4x小x)4 4e2x + 4= 4(e2x1)<0,(|)'x) 在(0, 1)上遞減x)< 小'(0)-3<0. (Kx)在(0, 1)上遞減.貶)< &0) = 1<0,即 H'x)<0H(x)在(0, 1)上遞減r),1 1-2x

20、 e2x- x+2x2當(dāng) xC (1, +00M, H x) = -2=-彳一 x e xe令(|(x) = e2x x+ 2x2, x (1, + 00)貝Ux) = 2e2x 1 + 4x. x> 1x)>0貶)在(1, +8比遞增 .(Kx)> M1) = e2+ 1>0,即 H'x)>0H(x)在(1, +oo 比遞增綜上所述：H(x)在(0, 1)上遞減，(1, +8比遞增.重要方法一二次求導(dǎo)求函數(shù)單調(diào)性”函數(shù)再次求導(dǎo),當(dāng)無(wú)法通過(guò)不等式判斷一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)，可對(duì) 這種再構(gòu)造，再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問(wèn)題的強(qiáng)大武器通過(guò)判斷f ' x)的符號(hào)

21、,來(lái)判斷f 'x)的單調(diào)性；通過(guò)賦特殊值找到f'x0的零點(diǎn)，進(jìn)而得到f'x)的正負(fù)區(qū)間.2.主導(dǎo)函數(shù)為乙次函數(shù)”型例1.求函數(shù) 他)=曰一ax+ 1的單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)镽f 'x)=exa當(dāng)a00時(shí),f'x)>0包成立，. f(x)的增區(qū)間為R當(dāng) a>0 時(shí)，令 f 'x)>0,則 x>lna；令 f 'x)<0,則 x<lna；f(x)的增區(qū)間為(lna, 十 °°)減區(qū)間為(oo, ina)。 綜上所述：當(dāng)a00時(shí)，f(x)的增區(qū)間為R減區(qū)間為(8, ina)。當(dāng)a

22、>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(lna, 十 °°)1 例2.求函數(shù)f(x)= inx ax+/x2勺單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)?0, +8)一，、, 1,1f x)=x a+x= (x+x) a當(dāng)a02時(shí)，f'x)加成立，. f(x)的增區(qū)間為(0, +oo)、/ eg 人 a eha 1/a2- 4 r.a + / a2- 4當(dāng) a>2 時(shí)，令 f x)=0,則 x=或乂=j令 f 'x)>0,則 0V x<a a2 4 6a+Ja2 42 或x>2人 ，-,a Ja2- 4a+a2 4令 f x)<0,則 2<

23、;x<2.,一、一、, _ a Va2_ 4 _ a + /a2 4；f(x)的增區(qū)間為(0,2)和(2，+00)、小,a - Ma2- 4 a + N a2- 4減區(qū)間為(, 2)綜上所述：當(dāng)a02時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0, +oo), 一，、， 、 . a a2 4a+¥a2 4當(dāng)a>2時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0, -2)和(-2, +8),aJa2 4 a + >/ a2 4減區(qū)間為(-2，-2)例3.求函數(shù)f(x)= inx ax的單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)?0, +8)f x)= 1 a x當(dāng) a00時(shí)，f'x)>0,f(x)的增區(qū)間

24、為(0, +oo)當(dāng) a>0 時(shí)，令 f 'x)>0,則 0<x<,；令 f 'x)<0,則 x> 1； aa.f(x)的增區(qū)間為(0,；),減區(qū)間為(；，+8).綜上所述：當(dāng)a00時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0, +OO)1 1、當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0,-),減區(qū)間為仁，+ 00> aa例 4.求函數(shù) f(x)=ax(a+ 1)ln(x+1)(a- 1)的單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)?1, +oo)f x)=aa+ 1 ax 17= Tx+ 1x+ 1當(dāng)一1400時(shí)，ax- 1<Q 即 f'xjwo.f

