1、專題講義平行四邊形十幾何輔助線的作法、知識(shí)點(diǎn):1 .四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1)四邊形的內(nèi)角和等于360° ;(2)四邊形的外角和等于3600 .2 .多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1) n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180 ° ;(2)任意多邊形的外角和等于 3600 .3 .平行四邊形的性質(zhì)：17(1)兩組對(duì)邊分別平行;四邊形ABC北平行四邊形性質(zhì)判定(2)兩組對(duì)邊分別相等;(3)兩組對(duì)角分別相等;(4)對(duì)角線互相平分； (5)鄰角互補(bǔ).4、平行四邊形判定方法的選擇已知條件選擇的判定方法邊1, TK財(cái)期18等1 ，方法，方法一組對(duì)邊平行定義(方法1),方法(3)L角

2、|一組對(duì)角相等一二方法(5)對(duì)角線方法(心5、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法(1)利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形EC求證:例1、如圖，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD勺對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCD日平行四邊形.說(shuō)明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求 證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)， 可 試通過(guò)添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.(2)利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例2、如圖，在 ABO, E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF ED/AC, FG/AC交BC分另為D, G.求證：ED+FG=AC.說(shuō)明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平 行時(shí)，可通過(guò)作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問(wèn)(3)利用對(duì)角線互相平

3、行構(gòu)造年行四邊形例3、如圖，eWJAD-是AAbC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求證BF=AC.說(shuō)明：本題通過(guò)利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行 四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊 形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法(4)連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例4、如圖，在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且AE CF ,請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn),和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需 證明一條線段即可)(5)平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例5、如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果

4、AC 12,BD 10, ABm ,那么m的取值范圍是(A、 1 m 11、2 m 22C、 10 m 12AB圖2例6、已知：如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形(7)延長(zhǎng)例7、已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn),求證:(6)過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2AP AB、課堂練習(xí):1、如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)F,若平行四邊形ABCD的面積為S,則圖中面積為1s的三角形有（2A. 1 個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè) D2、順次連接

5、一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)3、如圖，AD, BC 垂直相交于點(diǎn) O, AB/CD, BC=8, AD=6 , 貝U AB+CD的長(zhǎng)=4、已知等邊三角形 ABC勺邊長(zhǎng)為a,P是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD/ AB,PEE/ BC,PF /AC,點(diǎn) DE、F分別在BC、AC AB上，猜想：PN PE+PF=并證明你的猜想.5、平行四邊形ABC時(shí)，E,G,F,H分別是四條邊上的點(diǎn)，且 AE CF , BC DH ,試說(shuō)明：EF與GH相互平分.6、如圖，平行四邊形ABCD勺對(duì)角線ACffi BD交于Q E、F分別為OB OD勺中點(diǎn)，過(guò)O任作一直線分別交 AR CDT G H.試說(shuō)明：GF/ EH7、如

6、圖，已知AB AC , B是AD的中點(diǎn),試說(shuō)明：CD 2CEE是AB的中點(diǎn).8、如圖，E是梯形ABCD要DC的中點(diǎn).試說(shuō)明：S ABE2 S梯形 ABCD9、已知六邊形 ABCDEF勺6個(gè)內(nèi)角均為120° , CD= 2cm, BO 8cm, AB= 8cm, AF=5cm試求此六邊形的周長(zhǎng).10、已知 ABO等腰三角形，AB=AC D是BC邊上的任一點(diǎn)，且DE AB ,DF AC,CH AB ,垂足分別為 E、F、H,求證：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC中，AB BC ;在Rt ADE中，AD DE ;連結(jié)EC ,取EC的中點(diǎn)M ,連2DM 和 BM .(1)若點(diǎn)D在

7、邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖，求證：BM DM 且 BM DM;(2)如果將圖8-中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否 仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明.圖圖-答案：例 4、(1)連結(jié) BF(2) BF DE 證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè)DB,AC交于點(diǎn)O二.四邊形ABCD為平行四邊形v AE FC四邊形EBFD為平行四邊形例5、解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB. AO OC,DO OB AO AE OC FC 即 OE OF BF DECE ,DC BE ,則有四邊形CDBE為平行四邊形，.在 ACE 中，A

8、C 12,CE BD 10, AE 2AB 2m .12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故選 A例6、證明：過(guò)A,D分別作AE BC于點(diǎn)E , DF BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F .AC2 AE2 CE2 AB2BE2 (BCBE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF 2 (CD2CF2) (BCCF)2 CD2 BC2 2BCCF貝(JAC2 BD2 AB2 BC2CD2 DA2 2BC CF 2BC BE二.四邊形ABCD為平行四邊形二 AB /CD 且 ABCD, ADBCABCDCFAEBDFC900ABEDCF AC22_ 222_2BD A

