1、軸向拉壓變形軸向拉壓變形( ( 4.2, 4.2, 4.3) 4.3)目的目的:(1) 分析軸向拉壓剛度問題分析軸向拉壓剛度問題; 提出剛度要求提出剛度要求l l(2) 求解軸向拉壓靜不定問題求解軸向拉壓靜不定問題.靜定問題靜定問題:靜不定問題靜不定問題(超靜定問題超靜定問題):方法和基礎方法和基礎:(1)虎克定律虎克定律(2)幾何關系幾何關系(3)疊加法疊加法 (4)能量法能量法*4-2 4-2 桿拉壓變形與疊加原理桿拉壓變形與疊加原理一一. .縱向線應變與橫向線應變縱向線應變與橫向線應變lll bbb ll bb橫向應變縱向線應變E E為彈性模量，為彈性模量，EAEA稱抗拉剛度。稱抗拉剛度

2、。EANll m m 稱為橫向變形系數(shù)或泊松稱為橫向變形系數(shù)或泊松(Poisson)(Poisson)比。比。EANllE或 Em m拉壓虎克定律拉壓虎克定律: :當受力在一定的范圍內(nèi)桿當受力在一定的范圍內(nèi)桿件的伸長與外力成正比。件的伸長與外力成正比。即即ANll注意到注意到：即即三三. . 橫向變形橫向變形單向應力狀態(tài)下單向應力狀態(tài)下p時二二. .拉壓虎克定律拉壓虎克定律虎虎克定律克定律(單向應力狀態(tài)單向應力狀態(tài))彈性模量彈性模量E E和泊松和泊松(Poisson)(Poisson)比比為材料彈性常數(shù)。為材料彈性常數(shù)。鋼與合金鋼鋁合金銅鑄鐵木E/(GPa)200-22070-72100-12

3、080-1608-120.25-0.300.26-0.340.33-0.350.23-0.27表4-1 材料的彈性摸量與泊松比對于各向同性材料：2(1)EGm例3-1 圖示螺栓，l=600mm，直徑d=100mm,L=0.3 mm, E=210GPa,=0.3。求:應力?,螺栓的橫向變形?解:100EMPa30.15 10m 1、求正應力3330.3 100.5 10600 10ll由虎克定律：2、求螺栓的橫向變形330.15 10100 100.015()ddmm 四四. .疊加原理疊加原理如圖所示，桿件AC同時受到F1與F2的作用。2112 2122211 1()()ACFF lF lll

4、lEAEAF llFlEAEA 1 1221F1()FACACFllEAF lllEA 引起的軸向變形： 引起的軸向變形：F2F2-F1FN解法：解法：由截面法畫出軸力圖。AB與BC段的軸向變形：解法：解法：（疊加法）兩者之和：2211 1()ACF llFllEAEA幾個載荷同時產(chǎn)生的作用效果，等于個載荷單獨作用產(chǎn)生的效果的總和疊加原理適用的條件：因變量與自變量成線性關系。在彈性范圍內(nèi)，一般桿件的應力及變形與外力成正比。用疊加原理外力的作用效果：求應力和變形疊加原理疊加原理2 2）構件的工作應力）構件的工作應力p（線彈性范圍內(nèi)）；3 3）軸力）軸力N N、橫截面面積、橫截面面積A A為常量為

5、常量等直杠兩端受等直杠兩端受軸向力；軸向力；討論討論：1.1.軸力變化時軸力變化時3P1P1）L L為為“+ +”時伸長，為時伸長，為“- -”時宿短，符號規(guī)定時宿短，符號規(guī)定與軸力一致。拉為與軸力一致。拉為“+ +”，壓為，壓為“- -”。BCABlllEAlNEAlNBCAB212.2.橫截面變化時：橫截面變化時：BC1l2l2PACAB階梯狀桿BCABlll五五. . 公式的應用范圍與注意事項公式的應用范圍與注意事項lP lE AlxdxdxN x( )N x( )xxEAxNld)()(dlxxEAxNld)()(徐變截面桿：錐角錐角較度小，如較度小，如10例3-2圖示圓桿，F(xiàn)=4kN

