1、圓周運動中的臨界問題教學目的：會運用受力分析及向心力公式解決圓周運動的臨界問題教學重點：掌握解決圓周運動的兩種典型的臨界問題教學難點：會分析判斷臨界時的速度或受力特征教學內容一、有關概念1、向心加速度的概念2、 向心力的意義由一個力或幾個力提供的效果力二、內容1、在豎直平面內作圓周運動的臨界問題1如圖4- 2- 2和圖4- 2-3所示,沒有物體支撐的小球,在豎直平面內做圓周運動過最高點的情況:臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用:O圖 4-2 2v臨界圖 4 2-32 V mg=m RV0能過最高點的條件：vA JRg,當v> jRg時,繩對球產生拉力,軌道對球產生壓力;不能過最高點的

2、條件：vv v臨界實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道2如圖4 2- 4的球過最高點時,輕質桿對球產生的彈力情況： 當v=0時,FN=mg Fn為支持力； 當0v vv Rg時,Fn隨v增大而減小,且 mg> Fn > 0, Fn為支持力; 當v=/Rg時,Fn=0;當v> /而 時,Fn為拉力,Fn隨v的增大而增大a端連接著一個質量試討論在以下兩種情況向上的支持力 N假設是圖4-2 5的小球在軌道的最高點時,如果 vA 炳,此時將脫離軌道做平拋運動,由于軌道對小球不能產生拉力.例1 長L = 0.5m,質量可以忽略的的桿,其下端固定于 O點,上 2kg的小球A , A繞O點做

3、圓周運動同圖 5,在A通過最高點, 下桿的受力：當A的速率v= 1m/s時 當A的速率v2 = 4m/s時 解析：V0=VgL =寸10.0.5 m/s= V5 m/s小球的速度大于 J5 m/s時受拉力,小于y5 m/s時受壓力.圖4解法一：當 v= 1m/sv V5 m/s時,小球受向下的重力 mg和由牛頓第二定律mg N = mN = mg m2v_Lv2=16N即桿受小球的壓力 16N.當V2 =4m/s寸5 m/s時,小球受向下的mgv2重力mg和向下的拉力 F,由牛頓第二te律mg + F = m匚折mgF= m mg= 44N即桿受小球的拉力 44N.解法二：小球在最高點時既可以

4、受拉力也可以受支持力,因此桿受小球的作用力也可以是拉力或者是壓力.我們可不去做具體的判斷而假設一個方向.如設桿豎直向下拉小球A,那么小球的受力就是上面解法中的的情形.由牛頓第二定律v2v2、mg+ F = m 得 F = m 匚-g當 vi= 1m/s時,當 V2= 4m/s時,F1 = 16NF1為負值,說明它的實際方向與所設的方向相反,即小球受力應向上,為支持力.那么桿應受壓力.F2為正值,說明它的實際方向與所設的方向相同,即小球受力就是向 下的,是拉力.那么桿也應受拉力.l = 0.4m的細繩,一端固定在 O點,另一端拴一質量為 通過最高點A時最小速度; 時的最大速度.F2= 44N.例

5、2 如圖4所示,在傾角0 = 30°的光滑斜面上,有一長 0.2 kg的小球,使之在斜面上作圓周運動,求： 1小球 如細繩受到9.8N的拉力就會斷裂,求小球通過最低點B圖42、在水平面內作圓周運動的臨界問題在水平面上做圓周運動的物體,當角速度3變化時, 物體有遠離或向著圓心運動的要根據物體的受力情況,判斷物體受某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪特別正繩的拉力等.例3一條長度為L體可看質點,半徑有變化趨勢.這時, 一些接觸力,如靜摩擦力、如圖9所示,一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上,其軸線沿豎直方向,母線與軸線之間的夾角為.= 30.,O處,另一端拴著一個質量為 m的小物體物的繩質

6、量不計,一端的位置固定在圓錐體的頂點 物體以速率V繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動.凱時,當V =求繩對物體的拉力;當v =時,求繩對物體的拉力.解析：設小球剛好對錐面沒有壓力時的速率為圖 9o ,那么有2mgtcm30 ml sin 302分解得°I1 .1當 Yggl°時,有T sin 30N cos 302ml sin 30T cos30 N sin 30 2當3 , -gl 0時,小mg 2分解得 T 1633mg 1.03mg2分球離開錐面,設繩與軸線夾角為第2頁共7頁2分解得 T 2mg2分T cos mg 2分 T sin ml sin 30例4 如圖6所示,

7、兩繩系一質量為m= 0.1kg的小球,上面繩長L = 2m,兩端都拉直時與軸的夾角分別為30°與45° ,問球的角速度在什么范圍內,兩繩始終張緊,當角速度為3 rad/s時,上、下兩繩拉力分別為多大？解析：當角速度3很小時,AC和BC與軸的夾角都很小,BC并不張緊.當3逐漸增大到30.時,BC才被拉直這是一個臨界狀態(tài),但BC繩中的張力仍然為零.設這時的角速度為31,那么有：Taccos30° = mgTACsin30° = m3 12Lsin30 °當角速度3繼續(xù)增大時將條件代入上式解得婦=2.4 rad / sTac減小,Tbc增大.設角速度

