1、5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2 極點配置問題5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題5.4 系統(tǒng)解耦問題5.5 狀態(tài)觀測器5.6 利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.1.1狀態(tài)反饋 狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。下（圖一）是一個多輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu)。圖中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：式中簡記為 式中，v 為 維參考輸人；K為 維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣。對單輸入系統(tǒng)，K為 維行矢量。（1）若D D =0，則受控系統(tǒng)：（2）狀態(tài)線性反饋控制律 為：（

2、3） 把式(3)代人式(1)整理可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：簡記為。閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣： 比較開環(huán)系統(tǒng) 與閉環(huán)系統(tǒng) 可見，狀態(tài)反饋陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。（4）若D D =O，則（5）（6）5.1.2 輸出反饋 輸出反饋是采用輸出矢量y構(gòu)成線性反饋律。在經(jīng)典控制理論中主要討論這種反饋形式。（圖二）示出多輸入一多輸出系統(tǒng)輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)。受控系統(tǒng)（7）或（8）輸出線性反饋控制律為：（9） 其中H為 維輸出反饋增益陣。對單輸出系統(tǒng)，H H為 維列矢量。 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式可由式(7)代入式(9)得：

3、（10）整理得：（11）再把式(1 1)代入式(7)求得：（12）若D D =0，則（13） 簡記 。由式(13)可見，通過選擇輸出反饋增益陣日也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)的控制特性。 輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：若受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：存在下列關(guān)系：（14）（15）（16）或（17） 從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導數(shù) 的線性反饋形式在狀態(tài)觀測器獲得應用。（圖三）表示這種反饋結(jié)構(gòu)： 比較上述兩種基本形式的反饋可以看出，輸出反饋中的HC HC 與狀態(tài)反饋中的K K 相當。但由于 ，所以H 可供選擇的自由度遠比K K 小，因而輸出反饋只能相當于一種部分狀態(tài)反饋一只有當 時， ，才能等同于

4、全狀態(tài)反饋。因此，在不增加補償器的條件下，輸出反饋的效果撮然不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好。但輸出反饋在技術(shù)實現(xiàn)上的方便性則足其突出優(yōu)點。5.1.3 從輸出到狀態(tài)矢量導數(shù)反饋設(shè)受控系統(tǒng)： 加入從輸出y到狀態(tài)矢量導數(shù) 的反饋增益陣 ，可得閉環(huán)系統(tǒng)：將式(19)中的y 代入 整理得：（18）（19）（20）記作。若D D =0，則（21）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：（22）5.1.4 動態(tài)補償器 上述三種反饋基本結(jié)構(gòu)的共同點是，不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)同維。其次，反饋增益陣都是常矩陣，反饋為線性反饋。在更復雜的情況下，常常要通過引入一個動態(tài)子系統(tǒng)來改善系統(tǒng)性能，這種動態(tài)子系統(tǒng)，稱為動態(tài)補償器。 它與受控

5、系統(tǒng)的連接方式如圖54所示，其中圖a為串聯(lián)連接，圖b為反饋連接。5.1.5 閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性定理5.1.1 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性。這類系統(tǒng)的維數(shù)等于受控系統(tǒng)與動態(tài)補償器二者維數(shù)之和。這類系統(tǒng)的維數(shù)等于受控系統(tǒng)與動態(tài)補償器二者維數(shù)之和。但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。證明 只證能控性不變。這只要證明它們的能控判別矩陣同秩即可。 受控系統(tǒng)0和狀態(tài)反饋系統(tǒng)K的能控判別陣為：實際上，受控系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)為：（25）將0的能控標準I型代入上式，得：（26）引入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（27）定理5.1.2 輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀性。證明 關(guān)于能控性不變。因為（28）