6、,l1=l2=100mm, E=200GPa, l =0.10mm 。求桿的直徑d=?解:211122218412Ni iiiiF lFlFlFllE AE dE dE d 311212128.7 109FlFlldmE dEldmm ?。?、變形分析FN1=2FFN2=FAC桿的總伸長：2、桿直徑設計：例3-3 圖示桿，1段為直徑 d1=20mm的圓桿，2段為邊長a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應力2=-30MPa，E=210GPa，求整個桿的伸長l .解:222302518.75KNPAlN lE AN lE AN lE A1 112 223 334012

7、. 02 . 0025. 04 . 0402. 02 . 010210187502229l縮短）( mm272. 0例3-4求兩端直徑分別為 d1，d2的受拉錐度桿的總伸長量。PP2d1dLxxdx xN xN D x解：徐變截面桿取dx微段研究： 212212222(1)d xdxtgdddxLddxddLLddtg221故： 2221222(1)44ddxA xDxddLN xP由2( )4()( )( )N xP dxdldxEA xE Dx20124( )4LPldxE DxPLEd d 4-3 4-3 桁架的節(jié)點位移桁架的節(jié)點位移桁架有1，2桿組成，A點受F力作用。桿1：鋼，E1=2

8、00GPa,A1=100mm2,l1=1m桿2：鋁，E2=70GPa,A2=250mm2,l2=707mmF=10kN，求A點的位移。解：求出桿1與桿2的軸力：414221.414 10(10(NNFFNFFN拉力）壓力）BAC12F求出桿1與桿2的變形：1 11112 22220.7070.404N llmmE AN llmmE A 分別已B,C為圓心，BA1,CA2為半徑畫弧，交于A(變形后的A點）1122lAAlAA A45A1A24-3 4-3 桁架的節(jié)點位移桁架的節(jié)點位移桁架有1，2桿組成，A點受F力作用。桿1：鋼，E1=200GPa,A1=100mm2,l1=1m桿2：鋁，E2=7

9、0GPa,A2=250mm2,l2=707mmF=10kN，求A點的位移。BAC12FA切線切線代替弧線！過A2垂直與AC,過A1垂直與AB,交于A3;A3與A近似重合如圖的幾何關系：節(jié)點A的水平和鉛直位移22124450.404()1.404()sin 45tan 45AxAyAAlmmllAAA Amm A345A1A2總結(jié)：1、小變形：變形與原結(jié)構尺寸相比；2、約束反力與內(nèi)力：原結(jié)構尺寸；3、位移：切線代替圓弧的方法確定位移； 例例3-53-5求圖示結(jié)構結(jié)點求圖示結(jié)構結(jié)點A A的垂直位移。的垂直位移。解:cos221PNN1122cosyN lPlllEAEA 1122/cos/cosc

10、os2cosyNlPlllEAEA 解:NPN120,lPlEAl120,例2-5求圖示結(jié)構結(jié)點A的垂直位移和水平位移。ctgEAPlctglx1EAPlly11、畫圓弧，求A,2、解直角三角形AAA”N1N2P解:NPN120,lPlEAl120,例2-5求圖示結(jié)構結(jié)點A的垂直位移和水平位移。AxctgEAPlctglx1yEAPlly11、畫圓弧，求A,2、解直角三角形AAA”O(jiān)1:半徑l1+l1O2:半徑半徑l2+l2N1N2PA例3-6圖示結(jié)構中三桿的剛度均為EA, AB 為剛體，P、l、EA皆為已知。求C點的垂直和水平位移。解:NNPN13220,0,2231lEAPlllyN1N3

11、N2yxEAPlctglx241N1N3N2P解：1）求軸力N（x）Pxxx0)(:0AxpxNxAxPxN)(2）求變形：dxdxN（x）N（x）取微段dx研究N（x）xP+ALPN（x） 例例3-73-7考慮自重影響的等直桿變形。已知P、桿長L、A、E、容重。若已知求許可桿長。( )()1()N x dxdxEAPx dxE A(3）求許可桿長:maxmaxAALPAN由APAL積分：ELEAPLdxxAPElL2)(120BDC4m3mBC桿為圓鋼，直徑d=20mm，BD桿為8號槽鋼。=160MPa，E=200GPa，P=60KN，試求B點的位移。解：（1）分析構件受力：取B點研究P1N

