1、第九章 直線回歸和相關(guān)n第一節(jié) 回歸和相關(guān)的概念 n第二節(jié) 直線回歸n第三節(jié) 直線相關(guān)n第四節(jié) 直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系 和應(yīng)用要點(diǎn)n第五節(jié) 協(xié)方差分析n引言 這一章研究的對象：n由一個變數(shù) 兩個或多個變數(shù)，因?yàn)樵趯?shí)際生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中所要研究的變數(shù)往往不止一個，例如：n研究溫度高低和作物發(fā)育進(jìn)度快慢的關(guān)系，就有溫度和發(fā)育進(jìn)度兩個變數(shù)；n研究每畝穗數(shù)、每穗粒數(shù)和每畝產(chǎn)量的關(guān)系，就有穗數(shù)、粒數(shù)和產(chǎn)量三個變數(shù)。第一節(jié) 回歸和相關(guān)的概念n1. 函數(shù)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)關(guān)系 n2. 自變數(shù)與依變數(shù) n3. 回歸分析和相關(guān)分析n4. 兩個變數(shù)資料的散點(diǎn)圖 函數(shù)關(guān)系 有精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式 （確定性的關(guān)系） 直線回歸

2、分析 一元回歸分析 變量間的關(guān)系 因果關(guān)系 曲線回歸分析(回歸分析） 多元回歸分析 多元線性回歸分析 統(tǒng)計(jì)關(guān)系 多元非線性回歸分析 （非確定性的關(guān)系） 簡單相關(guān)分析 直線相關(guān)分析 相關(guān)關(guān)系 復(fù)相關(guān)分析 （相關(guān)分析） 多元相關(guān)分析 偏相關(guān)分析n函數(shù)關(guān)系是一種確定性的關(guān)系，例如圓面積與半徑的關(guān)系為 。其不包含誤差的干擾。n統(tǒng)計(jì)關(guān)系是一種非確定性的關(guān)系。例如，作物的產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系，兩類變數(shù)受誤差的干擾表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)關(guān)系。2RSn因果關(guān)系：兩個變數(shù)間的關(guān)系若具有原因和反應(yīng)(結(jié)果)的性質(zhì)。n相關(guān)關(guān)系：呈現(xiàn)一種共同變化的特點(diǎn)，則稱這兩個變數(shù)間存在。n回歸分析：計(jì)算回歸方程為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)分析方法。 為Y 依X

3、 的回歸方程(regression equation of Y on X )。n相關(guān)分析：計(jì)算相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)分析方法。計(jì)算表示Y 和X 相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)數(shù)，并測驗(yàn)其顯著性。n這個統(tǒng)計(jì)數(shù)在兩個變數(shù)為直線相關(guān)時(shí)稱為相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)，記為r；在多元相關(guān)時(shí)稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)(multiple correlation)，記作Ry12m ；在兩個變數(shù)曲線相關(guān)時(shí)稱為相關(guān)指數(shù)(correlation index)，記作R。)(xfy n一般規(guī)則：n當(dāng)兩個變數(shù)中Y 含有試驗(yàn)誤差而X 不含試驗(yàn)誤差時(shí)著重進(jìn)行回歸分析；而當(dāng)Y 和X 均含有試驗(yàn)誤差時(shí)則著重去進(jìn)行相關(guān)分析。

4、n4. 兩個變數(shù)資料的散點(diǎn)圖n對具有統(tǒng)計(jì)關(guān)系的兩個變數(shù)的資料進(jìn)行初步考察的簡便而有效的方法，是將這兩個變數(shù)的n對觀察值(x1，y1)、(x2，y2)、(xn，yn)分別以坐標(biāo)點(diǎn)的形式標(biāo)記于同一直角坐標(biāo)平面上，獲得散點(diǎn)圖(scatter diagram)。 n根據(jù)散點(diǎn)圖可初步判定雙變數(shù)X 和Y 間的關(guān)系，包括：X 和Y 相關(guān)的性質(zhì)(正或負(fù))和密切程度； X 和Y 的關(guān)系是直線型的還是非直線型的； 是否有一些特殊的點(diǎn)表示著其他因素的干擾等。n例如圖9.1是水稻方面的3幅散點(diǎn)圖，圖9.1A是單株的生物產(chǎn)量(X )和稻谷產(chǎn)量(Y )，圖9.1B是每平方米土地上的總穎花數(shù)(X )和結(jié)實(shí)率(Y )，圖9.

