1、第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)（小結(jié)）、函數(shù)o1.鄰域：U（a）,U（a）以a為中心的任何 開區(qū)間；2.定義域：y tanx x k-;y cot x x k ;arctanx xR，y ( i，2) ； y arcSinx x 皿幻arccosx x1,1,y 0, 二、極限1.極限定義:（了解）lim xnan若對于，st.當(dāng)n N時，有|Xna|Note : | xnallim f(x)X X0st.x0時，有f(x)Note : f (x)x0lim f (x)xst.時，有f(x)Note :f(x)2.函數(shù)極限的計算（掌握）(1)定理：lim f (x)X x0f（x。）f (x。)f(

2、x)（2）0型：約公因子，有理化;0limX xx2 1 比如：lim 3， limx 1 x31 x 1A ；（分段函數(shù)）.3 x .1 xx2x 2sin x重要極限xi叫l(wèi)imu(x)sinu (x)0 u(x)；等價無窮小因式代換:tan x : x,si nx: x, arcs in x : x， 1 cosx 4 x2，ex 1 x， ln(1 x) x型：先通分;比如:21x2型：轉(zhuǎn)化為無窮??；1型：重要極限lim 1x 0比如:lim 2x1x x x 2lim 1u(x) 01u(x)帀(3)無窮小量： 無窮小 無窮小=無窮?。粺o窮小 有界量=無窮小mHXcosx2x(4 )

3、函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系:lim f (x)x xAf(x) A，其中:limx x00 (抽象函數(shù))(5 )微分中值定理:f(b)f (a)f ()；比如：arcta nx limarcta n1 /(第3章)bax 1x1(6)羅必達(dá)法則：f (x) limlimf (x)0-比如：tanx xlim(第 3 章)0'iiin 2x 冷 g(x)x xg(x)x 0 x sin x3.數(shù)列極限的計算:夾逼原則：lim11L1.n21. n22n.n2 n積分定義：limn1 nn i 11 n °xdx ； lim qn 0(|q| 1) ; lim n a 1.(第五章)

4、nn、連續(xù)1.函數(shù)在點(diǎn)X。處連續(xù):lim f (x)x &f(X°).一切初等函數(shù)在其定義域都是連續(xù)的2閉區(qū)間上函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)：最大最小值定理： 若f(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上一定有最大、最小值零點(diǎn)定理：設(shè) f(x) Ca,b，且 f(a) f(b) 0,至少有一點(diǎn)(a, b)，使得f( ) 0介值定理：設(shè) f(x) Ca,b，且 f(a) A， f (b) B, A B則對A,B之間的任意常數(shù) C，至少有一點(diǎn) (a,b)，使得f( ) C .四、間斷點(diǎn)1 第一類間斷點(diǎn)：f(xo )、f(xo )存在若f(Xo ) f(Xo ) f (Xo)，則稱Xo為可去間

5、斷點(diǎn);若f(Xo ) f(Xo )，則稱Xo為跳躍間斷點(diǎn)；2.第二類間斷點(diǎn)：f(Xo )、f (Xo )至少一個不存在若其中一個趨向，則稱Xo為無窮間斷點(diǎn)；若其中一個為振蕩，則稱 Xo為振蕩間斷點(diǎn)；第二章導(dǎo)數(shù)與微分(小結(jié))、導(dǎo)數(shù)的概念1. f (Xo)limx 0 x叫HhxofNote :該定義主要用于相關(guān)定理的分析與證明;導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)公式:叫Hh2.分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)性判別:定理：f(x)在Xo處可導(dǎo)f(x)在Xo處即左可導(dǎo)，又右可導(dǎo)f (xo)limxx)f(x) f(Xo)x Xof (Xo)lim f(X) f(x。).XxoXXo3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線斜率 ，即k f (Xo)

6、當(dāng)f (Xo)時，曲線在點(diǎn)(Xo , yo)處的切線、法線方程為:切線方程：y yo f (Xo)(x Xo)；法線方程：y y°1f (Xo)(XXo)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1. 四則運(yùn)算： u(x) v(x) u (Xo) v (Xo) ； u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)；u(x) u (x)v(x) u(x)v (x)v(x)v2(x)；(y)2反函數(shù)求導(dǎo)：y f (x)，x (y)互為反函數(shù)，則f (x)d y3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):y f (x),則 J f(u) (x).4.隱函數(shù)求導(dǎo):F(x, y) 0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，把y看成是x的函數(shù).5.參數(shù)方程：x(t)

7、,y(t),則dxdydtdt dy dx dx dt dty (t) x(t)三、微分1微分的概念：若有yf(X。x)f (X0) a xdyo( x)成立，記作：dy A xNote : dy A xAdxf (x) dx, y f (x), dy f (x)dx ；2微分在近似計算中的應(yīng)用(1 )近似計算f (x)f(X°) f(X°)(X X°).第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、微分中值定理1、羅爾(Rolle)中值定理：(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f ( ) 0.Note :證明導(dǎo)函數(shù)根的存在性 證明原函數(shù)根的唯一性2、拉格朗日中值定理：在(a,b)內(nèi)