8、到達3 2時,Tac = 0 這又是一個臨界狀態(tài),那么有:T Bccos45° = mgTBcsin45 ° = m w 22Lsin30 °將條件代入上式解得3 2= 3.16 rad / s所以 當3滿足 2.4 rad / sv 3 v 3.16 rad / s, AC、BC兩繩始終張緊.此題所給條件3= 3 rad/s,此時兩繩拉力Tac、Tbc都存在.TAcsin30 ° + TBcsin45° = m w 2Lsin30 °Taccos30° + T Bccos45° = mg將數據代入上面兩式解得Ta

9、c = 0.27N ,Tbc = 1.09N注意：解題時注意圓心的位置半徑的大小.如果3 V 2.4 rad/s時,Tbc = 0, AC與軸的夾角小于 30° .如果3 > 3.16rad/s時,Tac = 0, BC與軸的夾角大于 45° .例5如圖7所示,細繩一端系著質量 M = 0.6kg的物體,靜止在水平面上,另一端通過光滑的小孔吊著質量m=第12頁共7頁0.3kg的物體,M的中與圓孔距離為 0.2m,并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N.現使此平面繞中央軸線轉動,先以m=0為題引入,由淺入深問角速度3在什么范圍 m會處于靜止狀態(tài)？ g= 10m/ s2 解析

10、：要使m靜止,M也應與平面相對靜止.而 M 與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài)：當3為所求范圍最小值時,M有向著圓心運動的趨勢,水平面對 M的靜摩擦力的方向背離圓心,此時,對有解得大小等于最大靜摩擦力M運用牛頓第二定律.T fm = M 3 12r3 1 = 2.9 rad/s2N.且T = mg當3為所求范圍最大值時,最大靜摩擦力2N.再對M運用牛頓第二定律解得M有背離圓心運動的趨勢,水平面對M的靜摩擦力的方向向著圓心,大小還等于所以,題中所求3的范圍是：例6如圖8所示,水平轉盤上放有質量為物塊和轉軸的繩剛好被拉直倍.求：有T + fm= M 3 22r3 2= 6.5 rad/s2.9 rad/s

11、v 3 v 6.5 rad/sm的物塊,當物塊到繩上張力為零.物體和轉盤間最大時,細繩的拉力 T1.當轉盤角速度3 1 =轉軸的距離為r時,連接 靜摩擦力是其下壓力的當轉盤角速度3 2=/-盧時,細繩的拉力T2.解析：設轉動過程中物體與盤間恰好到達最大靜摩擦力時轉動的角速度為,那么,解得(1)由于,所以物體所需向心力小于物體與盤間的最大摩擦力,那么物與盤間還未到最大靜摩擦力,細繩的拉力仍為 0,即(2)由于,所以物體所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力,那么細繩將對物體施加拉力,由牛頓的第二定律得:,解得3、連接體的臨界問題例1、如下列圖,勻速轉動的水平圓盤上,放有質量均為m的小物體A、B ,

12、 A、B間用細線沿半徑方向相連,它們到轉軸距離分別為RA=20cm, RB=30cm. A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍,試求：(1) 當細線上開始出現張力時,圓盤的角速度3.；(2) 當A開始滑動時,圓盤的角速度3；(3) 當即將滑動時,燒斷細線,A、B狀態(tài)如何？答案：(1)當細線上開始出現張力時,說明 B與盤間的靜摩擦力已到達最大,設此時圓盤角速度為3是 kmg=m&3 o0解得：0 kg/rB =3.7rad/s當A開始滑動時,說明 A與盤的靜摩擦力也已到達最大,設此時盤轉動角速度為,線上拉力為 對 B： FfBm+FT=mE2Ft那么,對 A： FfAm-F T=

13、mrA«2又:FfAm=FfBm=kmg解得 3 =4rad/s .(3)燒斷細線,A與盤間的靜摩擦力減小, 繼續(xù)隨盤做半徑為 i=20cm的圓周運動,而B由于FfBm缺乏以提供必要的向心力而做離心運動.答案：(1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A做圓周運動,B做離心運動分析：1、利用極限分析法的“放大思想分析臨界狀態(tài).認清臨界情景和條件,建立臨界關系是解決此類問題的關鍵.中的連接體加速度一般不同,所以,解決這類連接體的動力學問題時一般用隔離法.但也可用整體法來求解.2、圓周運動三、穩(wěn)固練習31、汽車通過拱橋顆頂點的速度為10 m/s時,車對橋的壓力為車重的 -.如

14、果使汽車駛至橋頂時對橋恰無壓力,那么汽車的速度為()A、15 m/ sB、20 m/ sC、25 m / sD、30m/ s2、如下列圖,在勻速轉動的圓盤上,沿直徑方向上放置以細線相連的A、B兩塊.A的質量為,離軸心,B的質量為,離軸心,A、B與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5倍,試求1 當圓盤轉動的角速度為多少時,細線上開始出現張力？2欲使A、B與盤面間不發(fā)生相對滑動,那么圓盤轉動的最大角速度為多大？解析：1 較小時,A、B均由靜摩擦力充當向心力,增大,可知,它們受到的靜摩擦力也增大,而,所以A受到的靜摩擦力先到達最大值.再增大,AB間繩子開始受到拉力.由,得：2 到達 后,再增