25、(x)的減區(qū)間為(-1, +00)當(dāng) a>0 時(shí)，令 f'x)>0,則 x>1,令 f'x)<0,則一1<x<aa11；f(x)的增區(qū)間為q, +8),堿區(qū)可為(1, a).綜上所述：當(dāng)一1400時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(一1 , + oo)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(：，+ °°)減區(qū)間為(1,：).例5.求函數(shù)f(x)=xekx (kw0)單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)镽f 'x)= (1 + kx) ekx 1 1當(dāng)k> 0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(一k，+8),減區(qū)可為(OO,-).1 1當(dāng)k

26、<0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(一8, k),減區(qū)間為(k +OO),、一，、, 1 ,1綜上所述：當(dāng)k>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(一1, +8)減區(qū)間為(8, 1).kk1 1當(dāng)k<0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(一8, Q,減區(qū)間為(口 +°°)例6.求函數(shù)f(x)=x alnx (a R)的單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)?0, +8)f xl-x：x ax當(dāng)a00時(shí)，f x)>Q則f(x)的增區(qū)間為(0, +oo)當(dāng) a>0 時(shí)，令 f 'x)>0,則 x>a,令 f 'x)<0,則 0<x<a,；f

27、(x)的增區(qū)間為(a, +8),減區(qū)間為(0, a).綜上所述：當(dāng)a00時(shí),f(x)的增區(qū)間為(0, +oo)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(a, 十 °°)減區(qū)間為(0, a).重要方法一次函數(shù)型(一)1 1當(dāng)導(dǎo)函數(shù)可表小為常見(jiàn)已知函數(shù)，（例如：ex, x + -, -, x2 2x）與一個(gè)常參數(shù)（例 x x1如：a, 2k, 一41 2a 十 1 +41 2a, a）的差的形式時(shí)，可通過(guò)回出已知函數(shù)與常值函數(shù)圖像的方法a '對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.重要方法三一次函數(shù)型（二）二級(jí)分類(lèi)法 當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)（一次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)）時(shí)，可用二級(jí)分類(lèi)法判斷最高次項(xiàng)系數(shù)的正

28、負(fù)；判斷一次方程的根與定義域端點(diǎn)值的大小.3.主導(dǎo)函數(shù)為七次函數(shù)”型例1.求函數(shù)f（x）=x2 2x+alnx的單調(diào)區(qū)間.解：f（x）的定義域?yàn)椋?, +8）,a 2x2 2x+ a a- (2x2+ 2x)f x)=2x 2 + x=x )和(2，+00)x x當(dāng)2W時(shí)，£&）（）則f（x）的增區(qū)間為（0, +oo）1口4人上Y 1 eh 1 1 - 2a 1 +M1 2a當(dāng) 0<a<2時(shí)，令 f x) = 0,則 x=q,2=人，1 41 2a r. 1 + 41 - 2a令 f x)>0,則 0<x<2，或 x>2人,-1、12a 1

29、 +112a.f（x）的增區(qū)間為（0,1 L 1 2a減區(qū)間為(21 +W 2a2)令 f x)<0,則2<x<2>當(dāng) a00時(shí)，令 f 'x)>0,則 x>十1r2a,令 f xl< 0,則 0<x<1+41-2a2"r*L、-r、r1 + 41 - 2a_ 11 +N1 - 2a；f(x)的增區(qū)間為(2，+ °°)減區(qū)間為(0,2)綜上所述：當(dāng)ag時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, 十 °°）1-V1a而(1±亞三，+00),1 41 2a減區(qū)間為(21+52a2),1一.

