1、2.2.特殊的特殊的平行四邊形菱形平行四邊形菱形 九年級數(shù)學(xué)九年級數(shù)學(xué)( (上上) )第三章證明第三章證明( (三三) ) 駛向勝利的彼岸w什么樣的圖形叫做菱形什么樣的圖形叫做菱形? ?菱形的定義菱形的定義: :一組鄰邊相等的平行四邊形一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形叫做菱形w菱形有哪些性質(zhì)菱形有哪些性質(zhì)? ? 想一想想一想w定理定理: :菱形的四條邊都相等菱形的四條邊都相等w定理定理: :菱形的對角線互相垂直菱形的對角線互相垂直, ,并且每條對角線并且每條對角線平分一組對角平分一組對角菱形是特殊的平行四邊形菱形是特殊的平行四邊形, ,除具有平行四邊形的除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外一切性質(zhì)外,

2、 ,還具有一些特殊的性質(zhì)還具有一些特殊的性質(zhì): :菱形的四條邊都相等菱形的四條邊都相等, ,兩條對角線互相垂直平分兩條對角線互相垂直平分, ,每一條對角線平分一組對角每一條對角線平分一組對角. .w證明命題的一般步驟證明命題的一般步驟: :w(1)(1)理解題意理解題意: :分清命題的條件分清命題的條件( (已知已知),),結(jié)論結(jié)論( (求證求證););w(2)(2)根據(jù)題意根據(jù)題意, ,畫出圖形畫出圖形; ;w(3)(3)結(jié)合圖形結(jié)合圖形, ,用符號語言寫出用符號語言寫出“已知已知”和和“求證求證”; ;w(4)(4)分析題意分析題意, ,探索證明思路探索證明思路( (由由“因因”導(dǎo)導(dǎo)“果果

3、”, ,執(zhí)執(zhí)“果果”索索“因因”.);.);w(5)(5)依據(jù)思路依據(jù)思路, ,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程條理清晰地寫出證明過程; ;w(6)(6)檢查表達(dá)過程是否正確檢查表達(dá)過程是否正確, ,完善完善. . 回顧與思考回顧與思考菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)w定理定理: :菱形的四條邊都相等菱形的四條邊都相等. . 小試牛刀小試牛刀已知已知: :如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .證明證明: : 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形, ,AB=AD,AB=AD,四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形. .AB=CD,AD

4、=BC.AB=CD,AD=BC.求證求證:AB=BC=CD=DA.:AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=AD.AB=BC=CD=AD.C CB BD DA Aw分析分析: :由菱形的定義由菱形的定義, ,利用平利用平行四邊形性質(zhì)可使問題得證行四邊形性質(zhì)可使問題得證. .菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì) 小試牛刀小試牛刀w定理定理: :菱形的兩條對角線互相垂直菱形的兩條對角線互相垂直, ,并且每條對角并且每條對角線平分一組對角線平分一組對角. .已知已知: :如圖如圖,AC,BD,AC,BD是菱形是菱形ABCDABCD的兩條對角線的兩條對角線,AC,BD,AC,BD相相交于點(diǎn)交于點(diǎn)O.O.求證求證:

5、 (1).ACBD;: (1).ACBD; (2).AC (2).AC平分平分BADBAD和和BCD,BCD, BD BD平分平分ADCADC和和ABC. ABC. 證明證明:(1):(1) 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形, ,AD=CD,AO=CO.AD=CD,AO=CO.DO=DO,DO=DO,AODAODCOD(SSS).COD(SSS).AOD=COD=90AOD=COD=900 0. .D DB BC CA AO OACBD.ACBD.(2)AD=AB,DA=DC,ACBD; (2)AD=AB,DA=DC,ACBD; ACAC平分平分BADBAD和和BCD,BDBCD,BD

6、平分平分ADCADC和和ABC.ABC.菱形性質(zhì)的應(yīng)用菱形性質(zhì)的應(yīng)用 例題解析例題解析w已知已知: :如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是邊長為是邊長為13cm13cm的菱的菱形形, ,其中對角線其中對角線BDBD長長10cm.10cm.求求:(1).:(1).對角線對角線ACAC的長度的長度; ; (2). (2).菱形菱形ABCDABCD的面積的面積. .解解:(1):(1)四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形, ,=2=2ABDABD的面積的面積.5102121cmBDDEAED=90AED=900 0, ,(2)(2)菱形菱形ABCDABCD的面積的面積= =ABDABD的