6、若把(HC HC )看成等效的狀態(tài)反饋陣K K，那么狀態(tài)反饋便保持受控系統(tǒng)的能控性不變。關(guān)于能觀性不變?？勺C明下面兩個能觀判別矩陣秩相等。（29）和（30） 定理5.2.1 采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng) 任意配置極點的充要條件是0完全能控。5.2 極點配置問題5.2.1采用狀態(tài)反饋證明 只證充分性。若0完全能控，通過狀態(tài)反饋必成立式中， 為期望特征多項式。（31）（32） 式中， 為期望的閉環(huán)極點(實數(shù)極點或共軛復數(shù)極點)。1)若0完全能控，必存在非奇異變換：能將0化成能控標準I I型：（33）式中受控系統(tǒng)0的傳遞函數(shù)為：（34）2)加入狀態(tài)反饋增益陣：（35）可求得對 的閉環(huán)狀態(tài)空間表達式：（36）閉

7、環(huán)特征多項式為：式中（37）閉環(huán)傳遞函數(shù)為：（38）3)使閉環(huán)極點與給定的期望極點相符，必須滿足：由等式兩邊 同次冪系數(shù)對應相等可解出反饋陣各系數(shù)：于是得：（39）4)最后，把對應于 的 ，通過如下變換，得到對應于狀態(tài) 的 ：這是由于 的緣故。5.2.2 采用輸出反饋 定理定理5.2.2 5.2.2 對完全能控的單輸入一單輸出系統(tǒng)對完全能控的單輸入一單輸出系統(tǒng) ，不能采用輸出線性反饋來實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置。不能采用輸出線性反饋來實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置。 證明 對單輸入一單輸出反饋系統(tǒng) ，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：（40） 定理定理5.2.3 5.2.3 對完全能控的單輸入對完全能控的單輸入單輸

8、出系統(tǒng)單輸出系統(tǒng) 通通過帶動態(tài)補償器的輸出反饋實現(xiàn)極點任意配置的充要條件是：過帶動態(tài)補償器的輸出反饋實現(xiàn)極點任意配置的充要條件是：1) 完全能觀。2)動態(tài)補償器的階數(shù)為nl。 5.2.3 采用從輸出到反饋 定理定理5.2.4 5.2.4 對系統(tǒng)對系統(tǒng) 采用從輸出到采用從輸出到 的線性反饋實現(xiàn)的線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充要條件是閉環(huán)極點任意配置的充要條件是0 0完全能觀。完全能觀。證明 根據(jù)對偶原理，如果 能觀則 必能控，因而可以任意配置 的特征值，而 的特征值和 的特征值相同，又因為 因此，對 任意配置極點就等價于對A A+GcGc任意配置極點。于是設(shè)計 輸出反饋陣G G 的問題便轉(zhuǎn)化成

9、對其對偶系統(tǒng) 設(shè)計狀態(tài)反饋陣K K的問題。具體步驟如下：具體步驟如下：將系統(tǒng) 化成能觀標準型：式中， 為能將系統(tǒng)化成能觀標準型的變換矩陣。 (1)取線性變換：（41）（42）(2)引入反饋陣 后，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：式中（43）和閉環(huán)特征多項式：(3)由期望極點得期望特征多項式：（44）(4)比較 各對應項系數(shù)，可解出：即（45）（46）(5)將在 求得的G G 變換到 狀態(tài)下便得： 和求狀態(tài)反饋陣K K 的情況類似，當系統(tǒng)的維數(shù)較低時，只要系統(tǒng)能觀，也可以不化成能觀標準型，通過直接比較特征多項式系數(shù)米確定G G 矩陣。5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題 定理定理5.3.1 5.3.1 對系統(tǒng)對系統(tǒng) ，采用狀態(tài)

10、反饋能鎮(zhèn)定的允要條件，采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的允要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 證明 (1)設(shè)系統(tǒng) 不完全能控，因此通過線性變換可將其按能控性分解為：（1） 式中， 為能控子系統(tǒng)； 為不能控子系統(tǒng)。(2)由于線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以有： (3)由于 在能控性和穩(wěn)定性上等價。考慮對 引人狀態(tài)反饋陣：（2）（3）于是得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：（4）和閉環(huán)特征多項式：（5） 定理定理5.3.2 5.3.2 系統(tǒng)系統(tǒng) 通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是 0結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系