30、當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0,，一、，一、，1 + 1 2a當(dāng)a00時(shí),f(x)的增區(qū)間為(一方、_>、,、/1 +71 2a,十0°)減區(qū)可為(0,2)ex、，一、例2.求函數(shù) 他戶不也。)單調(diào)區(qū)間.x2十 K'解：f(x)的定義域?yàn)镽f x)=ex(x2+ k) 2xex ex(x2 2x+ k) exk( x2+ 2x)(x2+ k)2(x2+ k)2(x2+ k)2當(dāng)kl時(shí)，f x)>Q f(x)的增區(qū)間為R當(dāng) 0< k< 1 時(shí)，令 f 'x)=0,則 x= 1 小 k, x2= 1 + 71 k令 f'

31、x)>0,則 0<x< 1 yl k,或 x> 1 +/1 k令 f'x)<0,則 1 小一k<x< 1+W k,；f(x)的增區(qū)間為(o, 1)和(1+中與，+8)減區(qū)間為(1 一 . 1 - k, 1 + -1 k)綜上所述：當(dāng)k>OT, f(x)的增區(qū)間為R,當(dāng)0<k<1時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0, 1 產(chǎn)工)和(1+/工,+8)減區(qū)間為(1產(chǎn)工，1+M門(mén))2例3.討論函數(shù)f(x)= x +a(2 lnx)的單調(diào)性. xx+2-ax解：f(x)的定義域?yàn)?0, + oo)-2 a x2 ax+ 2=x2f x)=1 +

32、x2x當(dāng) a&M2時(shí)，f 'x)>Q f(x)的增區(qū)間為(0, + oo)當(dāng) a>2，2時(shí)，令 f 'x)=0,則 x=a-la2- 8a+4a2 8人 a v Ea - /a2 8r.a+4 a2- 8令 f x)>0,則 0<x<2 ，或 x>2高考導(dǎo)數(shù)壓軸題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)核心考點(diǎn)（精編完美版）a , Y n, a y/a2 8a +a2 8令 f x)<0,則一g<x<g,.f（x）的增區(qū)間為（0, ）和（對(duì)孽三8, +2減區(qū)間為（a8, a±）綜上所述：當(dāng)a&北時(shí),f（x）的增區(qū)間為（0,+

33、°0）,19 s艮 、 、a_7a2_ 8a + Ja2 8當(dāng)a>2也時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, g）和（一:, +8）,a 7a2 8 a + Ja2 8減區(qū)間為(, 2)重要方法四二次函數(shù)型（一） , ，一11,一當(dāng)導(dǎo)函數(shù)可表小為吊見(jiàn)已知函數(shù)（例如：ex, x+-,x2 2x）與一個(gè)吊參數(shù)（例x x1如：a, 2k, 1, a）的差的形式時(shí)，可通過(guò)回出已知函數(shù)與常值函數(shù)圖像的方法 a對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論可化為 a- (-2x2+ 2x) k-(-2x2+ 2x) x+2-ax例如：2x2 2x + a, x (0, + oo)x2 2x + k, x Rx2 ax+2, x

34、C(0, + oo)例4.求函數(shù)f（x）= （x k）的單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)镽1ex 1exf ' x)= 2x- 2k+ 四2 2kx+ k2)ek=；(x2- k2)ek當(dāng)k> 0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（一£ k）和（k, +oo）,減區(qū)間為（k, k）.當(dāng)k<0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（k, - k）,減區(qū)間為（一00, k）和（一k, + oo）. 綜上所述：當(dāng)k>0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（一oo, k）和（k, +oo）減區(qū)間為（一k, k）.當(dāng)k<0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（k, -k）,減區(qū)間為（一°°, k）

35、和（一k, + °°）.例5.求函數(shù)f（x）= lnx +ax2+ x（a R）的單調(diào)區(qū)間.解：f（x）的定義域?yàn)椋?, +8）,12ax2+ x+1f x)=x+ 2ax+1 =當(dāng)a0時(shí),f x）>0,則f（x）的增區(qū)間為（0, + oo）.當(dāng) a<0 時(shí)，令 f x)=0,則 xi =上盧三&, x2=，E8a4a4a（此處X1< 0< X2）,故將xi舍去. 1（汪忠：此處X1 X2=-< 0,可知一根為正，一根為負(fù)）2a令 f 'x)>0,則_ 1 _、1 8a0<x<4a 'f（x）的增區(qū)間為