5、1C是最高葉面積指數(shù)(X )和每畝稻谷產(chǎn)量(Y )。從中可以看出： 圖9.1A和9.1B都是直線型的，但方向 相反；前者Y 隨X 的增大而增大，表示兩個變數(shù)的關(guān)系是正的，后者Y 隨X 的增大而減小，表示關(guān)系是負(fù)的。 圖9.1A的各個點(diǎn)幾乎都落在一直線上，圖9.1B則較為分散；因此，圖9.1A中X 和Y 相關(guān)的密切程度必高于圖9.1B。 圖9.1C中X 和Y 的關(guān)系是非直線型的；大約在x(67)時(shí)，Y 隨X 的增大而增大，而當(dāng)x(67)時(shí)，Y 隨X 的增大而減小。x，生物產(chǎn)量(g)水稻單株生物產(chǎn)量與稻谷產(chǎn)量的散點(diǎn)圖 x，每m2穎花數(shù)(萬)水稻每m2穎花數(shù)和結(jié)實(shí)率的散點(diǎn)圖x，最高葉面積指數(shù)水稻最高

6、葉面積指數(shù)和畝產(chǎn)量的散點(diǎn)圖第二節(jié) 直線回歸n一、直線回歸方程n二、直線回歸的假設(shè)測驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)n三、直線回歸的矩陣求解一、直線回歸方程(一)直線回歸方程式 (91)n回歸截距(regression intercept）：a是x=0時(shí)的值，即回歸直線在y 軸上的截距。n回歸系數(shù)(regression coefficient）：b是x 每增加一個單位數(shù)時(shí)，平均地將要增加(b0時(shí))或減少(b0時(shí))的單位數(shù)。bxay 時(shí)，分別對a和b 求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，可得正規(guī)方程組（normal equations）： 得 最小為)()(2121bxayyyQnnxyxbxayxban2xbya(92) xSSS

7、Pxxyyxxxnxyxnxyb22)()()(112)(xxbybxxbyy)(93) (94) 將(92)代入(91)可得： y a0,b0,b0 a0 x 直線回歸方程的圖象n由(94)可看到：當(dāng)x以離均差(x - )為單位時(shí)，回歸直線的位置僅決定于 和b ；當(dāng)將坐標(biāo)軸平移到以( ， )為原點(diǎn)時(shí)，回歸直線的走向僅決定于b，所以一般又稱b為回歸斜率(regression slope）。 xyxyn(二)直線回歸方程的計(jì)算n例9.1 一些夏季害蟲盛發(fā)期的早遲和春季溫度高低有關(guān)。江蘇武進(jìn)連續(xù)9年測定3月下旬至4月中旬旬平均溫度累積值(x，旬度)和水稻一代三化螟盛發(fā)期(y，以5月10日為0)的關(guān)

8、系，得結(jié)果于表9.1。試計(jì)算其直線回歸方程。n首先由表9.1算得回歸分析所必須的6個一級數(shù)據(jù)(即由觀察值直接算得的數(shù)據(jù))： x累積溫y盛發(fā)期35.534.131.740.336.840.231.739.244.212169273139-1 表9.1 累積溫和一代三化螟盛發(fā)期的關(guān)系 x2x y2 yyxn = 9 =35.5+34.1+44.2=333.7 =35.52+34.12+44.22=12517.49 =12+16+(-1)=70 =122+162+(-1)2=794 =(35.512)+(34.116)+44.2(-1)=2436.4然后，由一級數(shù)據(jù)算得5個二級數(shù)據(jù)： nxx22)(