11、統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。證明 略。 比較式(5)與式(2)可見，引入狀態(tài)反饋陣 ，只能通過選擇 使 的特征值均具有負實部，從而使 ，這個子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。但 的選擇并不能影響 的特征值分布。因此，僅當 的特征值均具有負實部，即不能控子系統(tǒng) 為漸近穩(wěn)的此時整個系統(tǒng) 才是狀態(tài)能鎮(zhèn)定的。 定理定理5.3.3 5.3.3 對系統(tǒng)對系統(tǒng) 采用從輸出到采用從輸出到 反饋反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是實現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是0 0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。證明 (1)將系統(tǒng) 進行能觀性分解，得： 式中， 為能觀子系統(tǒng)； 為不能觀子系統(tǒng)。（9）開環(huán)系統(tǒng)特征多項式為

12、：（10） (2)由于 在能控性和穩(wěn)定性上等價，考慮對 引入從輸出到 的反饋陣 ，于是有：（11）和（12） 式(12)表明，引入反饋陣 ，只影響 的特征值。5.4 系統(tǒng)解耦問題 解耦問題是多輸入一多輸出系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分。其設(shè)計目的是尋求適當?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實現(xiàn)每一個輸出僅受相應的一個輸入所控制，每一個輸入也僅能控制相應的一個輸出，這樣的問題稱為解耦問題解耦問題。設(shè) 是一個 維輸入、 維輸出的受控系統(tǒng)，即（1）若其傳遞函數(shù)矩陣：（2）實現(xiàn)系統(tǒng)解耦，目前主要有兩種方法：(1)前饋補償器解耦(2)狀態(tài)反饋解耦5.4.1 前饋補償器解耦前饋補償器解耦的框圖如下圖

13、所示。根據(jù)串聯(lián)組合系統(tǒng)可寫出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：（3）式中， 為串接補償器后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。（4）顯然，只要 存在，則串聯(lián)補償器的傳遞函數(shù)矩陣為：（5）5.4.2 狀態(tài)反饋解耦 1.狀態(tài)反饋解耦中的幾個特征量狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：1)定義 ，是滿足不等式：且介于0到 之間的一個最小整數(shù)l。(6) 式中， 為系統(tǒng)輸出矩陣c中的第i 行向量 ，因此， 的下標i 表示行數(shù)。為了便于討論狀態(tài)反饋解耦的條件，首先定義幾個特征量。 2. 能解耦性判據(jù) 定理5.4.1 受控系統(tǒng) 采用狀態(tài)反饋能解耦的充要條件是 維矩陣E E 為非奇異。即（7） 3. 積分型解耦系統(tǒng) 定理定理5.4.2 5

14、.4.2 若系統(tǒng)若系統(tǒng) 是狀態(tài)反饋能解耦的，是狀態(tài)反饋能解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng)是一個積分型解耦系統(tǒng)。其中狀態(tài)反饋矩陣為：（8）（9）輸入變換矩陣為：（10）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（11） 式(11)表明，用式(9)和式(10)實現(xiàn)(K K，F(xiàn) F)解耦的系統(tǒng)，其每個子系統(tǒng)都是相當于一個 階積分器的獨立子系統(tǒng)。 3) 的輸出 應以足夠快的速度漸近于 ，即 應有足夠?qū)挼念l帶。但從抑制干擾角度看，又希望頻帶不要太寬。因此，要根據(jù)具體情況予以兼顧。5.5 狀態(tài)觀測器5.5.1 狀態(tài)觀測器定義 設(shè)線性定常系統(tǒng)0=(A A，B B，C C)的狀態(tài)矢量x x不能直接檢測。如果動態(tài)系統(tǒng) 以0的輸入 和輸

15、出 作為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出 漸近于 則稱 的一個狀態(tài)觀測器。根據(jù)上述定義，可得構(gòu)造觀測器的原則是： 1)觀測器 應以0的輸入 和輸出 為其輸入量。 2)為滿足 必須完全能觀，或其不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。4) 在結(jié)構(gòu)上應盡量簡單。即具有盡可能低的維數(shù)，以便于物理實現(xiàn)：5.5.2 狀態(tài)觀測器的存在性 定理定理5.5.1 5.5.1 對線性定常系統(tǒng)對線性定常系統(tǒng)0 0=(=(A A，B B，C C) )，狀態(tài)觀測器存在的充，狀態(tài)觀測器存在的充要條件是要條件是0 0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 證明 略。5.5.3 狀態(tài)觀測器的實現(xiàn) 定理定理5.5.2 5.5.2 若線