36、（0,4a_ 1 _ 1/1 8a ,_'、-r、r_ 1 _ 'x/1 8a令f'x)>0,則x>士，f(x)的減區(qū)間為(著，+0°)綜上所述：當(dāng)a0時(shí),f（x）的增區(qū)間為（0, 十 °°）.當(dāng)a<0時(shí),f（x）的增區(qū)間為（0,一 1 一41 一 8a4a減區(qū)間為（_ 1 _ N1 8a4a+ OO)1例6.求函數(shù)f(x)= a(xC) 21nx的單調(diào)區(qū)間. x解：f(x)的定義域?yàn)?0, +8), a 2 ax2 2x+af x)=a+7)= z x2 xx2當(dāng)a00時(shí),f x)<0,則f(x)的減區(qū)間為(0,

37、+ oo).(注意：此處 ax2V0, -2x<0, a<0,故 ax2 2x+a<0)當(dāng) a>0 時(shí)，由 ax2 2x+a = 0,得= 4 4a2當(dāng)即al時(shí)，f'x)Q . f(x)的增區(qū)間為(0, + oo)當(dāng)> 0,即 0V a< 1 時(shí)，令 f'x) = 0,則 x11 J1 a211-a2x2='a令 f x)>0,則 0<x<1 小一a21+41a2a 或乂> a1 、1 a2 1 + .,1 a2令 f x)<0,則<x<aa.f(x)的增區(qū)間為(0, .和(1， +8)aa、

38、冷 Lt、-r4 1 一 l 1 - a2 1 + M1 - a2減區(qū)間為(-；, 一：一)aa綜上所述：當(dāng)a00時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(0, + oo).當(dāng)0<a<1時(shí),f（x）的增區(qū)間為（0,減區(qū)間為（1- Ja2,1 + Vl-a2 a )當(dāng)al時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0, +8)，一，x 一 1一、，、一一、一例7.求函數(shù)f(x)= alnx + xi的單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)?0, +8).,_ a 2a(x+1)2+2x ax2+(2a + 2)x+af x)=x+ (x+1)zT x(x+1)2 =x(x+1)2當(dāng)a0時(shí)，f'x)>0, ；f(x

39、)的增區(qū)間為(0, +oo).(注：此處因 a>Q x>0,所以 ax2>0, (2a + 2)x>0, a>0,即 f'x)>0)當(dāng) a<0 時(shí)，由 ax2+ (2a + 2)x+a = 0,得= 8a+4一 1一.當(dāng)&()即 a0 2時(shí)，f x)<0,，f(x)的減區(qū)間為(0, +oo).一 1 一“一，當(dāng)4>0 即一2<a< 0 時(shí)，令 f xl= 0,一(a+ 1) ,2a1 (a+1) +、2a 1則 x1 =, x2 =aa 2a+ 22-(汪：此處由 x1 + x2=1>0, x1x2=-=

40、- 2->0,則 x1>0, x2>0)aa(a+ 1) /2a 1(a+ 1) 2a 1令 f x)>0,貝U 0<x<LS或 x>LX八aa人，(a + 1) 2a 1 (a+ 1)+a/2a 1令 f x)<0,則-X<x<-$aa.f（x）的增區(qū)間為（0,-(a+1)-a)和(一a(a+1) + Wa1a+ OO)減區(qū)間為（(a+1) 2a1 (a+1)+j2a 1綜上所述：當(dāng)a0時(shí),1-當(dāng)一2< a<0 時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, 十 °°）.f（x）的增區(qū)間為（0,(a+1) /2a1 十

