1、FIR數(shù)字濾波器設計的WLS方法一、理論推導設理想數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)為， (1)其中、分別是濾波器的幅頻、相頻特性。設FIR濾波器的單位沖激響應為 ，其頻率響應可表示為， (2)我們的任務是找到合適的，使得最大限度地逼近 。我們采用加權均方誤差（WLS：Weighted Least-Squares）最小的方法來完成設計任務。給定加權函數(shù)，根據(jù)(1) (2)式， 定義WLS函數(shù)為， (3)顯然，的極小值所對應的可作為設計結果，這個結果稱為加權均方誤差意義下的最優(yōu)結果。根據(jù)數(shù)學知識，求的極小值，可以通過使而得到。推到過程如下。先將(3)用歐拉公式展開， (4)那么， (5)繼而，可寫為， (

2、6)即， (7)我們令， (8) (9)那么(7)式就可以寫為， (10)進一步地，對所有成立的的表達式，則可以寫成如下的線性方程組， (11)寫成矩陣形式， (12)其中 ， (13) (14) (15)由線性代數(shù)理論知，的結果應為， (16)二、設計例子：第一類FIR低通濾波器(為奇數(shù))設理想的濾波器頻率響應函數(shù)為， (17)定義加權函數(shù)為， (18)根據(jù)(8) (9)， (19) (20)將(19)(20)代入(13-16)，用MATLAB工具即可得到。然后可以根據(jù)結果畫出頻率特性曲線。以下是用MATLAB完成上述設計的代碼：clear all;close all; pass=0.2*p

3、i;stop=0.3*pi;N=35;Wp=1;Ws=10;D=(N-1)/2; for m=1:N for n=1:N if abs(m-1)-(n-1)>0 t(m,n)=Wp*sin(m-1)-(n-1)*pass)/(m-1)-(n-1)-Ws*sin(m-1)-(n-1)*stop)/(m-1)-(n-1); else t(m,n)=Wp*pass+Ws*(pi-stop); end; end;end;for m=1:N if abs(D-(m-1)>0 s(m)=Wp*sin(D-(m-1)*pass)/(D-(m-1); else s(m)=Wp*pass; end;

4、end;hfir=ts'hfir' figure(1);w=linspace(0,pi);F=freqz(hfir,1,w);hm=20*log10(abs(F);plot(w/pi',hm);xlabel('Normalized frequency');ylabel('Magnitude (dB)');axis(0,1,-70,5);grid on; figure(2);w=linspace(0,pi);dl=grpdelay(hfir,1,w);plot(w/pi',dl');xlabel('Normalize

5、d frequency');ylabel('Group delay');axis(0,1,D-1,D+1);grid on;三、設計例子：第一類FIR高通濾波器(為奇數(shù))設理想的濾波器頻率響應函數(shù)為， (21)定義加權函數(shù)為， (22)根據(jù)(8) (9)， (23)根據(jù)， (24)將(23)(24)代入(13-16)，用MATLAB工具即可得到。然后可以根據(jù)結果畫出頻率特性曲線。以下是MATLAB完成上述設計的代碼：clear all;% close all; stop=0.7*pi;pass=0.8*pi;N=35;Ws=10;Wp=1;D=(N-1)/2; for

6、m=1:N for n=1:N if abs(m-1)-(n-1)>0 t(m,n)=Ws*sin(m-1)-(n-1)*stop)/(m-1)-(n-1)-Wp*sin(m-1)-(n-1)*pass)/(m-1)-(n-1); else t(m,n)=Ws*stop+Wp*(pi-pass); end; end;end;for m=1:N if abs(D-(m-1)>0 s(m)=-Wp*sin(D-(m-1)*pass)/(D-(m-1); else s(m)=Wp*(pi-pass); end;end;hfir=ts'hfir' figure(3);w=linspace(0,pi);F=freqz(hfir,1,w);hm=20*log10(abs(F);plot(w/pi',hm);xlabel('Normalized frequency');ylabel('Magnitude (dB)');axis(0,1,-70,5);grid on; figure(4);w=linspace(0,pi);dl=grpdelay(hfir,1,w);plot(w/pi'