12、2NPKNPNKNPN7545454321（“-”表示2N與圖示方向相反，為壓力）B例3-8簡單托架如圖。BDC3mP1N2NP4m（2）分析計算B點的位移：假想把B節(jié)點松開，BB1B2B111111222222N LlBBE AN LlBBE A受力后B點移到B其位移2211BBBBB B3B4B132sinB Bl 323B BB B ctg 2321cosB Bll 1133B BB BB B1l2lmBBAELNcmAPmBBAELN349322222222362931111111083.11024.10102005107524.104931015.2102041020031045型鋼

13、表得查mctgBBBBBB31223311109.3)cos(sinmBBBBBB321211045.44-4 4-4 拉（壓）超靜定問題拉（壓）超靜定問題靜定問題靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)等于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程即可解出全部未知力，這類問題稱為靜定問題，相應的結(jié)構稱靜定靜定結(jié)構。結(jié)構。一一. . 靜定與超靜定的概念靜定與超靜定的概念超靜定問題：超靜定問題：若未知力（外力或內(nèi)力）的個數(shù)多于獨立的平衡方程的個數(shù)，僅用靜力平衡方程便無法確定全部未知力，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題靜不定問題.引例引例: 在日常生活中乃至在工程中我們常常遇到僅靠靜力平衡方程無法求得

14、約束反力的例子?！皟蓚€和尚抬水吃，沒水吃”，恐怕是最早說到超靜定問題的例子了。1774年，歐拉在研究桌子四條腿的受力問題時才真正開始研究超靜定問題。多余約束：多余約束：在靜定結(jié)構上加上的一個或幾個約束，對于維持平衡來說是不必要的約束（但對于特定地工程要求是必要的）稱多余約束。對應的約束力稱多余約束反力多余約束反力（B固端約束） 由于超靜定結(jié)構能有效降低結(jié)構的內(nèi)力及變形，在工程上（如等）應用非常廣泛。超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差，也等于多余約束數(shù)相應的結(jié)構稱超靜定結(jié)構超靜定結(jié)構或靜不定結(jié)靜不定結(jié)構構。12PA11AE22AECRABRB二二. . 拉（壓）桿超靜定問題的解法

15、：拉（壓）桿超靜定問題的解法：1. 比較變形法比較變形法把超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題解，但必須滿足原結(jié)構的變形約束條件。（1）選取基本靜定結(jié)構（靜定基如圖），B端解除多余約束，代之以約束反力BR解解：例2-5 桿上段為銅，下段為鋼桿，222,EA彈性模量截面積下段長 桿的兩端為固支,求兩段的軸力。111,EA彈性模量截面積上段長 12FC11AE22AEBABR（3）比較兩次計算的變形量，其值應該滿足變形相容條件，建立方程求解。（2）求靜定基僅在原有外力作用下以及僅在代替約束的約束反力作用下在解除約束處的位移0ABAC12FC11AE22AEBA)(111AEFACCBR121122()( )B

16、ABBRE AE A)122211122211122211AEAEFAERAEAEFAERBA解解: 畫A結(jié)點受力圖，建立平衡方程F未知力個數(shù)2個，平衡方程數(shù)1個，故為一次超靜定。2. 幾何分析法幾何分析法例2-6. ，F(xiàn)1N2N3N解超靜定問題的關鍵是找出求解所有未知約束反力所缺少的補充方程。結(jié)構變形后各部分間必須象原來一樣完整、連續(xù)、滿足約束條件-即滿足變形相容條件。A123A,3 ,3311AEAE桿為在F力作用下，求各桿內(nèi)力。1、2桿抗拉剛度為x21: 0NNFxyFNNFy31cos2:0A213213）代入物理關系，建立補充方程21cos313333333311111111cosA