41、(a+1) +/2a1、_)和(_, + 00)減區(qū)間為（(a+1) 2a1 (a+1) + /2a 1,1 ,當(dāng)a0 2時(shí),f（x）的減區(qū)間為（0, +8）重要方法五二次函數(shù)型（二） 當(dāng)二次函數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，且不能進(jìn)行因式分解判斷最高次項(xiàng)系數(shù)與零的關(guān)系，分為三類(lèi)a=0, a>0, a<0當(dāng)a = 0時(shí)，很容易判斷正負(fù)；當(dāng)a>0時(shí)，可考慮每一項(xiàng)都為正，從而導(dǎo)數(shù)大于 0;當(dāng)a<0時(shí)，考慮及根與定義域端點(diǎn)值的大小.x2- k例如：17-*。） x2ax2+ x+1, xC (0, + 8、 ax2 2x + a, xC(0, + 0°ax2+ (2a+

42、2)x+a, xC(0, +3a 例8.求函數(shù)f(x)= (1 a)lnx x+2x2勺單調(diào)區(qū)間.解：f（x）的定義域?yàn)椋?, +oo）f x)=1 + ax=ax2 x+ 1 a (x 1)ax+ (a 1)-xx（注 1:此處主導(dǎo)函數(shù)為 g（x） = ax2 x+1a 的= （2a1）2 >0）1 一、（注2：分類(lèi)討論的思想依據(jù)最高次的系數(shù)a=0;八=0,則a=5；對(duì)應(yīng)萬(wàn)_ _1 a 1_ 程的兩個(gè)根相等，即1= ,則a=1；讓其中的根和區(qū)間端點(diǎn)相等，即0=a21a,即a=1。至此，a的取值被分成了 7類(lèi)，即a<0, a= 0, 0<a< 1, a=1, a2212

43、<a<1, a=1, a>1）當(dāng)a<0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, 1）,減區(qū)間為（1, + °°）、 一， 1 a（注 3:此處=-<0<1）a當(dāng)a = 0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, 1）,減區(qū)間為（1, + °°）當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, 1）和（1a, +8）減區(qū)間為（1, 1 一a） 2aa 1 a（注 4:此處 0<1<-）當(dāng)a = 2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, +8）當(dāng)1<a<1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, 1a）和（1, +oo）,減區(qū)間為（工Ta,

44、 1）2 aa（注 5:此處 0<=a<1） a當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1, + °°）減區(qū)間為（0, 1）1 a（注6:此處工一<0<1） a當(dāng)a>1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1, + °°）減區(qū)間為（0, 1）（注7:類(lèi)可以合并，可以可并）綜上所述：當(dāng)a00時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, 1）,減區(qū)間為（1, +oo）1 - 、 .- 1 a.、 -1 a當(dāng)0<a<5時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, 1）和（,+ 減區(qū)可為（1,）2 aa ,1 ,當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0, +8）當(dāng)1<a&l

45、t; 1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0,=a）和（1, +8）減區(qū)間為（=a, 1）2aa當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1, + °°）減區(qū)間為（0, 1）。1例9.求函數(shù)f（x） = 2ax2 （2a + 1）x+2lnx的單調(diào)區(qū)間.解：f（x）的定義域?yàn)椋?, +8）2 ax2- (2a+1)x+2 (x-2)(ax-1)f x) = ax (2a+ 1) + x=x=xxxx（注 1:此處主導(dǎo)函數(shù)是 y= ax2 （2a+1）x+2, =（2a+1）2 8a=（2a1）2 蕓0故主導(dǎo)函數(shù)是可以因式分解的）（注2：分類(lèi)的思想a = 0;八=0,即a = 1;兩根相等9=2

