2013年清華大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題及答案解析_第1頁(yè)
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2013年清華大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題及答案解析_第3頁(yè)
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2013年清華大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題解析1、求證： .證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，（由歸納假設(shè)）下面證明，當(dāng)時(shí)，左邊當(dāng)時(shí)，左邊以下略.2、求證：為關(guān)于的整系數(shù)多項(xiàng)式.證明：只需要證明為關(guān)于的整系數(shù)多項(xiàng)式.記，則是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不可分的次整系數(shù)多項(xiàng)式因式（因分分圓多項(xiàng)式必然為整系數(shù)多項(xiàng)式，其中為歐拉函數(shù)），如.于是，如.于是，其中表示對(duì)取整.因此問(wèn)題即對(duì)于任意正整數(shù)，分子所含因式的個(gè)數(shù)不少于分母所含的因式的個(gè)數(shù)，即證明，.下面證明.設(shè)，則而或顯然成立，于是命題得證.3、已知，求的值.解法1：由，得于是.解法2：令，則即，整理得.于是解法3：由得.根據(jù)輪換對(duì)稱(chēng)可得.于是解法4： 當(dāng)時(shí)，令，則由，得.于是當(dāng)時(shí)，令，以下略.4、求證：平面內(nèi)間跟為的一組平行直線，任意放一長(zhǎng)為的針與直線相交的概率為.證明：如圖，設(shè)針的中點(diǎn)離最近的直線的距離為，與直線所成的角為，則.針與直線相交即，因此.5、求證：.證明：設(shè)，其中，則. 由于因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)而當(dāng)取其他值時(shí).于是式的值為，原式得證.

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