17、ENAENAENAENA32）如圖三桿鉸結(jié)，畫A節(jié)點位移圖,列出變形相容條件。要注意所設的變形性質(zhì)必須和受力分析所中設定的力的性質(zhì)一致。由對稱性知4）聯(lián)立、求解：333113211331cos21coscos2AEAEFNAEAEFNcoscos:333111AELNAELN得ABCDPL123解解：本題為一次超靜定本題為一次超靜定用幾何法分析變形用幾何法分析變形1）變形相容條件）變形相容條件：Acb2設設A點橫移（左、右任選）、點橫移（左、右任選）、設右移設右移 ：213a圖中幾何關系：圖中幾何關系：AaAcac且：且： ac=2bc故：故：Aa=Ac2bctan2sinsin213即：即：

18、 例例2-72-7圖示結(jié)構，各桿圖示結(jié)構，各桿EAEA不同列出求解該結(jié)構桿靜力平不同列出求解該結(jié)構桿靜力平衡方程和相容方程。衡方程和相容方程。把物理方程代入變形把物理方程代入變形相容方程相容方程333332222211111,AELNAELNAELN可求得用內(nèi)力表示的可求得用內(nèi)力表示的相容方程相容方程。3）平衡方程：）平衡方程：須注意各桿內(nèi)力應與所設變形一致須注意各桿內(nèi)力應與所設變形一致取節(jié)點取節(jié)點A A研究研究：2）物理方程）物理方程ABCDPL123Ab213a圖中圖中1 1，2 2桿伸長，對應桿伸長，對應為拉力，為拉力，3 3桿縮短，應對桿縮短，應對應為壓力。應為壓力。xyAPN1N2

19、N30coscos:0sinsin:021331NNNxPNNy(1)(1)建立坐標系建立坐標系, ,桌腿下部四個端點坐標是桌腿下部四個端點坐標是(2)(2)平衡方程平衡方程)., 2/,(), 2/,(), 2/,(), 2/,(4321haaDhaaChaaBhaaA(3)(3)變形相容方程變形相容方程-四點共平面四點共平面122ACDBABDRRRRFRRRF0ACM0BDM0zFDABC剛體xyzFRARBRCRD例例2-82-8桌腿間距桌腿間距2a2aa a，高為，高為h h的長方桌，在對角線的的長方桌，在對角線的1/41/4處受力處受力F F作用作用( (如圖如圖),),求出桌腿所

20、受的力。求出桌腿所受的力。展開后得幾何方程展開后得幾何方程1+ 3=2+ 40022012/12/12/12/4131214321aaaahaahaahaahaa(4) (4) 物理方程物理方程.;4321EAhREAhREAhREAhRDCBA、式聯(lián)立求解、式聯(lián)立求解：RA=RC=F/4, RB=0, RD=F/2 例例2-9 2-9 三個桿受力如圖，列出平衡方程、變形相容條件三個桿受力如圖，列出平衡方程、變形相容條件解解: :1 1）畫受力圖）畫受力圖, ,寫靜力平衡方程寫靜力平衡方程F213AabLBC02:021321aNaNoMFNNNFAy2 2）畫變形圖，找變形相容條件）畫變形圖

21、，找變形相容條件1N2N3NF變形以后三桿的端點仍共直線。變形以后三桿的端點仍共直線。三桿下端坐標為三桿下端坐標為 (-a,L+L(-a,L+L3 3),(0,L+L),(0,L+L2 2+ + ),(b,L+L),(b,L+L1 1) )得到得到: b(: b(LL3 3-L-L2 2- -)=a(L)=a(L2 2+ +- -LL1 1) )01101321LLaLLLLb剛體yxABC建立坐標系建立坐標系, ,2L1L3L三三. . 拉（壓）桿超靜定問題解法的討論拉（壓）桿超靜定問題解法的討論 解拉（壓）超靜定問題必須正確地畫出結(jié)構的變形圖，然后分析結(jié)構特點，找出結(jié)構變形前后的不變量或者