46、,即a=1;其 2a2中一根與端點(diǎn)相等，即1 = 0,則0和1就可以將數(shù)軸分成5部分，即需要分成5 a2類(lèi)）當(dāng)a00時(shí),f（x）的增區(qū)間是（0, 2）,減區(qū)間（2, +8）當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0, 2）和（1, +8）減區(qū)間（2, 1）2aa當(dāng)a = 2時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0, +8）當(dāng)a>2時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0, 1）和（2, +8）,減區(qū)間（a, 2）綜上所述：當(dāng)a00時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0, 2）,減區(qū)間（2, +oo）當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0, 2）和（1, +8）減區(qū)間（2,-） 2aa11 ,當(dāng)a=1時(shí)，f（

47、x）的增區(qū)間是（0, +oo）當(dāng)a>1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0, 1）和（2, +8）減區(qū)間（1，2） 2aaa弓的單調(diào)區(qū)間.例 10.求函數(shù) f(x)= lnx - ax+，a 1, x高考導(dǎo)數(shù)壓軸題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)核心考點(diǎn)(精編完美版)重要方法六 二次函數(shù)型(三)當(dāng)二次函數(shù)的判別式 >0時(shí)，可采用四級(jí)分類(lèi)法.判斷最高次項(xiàng)系數(shù)與零的關(guān)系.判斷根的判別式與零的關(guān)系.兩根的大小比較.根與定義域端點(diǎn)值的大小比較.例如：ax2 x + (1 a), xC(0, 十a(chǎn)x2+ x+a1, xC(0, 十 0°)；ax2+ (2a+1)x+2, xC(0, +31 例11.求函數(shù)f(x

48、) = xexa(2x2+ x)的單調(diào)區(qū)間.解：f(x)的定義域?yàn)镽f ' x) = (1 + x)ex- a(1 + x) = (x+ 1)(ex- a)當(dāng) a00時(shí)，令 f xl>0,則 x>-1；令 f x)<0,則 x< 1；.f(x)增區(qū)間為(一1 , +8),減區(qū)間為(OO, - 1)當(dāng) a<0 時(shí)，令 f 'x)=0, 則 x1 = 1, x2= lna當(dāng)a>l時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(一8 1)和(lna, + 00),減區(qū)間(一1, lna ) e當(dāng)a=2時(shí)，f(x)的增區(qū)間是Re當(dāng)a<1時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(一8 l

49、na)和(一1, + °°)減區(qū)間(lna, - 1 ) e綜上所述：當(dāng)a00時(shí),f(x)增區(qū)間為(一1, +8),減區(qū)間為(oo, - 1)一 1一.當(dāng)a>-時(shí)，f(x)的增區(qū)可是(一00 1)和(lna, + 00),堿區(qū)可(一1, lna )e1 ,當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的增區(qū)間是Re1-當(dāng)0<a<-時(shí)，f(x)的增區(qū)可是(一8 lna)和(一1, 十 °°)減區(qū)可(lna, - 1 ) e_ _.兀例 12.求函數(shù) f(x)= (xa)sinx + cosx, xC(0,昉，a>的單調(diào)區(qū)解：f(x)的定義域?yàn)?0,力f &#

50、39; x)= sinx+ (x a)cosx sinx= (x a)cosx當(dāng)a一時(shí),令f x)>0,則x $ 力；令f，x)<0,則x (0,2.f(x)的增區(qū)間為(J *減區(qū)間為(0, 2當(dāng)2ka<冗時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(2 a),減區(qū)間為(0, j和(a,力綜上所述：當(dāng)aN時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(1力，減區(qū)間為(0, 2當(dāng)2Va<冗時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(2 a),減區(qū)間為(0, 2)和(a,力1例 13.求函數(shù) f(x)=(ax2 x)lnx /ax2+ x(aC R)的單調(diào)區(qū)|可.解：f(x)的定義域?yàn)?0, +8)f ' x) = (2ax 1)