9、nyy22)(nyxyxxnxyny SSx =12517.49-(333.7)2/9 =144.6356=794-(70)2/9 =249.55562436.4-(333.770)/9= -159.0444333.7/9=37.077870/9=7.7778*SSy =SP=xSSSP /xby 因而有： b=-159.0444/144.6356= - 1.0996天/(旬度)a= =7.7778-(-1.099637.0778)=48.5485(天)n故得表9.1資料的回歸方程為：n上述方程中回歸系數(shù)和回歸截距的意義為：當(dāng)3月下旬至4月中旬的積溫(x)每提高1旬度時(shí)，一代三化螟的盛發(fā)期平均

10、將提早1.1天；若積溫為0，則一代三化螟的盛發(fā)期將在6月2728日(x=0時(shí)，=48.5；因y是以5月10日為0，故48.5為6月2728日）。n由于x變數(shù)的實(shí)測區(qū)間為31.7，44.2，當(dāng)x31.7或44.2時(shí)，y的變化是否還符合=48.5-1.1x的規(guī)律，觀察數(shù)據(jù)中未曾得到任何信息。=48.5485-1.0996xy n所以，在應(yīng)用=48.5-1.1x于預(yù)測時(shí)，需限定x的區(qū)間為31.7，44.2；如要在x31.7或44.2的區(qū)間外延，則必須有新的依據(jù)。 n(三)直線回歸方程的圖示n直線回歸圖包括回歸直線的圖象和散點(diǎn)圖，它可以醒目地表示x 和y 的數(shù)量關(guān)系。n方法：制作直線回歸圖時(shí)，首先以x

11、為橫坐標(biāo)，以y為縱坐標(biāo)構(gòu)建直角坐標(biāo)系(縱、橫坐標(biāo)皆需標(biāo)明名稱和單位)；然后取x坐標(biāo)上的一個小值x1代入回歸方程得 ，取一個大值x2代入回歸方程得 ，連接坐標(biāo)點(diǎn)(x1， )和(x2， )即成一條回歸直線。如例9.1資料，以x1=31.7代入回歸方程得 =13.69；y 1y 2y 1y 2y 1n以x2=44.2代入回歸方程得 =-0.05。在圖9.3上確定(31.7，13.69)和(44.2，-0.05)這兩個點(diǎn)，再連接之，即為 =48.5485-1.0996x的直線圖象。注意：此直線必通過點(diǎn)( ， )，它可作為制圖是否正確的核對。最后，將實(shí)測的各對(xi，yi)數(shù)值也用坐標(biāo)點(diǎn)標(biāo)于圖9.3上。

12、y 2y xy x，3月下旬至4月中旬旬平均溫度累積值圖 旬平均溫度累積值和一代三化螟盛發(fā)期的關(guān)系 n圖9.3的回歸直線是9個觀察坐標(biāo)點(diǎn)的代表，它不僅表示了例9.1資料的基本趨勢，也便于預(yù)測。如某年3月下旬至4月中旬的積溫為40旬度，則在圖9.3上可查到一代三化螟盛發(fā)期的點(diǎn)估計(jì)值在5月1415日，這和將x=40代入原方程得到 =48.5485-(1.099640)=4.6是一致的。因?yàn)榛貧w直線是綜合9年結(jié)果而得出的一般趨勢，所以其代表性比任何一個實(shí)際的坐標(biāo)點(diǎn)都好。當(dāng)然，這種估計(jì)仍然有隨機(jī)誤差，下文再作討論。y n(四)直線回歸的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤nQ 就是誤差的一種度量，稱為離回歸平方和(sum of

13、 squares due to deviation from regression)或剩余平方和。 n建立回歸方程時(shí)用了a 和b 兩個統(tǒng)計(jì)數(shù)，故Q 的自由度 2 nn 得 =SSy-b(SP) =SSy-b2(SSx) =y2-ay-bxy222nyynQsxyxySSSPSSyyQ22)() (95) (96A) (96B) (96C) (96D) n(五)直線回歸的數(shù)學(xué)模型和基本假定n直線回歸模型中，Y 總體的每一個值由以下三部分組成：回歸截距 ，回歸系數(shù) ，Y變數(shù)的隨機(jī)誤差 。n總體直線回歸的數(shù)學(xué)模型： n N (0， )。相應(yīng)的樣本線性組成為：jjjXY(97) j2jjjebxay(