22、等量關系，再用數(shù)學方法刻畫它,從而給出補充方程。觀察問題的角度不同所采用的方法也會有很大差異。同一題，不同的解法難、易、繁、簡也相去甚遠。我們必須仔細分析找出最恰當?shù)霓k法來。1.比較變形法常用于結(jié)構較為簡單，一些特定節(jié)點位移已知且計算也較為簡單的問題。2. 幾何法分析變形是求解超靜定桿系的基本方法，常用于各桿的變形關系較為簡單，超靜定次數(shù)較低的桿系的求解。但是，一般情況下分析變形尋找等量關系較為困難。要注意利用對稱與反對稱關系。123LaaABC例如：三根桿EA相同，求桿的內(nèi)力。解：解：本題可將荷載P向C點平移123Laa剛體PABCPPA123LaaB123LaaABMC正對稱正對稱反對稱反

23、對稱PMPMCMC2MC2正對稱部分N1N3N23321PNNN反對稱部分N1N2=0N1231PNN 02 N對稱與反對稱的利用對稱與反對稱的利用如下非對稱問題也可以轉(zhuǎn)化為對稱與反對稱問題。如下非對稱問題也可以轉(zhuǎn)化為對稱與反對稱問題。F213AFyFx=213A213AFy+3.解析法分析變形對于變形較為復雜，幾何分析較為困難的問題可以把結(jié)構放到坐標系中，給出變形后各節(jié)點的坐標。根據(jù)約束條件，就重要節(jié)點的共線、共面、共圓以及直線和圓的共點等特征，用解析幾何的方法刻畫變形相容關系。Fx/2Fx/2（1）變形相容方程：（2）三角形的面積關系：01111222222002020DDDDCCCCBB

24、BByxyxyxyxyxyxyxyx以如圖不對稱結(jié)構為例，各點座標為：AO(xo,yo),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD)1110000CCBBAAyxyxyx+1110000CCDDAAyxyxyx1110000DDBBAAyxyxyx=000000DABCADCABSSSAAODBCAO、B 、 C 、D點共圓D0C0B0ab213Lxy6. 有限元法解超靜定問題對一些結(jié)構超靜定次數(shù)很高的結(jié)構，只有借助有限元法利用計算機進行計算。這要等到以后再繼續(xù)學習這方面的內(nèi)容。4. 比擬法可以把桌子腿受力問題比擬成合質(zhì)量與質(zhì)心坐標已知，求四個位置上質(zhì)點的質(zhì)量分布問題（如圖）。FG5

25、. 用能量法解超靜定問題對于較為復雜的結(jié)構來說，用能量法求解就會稍微容易些由于各桿的內(nèi)力與變形方向一致,所以各桿的內(nèi)力功之和必等于外載荷所做的功,補充方程為:minjjjiiNF12121mAmCmBmDOABDC 例例2-92-9剛性梁剛性梁ADAD由由1 1、2 2、3 3桿懸掛，已知三桿懸掛，已知三桿材料相同，許用應力為桿材料相同，許用應力為，材料的彈性，材料的彈性模量為模量為 E E，桿長均為，桿長均為l l，橫截面面積均為，橫截面面積均為A A，試求結(jié)構的許可載荷試求結(jié)構的許可載荷PP解：靜力平衡條件：解：靜力平衡條件：變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：NNNP1232331( )llll

26、213123,代入物理方程：代入物理方程：AElNAElNAElNAElN13123,2NNNN2131232,( )aallaall321312聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)(1)和和(2), (2), 得得：NPNPNP123314614914,333914NAPA 3 3桿軸力為最大桿軸力為最大, ,其強度條件為其強度條件為: :PA149PA1493-6 3-6 熱應力與初應力熱應力與初應力一、熱應力概念一、熱應力概念溫度變化引起物體熱脹冷縮。溫度變化引起物體熱脹冷縮。0TlRlRTll TF lll TEAFETA 在靜不定桿或桿系中，各桿段或各桿的軸向變形必須服從在靜不定桿或桿系中，各桿段或各桿的軸向變形必須服