16、性定常系統(tǒng)若線性定常系統(tǒng) 0 0=(=(A A，B B，c c) ) 完全能觀，則其狀態(tài)完全能觀，則其狀態(tài)矢量矢量 可由輸出可由輸出 和輸入和輸入 進行重構(gòu)。進行重構(gòu)。證明 將輸出方程t 逐次求導，代以狀態(tài)方程并整理可得：（22）將各式等號左邊用矢量z 表示，則有：（23）若系統(tǒng)完全能觀，rankN N=n，則有：（24）（24）根據(jù)上圖可得狀態(tài)觀測器方程：（25）5.5.4 反饋矩陣G G 的設(shè)計為了討論狀態(tài)估值 趨近于狀態(tài)真值 的漸近速度，引入狀態(tài)誤差矢量：（26）可得狀態(tài)誤差方程：（27）即（28）式(28)是一個關(guān)于 的齊次微分方程，其解為：（29）（29）5.5.5 降維觀測器 以上

17、介紹的觀測器是建立在對原系統(tǒng)模擬基礎(chǔ)上的，其維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同，稱全維觀測器全維觀測器。實際上，系統(tǒng)的輸出矢量y 總是能夠測量的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出矢量y 來直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測器的維數(shù)。 降維觀測器設(shè)計分兩步進行。第一，通過線性變換把狀態(tài)按能檢測性分解成 ，其中 維 ，需要重構(gòu)，而m維 可由y直接獲得。第二，對 構(gòu)造 維觀測器。 可以證明，若系統(tǒng)能觀，輸出矩陣c的秩是m，則它的m個狀態(tài)分量可由y直接獲得，那么，其余的 個狀態(tài)分量便只需用 維的降維觀測器進行重構(gòu)即可。降維觀測器的設(shè)計方法很多，下面介紹其一般設(shè)計方法。5.6 利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)5.6.1 系

18、統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)空間表達式下圖是一個帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。設(shè)能控能觀的受控系統(tǒng)0=(A A，B B，C C)為：（1） 將式(3)代入式(1)和式(2)整理或直接由結(jié)構(gòu)圖得整個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：狀態(tài)觀測器G為：（2）反饋控制律為：（3）（4）寫成矩陣形式為（5）這是一個 維的閉環(huán)控制系統(tǒng)。5.6.2 閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性1.閉環(huán)極點設(shè)計的分離性 閉環(huán)系統(tǒng)的極點包括閉環(huán)系統(tǒng)的極點包括0 0直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)K K=(=(A+BKA+BK，B B，C C) )的極點的極點和觀測器和觀測器G G 的極點兩部分。但二者獨立，相互分離。的極點兩部分。但二者獨立，相互分離。

19、設(shè)狀態(tài)估計誤差為（6） 0 -xxxIIIxxx x 令變換矩陣為：（7）經(jīng)線性變換后的系統(tǒng) 為：（8）或者展開成：由于線性變換不改變系統(tǒng)的極點，因此，有：（9）（10） 上式表明，閉環(huán)系統(tǒng)的極點等于直接狀態(tài)反饋（上式表明，閉環(huán)系統(tǒng)的極點等于直接狀態(tài)反饋（A+BKA+BK）的極點和狀態(tài)觀測）的極點和狀態(tài)觀測器（器（A-GCA-GC）的極點之和，而且二者相互獨立。）的極點之和，而且二者相互獨立。因此，只要系統(tǒng)（因此，只要系統(tǒng)（A,B,CA,B,C）能控）能控能觀，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣能觀，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣K K和觀測器反饋矩陣和觀測器反饋矩陣GG可分別進行設(shè)計。這個性質(zhì)可分別進行設(shè)計。這個性質(zhì)稱閉環(huán)極點設(shè)計的分離性。稱閉環(huán)極點設(shè)計的分離性。閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5.26所示。 2.傳遞函數(shù)矩陣的不