1、第12卷 第1期 衡水學(xué)院學(xué)報 Vol. 12, No. 1 2010年2月 Journal of Hengshui University Feb. 2010收稿日期：2009-11-21作者簡介：劉和義(1956-,男,河北衡水人,衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院教授;玉 強(qiáng)(1979-,男,河北邯鄲人,衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院助教,理學(xué)碩士.矩陣特征值的一種新型求法劉和義 玉 強(qiáng)（衡水學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，河北 衡水 053000）摘 要：現(xiàn)行線性代數(shù)教科書求矩陣特征值較困難，計算較復(fù)雜，且容易出錯，本文提出了一種新方法，該方法與一般方法相比具有求解程序化、計算簡便、不易出錯等特點(diǎn) 關(guān)鍵詞：矩陣

2、；特征值；主子式；整除；因式分解中圖分類號：O153.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-2065(201001-0017-03學(xué)生在初學(xué)計算特征值，展開I A 為特征多項式時，現(xiàn)行教科書1-3所采用的方法是直接將行列式展開，再分解因式求特征方程的根，計算時容易出錯，即使行列式展開后，可能由于數(shù)字較大因式分解較困難，相應(yīng)的，求特征方程的根就比較麻煩下面針對一般求矩陣特征值方法的這一缺陷，首先給出一個命題，其次，基于該命題給出一種較直接，程式化，易計算的新的矩陣特征值的計算方法命題12 設(shè)(n n ij A a P ×=，則(11nknn k k k I A b =+其中(1, 2

3、, k b k n =" 是A 的所有k 階主子式之和，特別地(1, n b tr A b A =證明：記12, , , n I e e e =" ，12, , , n A a a a =" ，其中i e 和i a 分別是I 和A 的第i 列, 則1122, , , n n I A e a e a e a =" 利用行列式性質(zhì)，將上式右端拆成每列是i e 或i a 的行列式，例如122122, , , , , , n n n n I A e e a e a a e a e a =+" " , 于是有 (111121111121, ,

4、, , , , , , 1, , , , 1k k nnn n i i i n i knn ki i i i nk n I A e e e e e a e e a a A+=<<=+" " " " " " " " " 行列式1, , , , k i i a a " " " 中第1i 列，" 第k i 列依次是1, , k i i a a " 其余列是單位矩陣I 的相應(yīng)列例如1235, 3, 1, 2, 4, n k i i i =則111214

5、212224111214123453132342122244142444142445151540000, , , , 100001a a a a a a a a a a a e a e a a a a a a a a a a a a a a a = 是A 的一個3階主子式因此，3b 是關(guān)于12315i i i <<求和，即A 得所有3階主子式之和對一般n 階矩陣A ，同理可得1, , , , k i i a a " " " 是A 的一個k 階主子式，因此k b 是A 的所有k 階主子式之和18 衡水學(xué)院學(xué)報 第12卷具體到三階矩陣而言, 32123I

6、A b b b =+，其中1112233( , b tr A a a a =+2223222322232323332333233, a a a a a a b a a a a a a =+3b A = 下面舉例應(yīng)用一下此結(jié)果例1：設(shè)321222361A =, 求A 的特征值 解：A 的特征多項式為323321222361321223132(321 ( 2226131223611216.I A =+=+=+ 應(yīng)用綜合除法：2101216241621282814所以A 的特征根為2=（二重），4=例2：設(shè)121431315316205A =, 求A 的特征值解：A 的特征多項式為323212143

7、13153162051214315312314(12155 ( 13153205165151620522.I A A =+=+=+ 應(yīng)用綜合除法：112121121112012120 所以A 的特征根為1, 1=，2=（下轉(zhuǎn)第35頁）第1期 王銀花，等 基于混沌加密的DCT 域盲數(shù)字水印技術(shù) 35 (a 經(jīng)過剪切后的圖像和提取的水印圖像 (b 經(jīng)過JPEG 壓縮后的圖像和提取出的水印圖像(c 經(jīng)過椒鹽噪聲后的圖像和提取的水印圖像 (d 經(jīng)過白噪聲后的圖像和提取的水印圖像圖2 魯棒性實驗效果圖參考文獻(xiàn)：1 王炳錫, 陳琦, 鄧峰森. 數(shù)字水印技術(shù)M.西安:西安電子科技大學(xué)出版社, 2003:52

8、-60.2 王慧琴, 李人厚, 王志雄. 基于DCT 域的加密二值圖像數(shù)字水印新算法J.小型微型計算機(jī)系統(tǒng),2003,24(1:103-106. 3 武者東, 劉國枝, 譚秀湖. 一種新型的脆弱性水印算法J.計算機(jī)工程與應(yīng)用,2008,44(19:98-99.A Blind Digital Watermarking Embedding Technology Based OnChaotic Sequences and DCTWANG Yin-hua, WANG li-ping(Department of Electrical Engineering, Tongling College, Tong

9、ling, Anhui 244000, ChinaAbstract: Digital watermarking technology is widely used in digital media copyright protection. In this paper, a chaotic encrypted image digital watermarking algorithm based on DCT is presented. We encrypt image watermark by a chaotic sequence cipher before it is embedded in

10、to original images. In the algorithm, the original image is split into blocks; watermarking components are inserted into the Mid-frequency coefficients of DCT domain. The experimental results show the watermarks are robust against Gaussian noise, salt & pepper noise, JPEG, crop procession, etc.

11、Key words: chaotic sequence; digital watermarking; DCT(責(zé)任編校：李建明 英文校對：李玉玲）（上接第18頁）總結(jié)：本文通過引入一命題結(jié)合多項式整除定理，給出一種計算矩陣特征值的方法該方法具有對低階矩陣特征值計算簡便、有效、不易出錯等優(yōu)點(diǎn)，對于高階矩陣，本方法具有可程序化、易于用計算機(jī)實現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn) 參考文獻(xiàn)：1 張禾瑞, 郝炳新. 高等代數(shù)M. 4版. 北京:高等教育出版社,2002:293-296. 2 戴華. 矩陣論M.南京:南京航空航天大學(xué)出版社,2002:63-64.3 馮國勇. 淺談實對稱矩陣特征值的求法經(jīng)驗技巧J.科技信息, 200

12、7(11:406.A New Method to Solve the Matrix EigenvalueLIU He-yi, YU Qiang(College of Mathematics and Computer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 05300, China Abstract: Solving matrix eigenvalue is difficult, complex and error-prone in the existing "Linear Algebra" textbook. This paper presen