51、lnx+ ax 1 ax+ 1 = (2ax 1)lnx當(dāng)a00時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(0, 1),減區(qū)間是(1, +8)當(dāng)a>0時(shí)當(dāng)2a<1,即a>2時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(0,品和(1, +減區(qū)間是七，1)當(dāng)=1,即a=1時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(0, +oo) 2a2當(dāng)2a>1,即0<a< 2時(shí)，的增區(qū)間是(0,1)和琮，+°°), 減區(qū)間是(1,1)綜上所述：當(dāng)a00時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(0, 1),減區(qū)間是(1, +oo)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(0,白和(1, + °°)減區(qū)間是 1)22a2a

52、,1 ,當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(0, +oo)當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(0, 1)和(，+8)減區(qū)間是(1, 2a)重要方法七二次函數(shù)型(四)主導(dǎo)函數(shù)類(lèi)似于二次函數(shù)形式.例如：f ' x) = (x+ 1)(ex a)；f x0= (x a)cosx, xC(0,自,a>2；f ' x0= (2ax1)lnx , xC(0, +00)；4.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍例1.函數(shù)f(x)=(a>0)為R上單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.ax2H_ 1解:f x)=ex(ax2 2ax+ 1)(ax2+1)2:函數(shù) y= ax2 2ax+ 1 恒過(guò)

53、點(diǎn)(0, 1)f(x)在R上單調(diào).f'x)O在R上恒成立，即ax2 2ax+ 10在R上恒成立當(dāng)a = 0時(shí)，符合題意當(dāng)a<0時(shí)，不符合題意當(dāng) a>0 時(shí)，只需= 4a2 4a<Q 即 0V a< 1綜上所述：a的取值范圍為0, 11例2.函數(shù)f(x) = lnx+- + ax(aC R)在2,+ 00比是單調(diào)函數(shù) 求a的取值氾圍. x11斛：f x)=x x2+ a若f(x)在2,+ oo比是單調(diào)遞增，11，一一一則f x)=- + a>0在2, + 00止恒成立x x21 1a我Q 乂6 2,+ °0).11 一 1令 t=p 則 y= t2

54、t, te(o, 2,則 ye -4,0) a n 0若f(x)在2,+ 8比是單調(diào)遞減，一,11則f x)=1 a0。在2,+ 8比恒成立 x x1 1a克一。乂6 2,+ °0)令 t=5，則 y= t23 tC(0, 2,則 yC -1,0) x4T1綜上所述：aC (00, -4 U0, + oo)注：以上兩題是不明確函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).例3.函數(shù)f(x) = xekx在(一1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.解：f'x)=(1 + kx) ekxKxxekx在(一1,1)內(nèi)單調(diào)遞增,.f'x)/0在(1,1)內(nèi)包成立1 + kx>。在(一1,1)內(nèi)

55、包成立k+10即 k+ Q。，即T4&1例4.函數(shù)f(x) = lnx +x2 ax在定義域上為增函數(shù)，求 a的取值范圍.一一，1解：f x)=-+ 2xa x. f(x)在(0, + 00比為增函數(shù),1.f x)=-+2xa>0在(0, +8 比恒成立x'1 .ac+2x, x (0, + oo) x1(x+2x)min=2V2當(dāng)且僅當(dāng)x=2x,即x=當(dāng)時(shí),29ax例5.函數(shù)f(x) = x2萩(a>0)在(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求b的取值范圍.解:f x)=a(x2 b)(x2+ b)2由題意知，f'x)0在(一1,1)上包成立. x2-b<Q xC

56、(1, 1). b2 x (1, 1)b>l例 6.設(shè) f(x) = lnx + m; mCR,若對(duì)任意 b>a>0, f(b)f(a)<1 包成立，求 m xb a的取值范圍.解：:對(duì)任意b>a>0, f(? f< 1包成立， b a. 八f(b) b f(a) a八、.對(duì)任思b>a>°,ba<0何成立， . F(x) = f(x) x= lnx+mx 在(0, + 00止遞減 x1 m.F x)=m 100在(0, +oo止恒成立 x x2x mx2<Q 即 mAx2+ x, x (0, + oo)1m氣例7.已知函數(shù)f(