15、加,B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同來提供,A增大的向心力靠增加拉力來提供,由于A增大的向心力超過 B增加的向心力,再增加,B所受摩擦力逐漸減小,直到為零,如再增加,B所受的摩擦力就反向,直到達最大靜摩擦力.如再增加,就不能維持勻速圓周運動了, A、B就在圓盤上滑動起來.設此時角速度為 ,繩中張力為 ,對A、B受力分析：對A有對B有聯立解得:3、一內壁光滑的環(huán)形細圓管,位于豎直平面內,環(huán)的半徑為 R 比細管半徑大得多.在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球可視為質點.A球的質量m,B球的質量為m2,它們沿環(huán)形管順時針運動,經過最低圖 39-3點時的速度都為 vo,設A球運動到最低點,B球恰

16、好運動到最高點.假設要此時兩球作用于圓管的合力為零,那么 mi、m2、R與v0應滿足的關系式是.97年高考題4、如圖39-3所示,物體P用兩根長度相等、不可伸長的細線系于豎直桿上,它們隨桿 轉動,假設轉動角速度為3 ,那么 ABCA. 3只有超過某一值時,繩子 AP才有拉力B .繩子BP的拉力隨3的增大而增大C .繩子BP的張力一定大于繩子 AP的張力D.當3增大到一定程度時,繩 AP的張力大于BP的張力5、如圖2所示,在勻速轉動的水平圓盤上, 沿半徑方向放著用細線連接的質量相等的兩物體A和B,它們與盤間的摩擦因數相同.當圓盤轉速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時,燒斷細線,那么兩物體的運動情況將

17、是【】A兩物體均沿切線方向滑動B. 兩物體均沿半徑方向滑動,離圓盤圓心越來越遠C. 兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動,不會發(fā)生滑動D. 物體A仍隨圓盤一起做勻速圓周運動,不會發(fā)生滑動； 物體B發(fā)生滑動,沿一條曲線向外運動,離圓盤圓心越來越遠6、半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上,如下列圖.頂部有一小物體甲,今給它一個水平初速度 vo=JgR,物體甲將A .沿球面下滑至M點B. 先沿球面下滑至某點 N,然后便離開球面做斜下拋運動C. 按半徑大于R的新的圓弧軌道做圓周運動D. 立即離開半圓球做平拋運動7、長度為0. 5m的輕質細桿 OA , A端有一質量為 3kg的木球,以.點為圓心,在豎直面 內

18、作圓周運動,如下列圖,小球通過最高點的速度為2m/s,取g = 10 m/s2,那么此時球對輕桿的力大小是,方向向.8、如下列圖,在勻速轉動的水平盤上,沿半徑方向放著用細線相連的質量相等的兩物體 和B,它們與盤間的摩擦因數相同,當圓盤轉速加快到兩物體剛好沒有發(fā)生滑動時,燒斷細線, 那么兩物體的運動情況將是A. 兩物體均沿切線方向滑動B. 兩物體均沿半徑方向滑動,遠離圓心C. 兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動,不會滑動D. 物體A仍隨圓盤做勻速圓周運動,物體B沿曲線運動,遠離圓心9、如下列圖,木板 B托著木塊A在豎直平面內作勻速圓周運動,從與圓心相平的位置 動到最高點b的過程中A、B對A的支持力

19、越來越大B、 B對A的支持力越來越小'3零C、 B對A的摩擦力越來越大''、/D、B對A的摩擦力越來越小10、如下列圖,兩根長度相同的細繩,連接著相同的兩個小球讓它們在光滑的水平面內做勻速圓周運動,其中O為圓心,兩段繩子在同一直線上,此時,兩段繩子受到的拉力之比Ti : T2為 A、1 : 1B、2 : 1C、3: 2D、3: 1M在水平板上 小球運動t時12、一內壁光滑的環(huán)形細圓管,位于豎直平面內,環(huán)的半徑為與細管內徑相同的小球可視為質點, A球的質量為經過最低點時的速度都是 v°,設A球運動到最低點時,合力為零,那么 m,m2, R與vo應滿足的關系.R 比細管的半徑大得多,在圓管中有兩個直徑 m,B球的質量為 m2,它們沿環(huán)形圓管順時針運動, B球恰好運動到最高點,假設要此時兩球作用于圓管的11、如下列圖,小球M與穿過光滑水平板中央的小孔 O的輕繩相連,用手拉著繩的另一端使 作半徑為a ,角速度為3 1的勻速圓周運動, 求：1此時M的速率.2假設將繩子忽然放松一段, 間后又拉直,此后球繞 O作半徑為b的勻速圓周運動,求繩由放松到拉直的時間t .圓周運動補充1 .一探照燈照射在云層底面上,云層底面是與地面平行的平面,如下列圖,云層底面距地面高h,探照燈以角速度3在豎直平面內轉動,當