7、面積的面積+ +CBDCBD的面積的面積.122521322cmDEADAEAC=2AE=2AC=2AE=212=24(cm).12=24(cm).AEBD 212D DB BC CA AE E.12012102122cm菱形的面積等于兩條菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半對角線乘積的一半 已知菱形已知菱形ABCDABCD的兩條的兩條對角線對角線ACAC與與BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,O,且且AC=8cm,BD=6cmAC=8cm,BD=6cm，求菱形的周長和面積求菱形的周長和面積D DB BC CA AO O 學(xué)以致用學(xué)以致用菱形的周長為菱形的周長為20cm ,20cm ,面積為面積為24c

8、m24cm2 2解得解得: : 菱形的判別方法菱形的判別方法: :n一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形. .n四條邊都相等的四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形. .n對角線互相垂直的平行四邊形是菱對角線互相垂直的平行四邊形是菱形形. . 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形對角線互相垂直平分的四邊形是菱形. . 想一想想一想怎樣判別一個四邊形怎樣判別一個四邊形( (平行四邊形平行四邊形) )是菱形是菱形? ?菱形的判定菱形的判定w定理定理: :四條邊都相等的四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形. . 我思我思,我進(jìn)步我進(jìn)步已知已知: :如圖如圖, ,在四邊形在四邊形

9、ABCDABCD中中, AB=BC=CD=DA., AB=BC=CD=DA.w分析分析: :利用菱形定義和兩組對邊分別相等的利用菱形定義和兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形四邊形是平行四邊形, ,可使問題得證可使問題得證. .證明證明: :AB=BC=CD=DA,AB=BC=CD=DA,AB=CD,BC=DA.AB=CD,BC=DA.四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形.求證求證: :四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .AB=AD,AB=AD,四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .C CB BD DA A菱形的判定菱形的判定w定理定理: :對角線互相垂直的平

10、行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. . 我思我思,我進(jìn)步我進(jìn)步已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCDABCD中中, ,對角線對角線ACBDACBD. .求證求證: :四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .w分析分析: :要證明要證明ABCDABCD是菱形是菱形, ,就要證明有一組鄰邊相等即可就要證明有一組鄰邊相等即可. .w證明證明: :AO=CO.AO=CO.ACBD,ACBD, DA=DC.DA=DC.四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形. .四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .DBCAO( (線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩線段垂直平分線上的

11、點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等端點(diǎn)的距離相等) ) 學(xué)以致用學(xué)以致用EFDABC已知，已知，ADAD是是ABCABC的角平分的角平分線，線，DEACDEAC交交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)E E，DFABDFAB交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)F F。求證：四邊形求證：四邊形AEDFAEDF是菱形。是菱形。 證明證明: :DEDEAAC,DFC,DFABAB, ,四邊形四邊形AEDFAEDF是平行四邊形是平行四邊形DEDEACAC, ,平行四邊形平行四邊形AEDFAEDF是菱形是菱形. .ADE=DAF.ADE=DAF.ADAD是是ABCABC的角平分線的角平分線, , DAE=DAF.DAE=DAF.AE=EDAE=ED

12、. .DAE=ADE.DAE=ADE. 學(xué)以致用學(xué)以致用已知菱形已知菱形ABCDABCD中，中，E E、F F分別是分別是CBCB、CDCD上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，且且BE=DFBE=DF。求證：求證： AEF=AFE AEF=AFE 證明證明: :四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形AB=AD, AB=AD, B=DBE=DFBE=DFAEF=AFE.AEF=AFE.CADBEFABEABEADF(SAS)ADF(SAS)AE=AF AE=AF 菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)w定理定理: :菱形的四條邊都相等菱形的四條邊都相等. .w定理定理: :菱形的兩條對角線互相垂直菱形的兩條對角線互相垂直, ,并且

13、并且每條對角線平分一組對角每條對角線平分一組對角. .本課本課 小結(jié)小結(jié)w四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形, ,AB=BC=CD=AD.AB=BC=CD=AD.wAC,BDAC,BD是菱形是菱形ABCDABCD的兩條對角線的兩條對角線. .ACBD,ACBD,ACAC平分平分BADBAD和和BCD,BDBCD,BD平分平分ADCADC和和ABC.ABC.C CB BD DA AD DB BC CA AO O菱形的判定菱形的判定w定理定理: :四條邊都相等的四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形. .w定理定理: :對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形. .本課本課 小結(jié)小結(jié)w在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, , wAB=BC=CD=AD,AB=BC=CD=AD,四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .wAC,BDAC,BD是是ABCDABCD的兩條對角線的兩