14、98) n回歸分析時(shí)的假定：n(1) Y 變數(shù)是隨機(jī)變數(shù)，而X 變數(shù)則是沒有誤差的固定變數(shù)，至少和Y 變數(shù)比較起來X 的誤差小到可以忽略。n(2) 在任一X 上都存在著一個Y 總體(可稱為條件總體)，它是作正態(tài)分布的，其平均數(shù) 是X 的線性函數(shù)： XY / /XXY(99) 的樣本估計(jì)值，與X 的關(guān)系就是線性回歸方程(91)。 n(3) 所有的Y 總體都具有共同的方差 ，而直線回歸總體具有 。試驗(yàn)所得的一組觀察值(xi，yi )只是 中的一個隨機(jī)樣本。n(4)隨機(jī)誤差 相互獨(dú)立，并作正態(tài)分布，具有 。 XY /),(2 XN2),(2 XN)(0,2 Nn二、直線回歸的假設(shè)測驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)n(一

15、)直線回歸的假設(shè)測驗(yàn) 1回歸關(guān)系的假設(shè)測驗(yàn) （1）t 測驗(yàn) H0： =0 對 HA ： 0 xxyxybSSsxxss/2/2)(910) n遵循 的t分布，故由t 值即可知道樣本回歸系數(shù)b來自 =0總體的概率大小n（2）F 測驗(yàn)當(dāng)僅以表示y資料時(shí)（不考慮x 的影響），y變數(shù)具有平方和SSy 和自由度 當(dāng)以表示y資料時(shí)(考慮x的影響)，則SSy將分解成兩個部分，即：bsbt22)()(yyyyyy)() () (yyyyyyyy222(911)2 n2)(yy1 nn將 記作U n回歸和離回歸的方差比遵循 的F分布 0)(yyyy222)()()(yyyyyy2)(yy xySSSPQSSyy

16、U22)()()/(/)(22nQSSSPFx112 n2因?yàn)?得2兩個回歸系數(shù)比較時(shí)的假設(shè)測驗(yàn) H0： 對 HA： (914) (915)021021212121/22xxyxxybbbbSSsSSssss22)()(/2221212nnQQsxyn例9.5 測定兩玉米品種葉片長寬乘積(x)和實(shí)際葉面積(y)的關(guān)系，得表9.4結(jié)果，試測驗(yàn)兩回歸系數(shù)間是否有顯著差異。表9.4 玉米葉片長寬乘積和葉面積關(guān)系的計(jì)算結(jié)果 由表9.4可得:品 種nSSxSSySPbQ七葉白2213518246585139424830.697181420石榴子1810708225168637436520.69447 4

17、2051.112)(182)(2242014202xys/ n 這一結(jié)果是完全不顯著的，所以應(yīng)接受H0： 即認(rèn)為葉片長寬乘積每增大1cm2，葉面積平均要增大的單位數(shù)在七葉白和石榴子兩品種上是一致的，其共同值為:0.0092107082251.11135182451.1121bbs0.30.00920.694470.69718t212121xxSSSSSPSPb0.695981070822135182474365294248322(cm /cm )n（二）直線回歸的區(qū)間估計(jì) 1直線回歸的抽樣誤差n在直線回歸總體 中抽取若干個樣本時(shí)，由于 ，各樣本的a、b 值都有誤差。因此，由 =a+bx給出的點(diǎn)

18、估計(jì)的精確性，決定于 和a、b的誤差大小。比較科學(xué)的方法應(yīng)是考慮到誤差的大小和坐標(biāo)點(diǎn)的離散程度，給出一個區(qū)間估計(jì)，即給出對其總體的 、 、 等的置信區(qū)間。 )(2,XN2y 2xys/XY / 2回歸截距的置信區(qū)間 n由(92)，樣本回歸截距a ，而 和b的誤差方差分別為： 。故根據(jù)誤差合成原理，a的標(biāo)準(zhǔn)誤為：n由 是遵循 的t 分布的?？?體 回歸截距有95可靠度的置信區(qū)間為： L1=a-t 0.05 ，L2=a+t0.05 /22/2/222xxyxxyxybyaSSxnsSSxsnsxsss21xby yxxybxyySSssnss2/22/2，(917)asa/)(2 nasas(91