8、至少存在一點(diǎn)，使得f()f(b) f(a)b aNote : 把f (b)f-a)用f ()做代換，求極限. b a由ab建立不等式，用于證明不等式3、柯西中值定理： 在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：丄4g ()f(b) f(a) g(b) g(a)Note :用于說明洛必達(dá)法則.二、洛必達(dá)法則(1 )可結(jié)合兩個重要極限、等價無窮小代換,約公因子等方法靈活運(yùn)用(2 )若-，不為分式,可通過令:1，創(chuàng)造分式.t2比如：im x ln(11-)xx通分Z00八取倒數(shù)取對數(shù)三、函數(shù)圖形的描繪(1 )寫定義域，研究 f(x)的奇偶性、周期性;(2) 求 f (x)，f (x)；f (x)0f (x)

9、0(3) 令' '可疑極值點(diǎn)人，'可疑拐點(diǎn)x2 ；f (x)不f(X)不(4) 補(bǔ)充個別特殊點(diǎn)，求漸近線：lim f(x) C， lim f(x)；xx x)(5 )列表分析單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、極值點(diǎn)；(6)畫圖xx1x1x1x2x2x2f(x)ZZf (x)極值點(diǎn)f (x)拐點(diǎn)五、最值的計算：(1 )求f (x)在(a,b)內(nèi)的可疑極值點(diǎn)：為，x2 , L , xm(2)最大值：M max f (xj, f (x2), L , f (xm), f (a), f (b)特別的，(1) f(x)在a,b上只有一個可疑極值點(diǎn)，若此點(diǎn)取得極大值，則也是最大值點(diǎn)(2) f(x

10、)在a,b上單調(diào)時，最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.(3) 對應(yīng)用問題，有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)第四章不定積分、不定積分：f(x)dx F(x) C , 一 f (x)d x f (x) dx f (x) g(x)dx f (x)dx 幾個常用的公式F (x)dx F(x) Cg(x)dx； kf(x)dx k f(x)dx.axdxCIn a-dxIn x Csecx tan xdx secx Ccscxcot xdx cscx C，Note :C為積分常數(shù)不可丟!-J一、換兀積分法：u (x)1. f (x) (x)dxf (u)du .Note :常見湊微分：1 2

11、 1 1dx d(x c), xdxd(x c), dx 2d(、_x c), dx d(ln|x| c)2Jxx11+x2dxd (arc tan x)1d (arc cot x),dxv1 x2d (arcsin x)d (arc cosx) 適用于被積函數(shù)為兩個函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)為一個函數(shù)，比如：e2x 1 dx，若被積函數(shù)多于兩個，比如：sinxc(°sxdx，要分成兩類；1 sin x 一般選擇“簡單”“熟悉”的那個函數(shù)寫成(x)； 若被積函數(shù)為三角函數(shù)偶次方，降次；奇次方，拆項;u (x)2. f(u)duf (x) (x)dxNote :常見代換類型f (x,

12、n ax b )dx , t n ax bf (x 八 a2 x2 )d x , x asintxxf (a )d x, t af (x , . x2 a2 )dx , f(x, ,a2 x2 )dx , f (x , )dx , tx a sectx a ta nt三、分部積分法：uv dx uv uvdx.Note :按“反對幕指三”的順序，誰在前誰為 u uv要比uv容易計算; 適用于兩個異名函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)只有一個，比如:arcsin x 1dx，exdx( t Vx)； 多次使用分部積分法：u u u 求導(dǎo)v v v 積分三、有理函數(shù)的積分1.假分式=多項式+真分式P(x)

13、Q(x)2.真分式=（拆成）若干部分分式之和;Note :拆項步驟：將分母分解:2 2 2Q(x) (x a) (x px q)p2 4q 0根據(jù)因式的情況將真分式拆成分式之和：P (x)AA2B1X C1B2 x C22 2 2 2Q(x) x a x a x px q (x px q)3.逐項積分.注：有時一個題目會用到幾種積分方法，要將所有的方法靈活運(yùn)用，融會貫通!第五章定積分1.定義：a f (x) dxlim0if ( i) Xi12 .幾何意義：f (x)0,ba f(x)dxf(x)0,ba f(x)dx定積分的概念及性質(zhì)nb曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值3.性質(zhì):其中.=(b

14、a)i ；in(1)bf (x)dxaf (x)dx,af (x)dx 0;bdx b aabakf (x)dxba f(x)dx;ba f (x) g(x)dxbf (x)dx aba g (x)d x;bca f(x)dx a f(x)dxbc f (x)dx;若在a,b上f (x)0 ,則bf (x)d x 0 ;a設(shè) M maxf(x), m min f (x)，則 m(ba,b a,bbaf(x)dx f( )(ba)bf (x)dx M (b a)；a4.變上限函數(shù)：(x)af(t)dtdbd (x)Note :f(t)dtf(x);f (t)dt f (x)(x)dxxdx ad

15、(x)da(x)f(t)dt()f (t)dtf(t)dtdx(x)' 'dx(x)a積分中值定理:a)，a,b.x5.牛頓 來布尼茨公式：bba f(x)dx F(x)a F(b) F(a).f (x)(x) f (x)(x)定積分的計算1.換元積分：換元必須換限，無需變量回代，湊微分不必?fù)Q限;2.分部積分：buvdx =uv：bu vdxa3.若f(x)為奇函數(shù)，則aaf(x)dx4.若f(x)為偶函數(shù)，則aaf(x)dxa0 f(x)dx .廣義積分:af(x)dxab f (x)dx ;f(x)dxlimaab f(x)dx ;定積分的應(yīng)用(1)sy2 dxb 1 f 2 (x) dx， yaf (x) (a x b)(2) s(3) S 2(t)2(t) dt，