9、B BC CD DA例7、證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)二.四邊形ABCD為正方形AB / CD 且 AB CD,CD AD,BADBCD90°又丁D DAK900, DF AFCDFKAFBCDABD 90090°八 1八1v CE CD,DF AD22BCEW CDF3 90°CPB900，則DFKPB90°二 AP AB、課堂練習(xí)1、C 2、平行、1045、分析：觀察圖形，EF與HG為四邊形HEGF的對(duì)角線，若能說(shuō)明四邊形HEGF是平行四邊形，根£ B平行四邊形的對(duì)角線互相平分這一性質(zhì)即可得到EF與GH相互平分6、分析：觀察圖形，GF與

10、EH為四邊形GEHF的對(duì)邊，若能說(shuō)明四邊形 EHFG是平行四邊形，平行邊形具有對(duì)邊平行的性質(zhì)可得 GF / EH .7、分析:延長(zhǎng)CE至F,使EF=CE,連結(jié)AF、BF,得四邊形AFBC是平行四邊形，利用平行四邊的性質(zhì)證明 DBCA FBC即可。8、分析:過(guò)點(diǎn)E作MN / AB,交BC于N ,交AD的延長(zhǎng)線于M,則四邊形ABNM是平行四邊形, ABE與四邊形ABNM等底等高,所以SaABE =S梯形ABCD = S平行四邊形ABNM 即可。D M1S平行四邊形ABNM ,接下來(lái)說(shuō)明 219、&延長(zhǎng)BA, FT,交點(diǎn)記作G；廷ED,交點(diǎn)記作H.同理._J=_7=_X=（2% 椎甘&

11、; AHL；與6CDH都是正三角%, F3=CA=FAT.C'n=DH=0H-，. H=（pO0.； B+Z-EH/GA, C+ F=l 用/,AGE/rBH. 因此，四邊%GBHk是平行四邊膨， GB=GA+AB=5-HJ=13, BH=BC-K H=S+2=10. 四功彩的周Kt1J+1U/工76六功形的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)二四步球CBHF的周長(zhǎng)a工=3皿10、證明：過(guò)D點(diǎn)作DGLCH于G又 DELAB 于 E, CH ±AB T H四邊形DGHE為矩形 .DE = GHEH / DG. ./B = /GDC又 AB = AC ./ GDC = /ACB又/ DGC = / DFC

12、=90°CD=DC （公共邊）.-.CDGADCF （AAS）DF=CG又 CH =CG + GH.CH=DF + DG （等量代換）解：立）£渣ABC和乙40岳都是HiA, R AB-BC.ATDE,E虞=/龐匕30。,11又 M 是 EC 的中點(diǎn).，nM=-EC, - EC； - BM-DM, 叉, /. ZMSC= ZKCBZ2/BHE 22XBMC 的外角，ZZKY：ZMCB=2/J® * PI® ZDtE=.ZMDC+ZMCE-11、平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以

13、在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（ 1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：（ 2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形（ 3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線(4)連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且AE CF ,請(qǐng)你以F

14、為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只 需證明一條線段即可)連結(jié)BFBF DE證明：連結(jié)DB,DF，設(shè)DB,AC交于點(diǎn)O四邊形ABCD為平行四邊形 . AO OC, DO OBv AE FC AO AE OCFC 即 OE OF,四邊形EBFD為平行四邊形二BF DE第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果AC 12,BD 10, AB m,那么m的取值范圍是()A1 m 11B2 m 22C10 m 12D5 m 6解：將線段DB沿DC方向平移，使得 DB CE,

15、DC BE ,則有四邊形CDBE為平行四邊形 J在ACE 中，AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m.12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故選 A第三類：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2證明：過(guò)A,D分別作AE BC于點(diǎn)E, DFBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F .AC2AE2CE2AB2BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BC22222222BDDFBF(CDCF) (BC CF) CD BC 2BC CFWJAC

16、2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形AB / CD 且 AB CD, AD BCABCDCFAEBDFC900ABEDCFCFAC2BD2222AB2 BC2 CD2DA2圖4第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4:已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn), 求證：AP AB證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K二.四邊形ABCD為正方形AB / CD 且 AB CD, CD AD, BAD BCD D 90°二 1 K 又' D DAK 90

17、6;, DF AFCDF KAF八八 1八1 . AK CD AB v CE -CD,DF -AD. CE DF22BCD D 90°BCE0 CDF1213 90023 900CPB 900，貝 U KPB 900第五類：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加 輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線相交于 F,則有 AEDs FEC , FAB s FEC , AED s FABAEB圖5第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6已知：如右上圖6,在平行四邊形ABCD