1、.函數間斷點求法兩個基本步驟1、間斷點（不連續(xù)點）的判斷在做間斷點的題目時， 首要任務是將間斷點的定義熟記于心。下面我們一起看一下教材上間斷點的定義：2、間斷點類型的判斷找出函數的間斷點后， 然后判斷間斷點的類型， 主要通過間斷點的左右極限情況來劃分：（1）第一類間斷點：在間斷點處的左右極限都存在可以分為以下兩種：可去間斷點：左右極限存在且相等；跳躍間斷點：左右極限存在但不相等（2）第二類間斷點： 在間斷點處的極限至少有一個不存在 經常使用到的，有以下兩種形式的第二類間斷點：無窮間斷點：在間斷點的極限為無窮大.振蕩間斷點：在間斷點的極限不穩(wěn)定存在?間斷點：是 f(x) 的間斷點， f(x)在點

2、處的左右極限都存在為第一類間斷點.f(x)至少有一個不存在，則是 f(x) 的第二類間斷點 .第一類間斷點中第二類間斷點：無窮間斷點，振蕩間斷點等.下面通過一道具體的真題，說明函數間斷點的求法：函數的間斷點一、函數的間斷點設函數 f x在點 x0 的某去心鄰域內有定義在此前提下，如果函數f x 有下列三種情形之一：1在 x x0 沒有定義；2雖在 xx0 有定義，但 lim fx 不存在；x x0.3雖在 x x0有定義，且 lim fx 存在，但 lim f xf x0 ；x x0x x0則函數 f x 在點 x0 為不連續(xù)，而點x0 稱為函數f x 的不連續(xù)點或間斷點下面我們來觀察下述幾個

3、函數的曲線在x1點的情況，給出間斷點的分類：y x1x 21y1yxy221111x11x在 x1連續(xù)在 x1間斷， x1極限為 2yx1， x1yx 1， x11， x1x， x1yy221111x11x在 x1間斷， x1極限為 2在 x1間斷，x 1左極限為 2，右極限為 11y sin1yxx 1y1x在 x0 間斷， x0 極限不存在1像這樣在x0 點左右極限都存在在 x1，。間斷 limx1的間斷，稱為第一類間斷，其中極限存在的x 1稱作第一類間斷的可補間斷，此時只要令 y 12 ，則在 x1 函數就變成連續(xù)的了；被稱作第一類間斷中的跳躍間斷被稱作第二類間斷，其中也稱作無窮間斷，而

4、稱作震蕩間斷就一般情況而言，通常把間斷點分成兩類：如果x0 是函數f x 的間斷點，但左極限.f x00 及右極限f x00 都存在， 那么 x0 稱為函數f x 的第一類間斷點 不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點在第一類間斷點中，左、右極限相等者稱為可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點無窮間斷點和振蕩間斷點顯然是第二類間斷點sin x, x0xf (x)a, x0x sin 1b, x00處連續(xù)例 1 確定 a、 b 使x在 x解： f ( x) 在 x0處連續(xù)lim f (x)limf (x)f (0)x0x0limf (x)lim1bblimf ( x)limsin x1x s

5、inx因為 x 0x 0x； x 0x 0； f ( 0) a所以 ab 1時， f (x) 在 x0處連續(xù)例 2求下列函數的間斷點并進行分類f ( x)x211、x1分析 ：函數在 x1處沒有定義，所以考察該點的極限x211)2limxlim (x，但 f ( x) 在 x1處沒有定義解：因為x11 x1所以x1是第一類可去間斷點f ( x)x sin 1 ,x0,x2、1, x0.分析 ： x 0是分段函數的分段點，考察該點的極限10解：因為lim x sinx0x，而 f (0) 1所以x 0 是第一類可去間斷點limf ( x)總結 ：只要改變或重新定義f ( x) 在 x0 處的值，

6、使它等于 x x0，就可使函數在可去間斷點 x0 處連續(xù)f ( x)x1, x0,x1, x0.3、分析 ： x0 是分段函數的分段點，且分段點左右兩側表達式不同，考察該點的左、右極限lim f ( x)lim ( x 1) 1lim f (x)lim (x 1)1解：因為x 0x 0； x 0x 0.所以x0 是第一類跳躍間斷點1f ( x)arctan4、x分析 ：函數在 x0 處沒有定義，且左、右極限不同，所以考察該點的單側極限lim f ( x)limarctan 1lim f (x)limarctan 12解：因為 x 0x 0x2 ； x 0x 0x所以x0 是第一類跳躍間斷點15

7、、 f ( x)ex1解：因為lim f ( x)lim e xx 0x 0所以x0 是第二類無窮間斷點f ( x)sin16、xlim f (x)1lim sin解： x 0x 0x 極限不存在所以x0 是第二類振蕩間斷點f ( x)7、求解：間斷點：xsin x 的間斷點，并將其分類xk(k0, 1, 2,)x1當 x0lim0時，因 x0 sin x，故 x是可去間斷點limx當 xk( k1,2,sin x，故 x k (k 1, 2,) 是無窮) 時，因 xk間斷點小結與思考：本節(jié)介紹了函數的連續(xù)性，間斷點的分類f ( x)lim1x1x2 n1、求n分析： 通過極限運算，得到一個關于x 的函數，找出分段點，判斷x 1,1x1f (x)0,x11,x10,x1.lim f ( x)lim 00lim f ( x)