1、第2章 “控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解”練習(xí)題及答案2.1計(jì)算下列矩陣的矩陣指數(shù)。（1）解 （2）解 （3）解 （4）解： 2.2 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程和初始條件為(1) 試用拉氏變換法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(2) 試用化對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(3) 試用化為有限項(xiàng)法求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(4) 根據(jù)所給初始條件，求齊次狀態(tài)方程的解。（1）解 ，其中， 則有 而 ， 所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為（2）解 對(duì)于，對(duì)于，（3）解 矩陣的特征值為, 對(duì)于有： 對(duì)于有： 因?yàn)槭嵌靥卣髦?，故需補(bǔ)充方程 從而聯(lián)立求解，得：（4）解： 2.3 矩陣是的常數(shù)矩陣，關(guān)于系統(tǒng)的狀態(tài)方程式，有時(shí)， 時(shí)， 試確定這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

2、和矩陣。解：因?yàn)橄到y(tǒng)的零輸入響應(yīng)是所以， 將它們綜合起來，得而狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)可知，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足微分方程和初始條件 因此代入初始時(shí)間可得矩陣為：2.4 已知系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣是時(shí)，試確定矩陣。解 因?yàn)?是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣， 所以有 將，代入得：2.5 已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為(1) 求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)； (2) 求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。（1）解 ，時(shí)， 時(shí)， 將代入求解公式得： + 若取，則有 （2）解 由（1）知取，則有 若取，則有，2.6 求下列系統(tǒng)在輸入作用為： 脈沖函數(shù)； 單位階躍函數(shù)； 單位斜坡函數(shù)下的狀態(tài)響應(yīng)。(1) (2) （1）解 ， 取，則 ， 若取，則有 ， 若取，則有（2）解

3、所以 時(shí)， 時(shí)， ， 取， 則有 ， 取， 則有 ， 取， 則有 2.7 線性時(shí)變系統(tǒng)的系數(shù)矩陣如下。試求與之對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(1) (2) (1) 解 因?yàn)?說明和是不可交換的，亦即和是不可交換的。則按下式計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為此計(jì)算： 所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣為（2）解 對(duì)應(yīng)系統(tǒng)自治狀態(tài)方程為求解得到再任取兩組線性無關(guān)初始狀態(tài)變量：可導(dǎo)出兩個(gè)線性無關(guān)解：由此，得到系統(tǒng)的一個(gè)基本解陣：于是，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣關(guān)系式，即可定出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：2.8 已知線性定常離散系統(tǒng)的差分方程如下：若設(shè)，試用遞推法求出。解 同理，遞推得：2.9 設(shè)線性定常連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為， 取采樣周期，試將該連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程離散化。解 首先計(jì)算矩陣指數(shù)。采用拉氏變換法： 進(jìn)而由公式(3.19)計(jì)算離散時(shí)間系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。將代入得 故系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程為：2.10 已知線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程為；設(shè)與是同步采樣，是來自斜坡函數(shù)的采樣，而是由指數(shù)函