19、8) 3回歸系數(shù)的置信區(qū)間 由 (911)可推得總體回歸系數(shù) 的95%可靠度的置信區(qū)間為：L1=b-t 0.05 ，L2=b+t 0.05 4條件總體平均數(shù) 的置信區(qū)間 n由 ，故 的標(biāo)準(zhǔn)誤為：條件總體平均數(shù) 的95%置信區(qū)間為： L1= -t 0.05 ，L2= +t0.05 (921) XY / )(xxbyyy xxyxxyxybyySSxxnsxxSSsnsxxsss2/22/2/222)(1)()(XY /y y ysys(920)bsbs(919) n5條件總體觀察值Y Y 的預(yù)測區(qū)間 將(94)代入(98) yi= +ei， )(xxby2/22/2/2/222xyxxyxyxy

20、byysxxSSsnssxxsss)()(xxySSxxns2/)(11(922)n保證概率為0.95的Y 或y 的預(yù)測區(qū)間為： L1= -t0.05 ，L2= +t0.05 (923) 6置信區(qū)間和預(yù)測區(qū)間的圖示 n首先取若干個等距的x 值(x 取值愈密，作圖愈準(zhǔn)確），算得與其相應(yīng)的 、 、 和 、 的值；然后再由 和 算得各x上的L1和L2，并標(biāo)于圖上；最后將各個L1和L2分別連成曲線即可。 y y ysysy ysysyst 0.05yst 0.05ysty 0.05ysty 0.05 例9.10 試制作例9.1資料的y估計(jì)值包括和y在內(nèi)有95%可靠度的置信區(qū)間圖。表9.6 例9.1資料

21、的置信區(qū)間和y y的預(yù)測區(qū)間的計(jì)算y XY /ysyst 0.05ysyst 0.051L2L (2)(3)(4)(6)(7)(8)，(1)x的95置信區(qū)間計(jì)算y的95預(yù)測區(qū)間計(jì)算(5)L1，L23032343637384042444615.613.411.29.07.96.84.62.40.2-2.02.211.751.371.131.091.121.351.722.172.665.24.13.22.72.62.63.24.15.16.310.4,9.3,8.0,6.3,5.3,4.2,1.4,-1.7,-4.9,-8.3,20.817.514.411.710.59.47.86.55.34.

22、33.952.723.533.463.433.463.533.693.924.219.38.88.38.28.18.28.38.79.39.96.3,4.6,2.9,0.8,-0.2,-1.4,-3.7,-6.3,-9.1,-11.9,24.922.219.517.216.015.012.911.19.57.9 一代三化螟盛發(fā)期估計(jì)及其 95%置信限 n畫出 的圖像，依次標(biāo)出n(x，L1)和(x，L2)坐標(biāo)點(diǎn)，n再連接各(x，L1)得 線，n連接各(x，L2)得 線。連n接各(x，L2)得 線。 和 n 所夾的區(qū)間即包括 n在內(nèi)有95可靠度的置信區(qū)間。 n稱(x， )的連線 ，(x， )n的連

23、線 。其所夾的區(qū)間即n為y的95的預(yù)測區(qū)間或預(yù)測帶。 3月下至4月中旬平均溫度累積值 例9.1資料的y y 估計(jì)值及其95%置信帶y CDABABCDXY /1LGH2LEFAB-15-10-5051015202528303234363840424446n三、直線回歸的矩陣求解n回歸分析的計(jì)算程序可概括為：n算得6個一級數(shù)據(jù)，即n、 、 、 和 n由一級數(shù)據(jù)算得5個二級數(shù)據(jù)，即SSx、SSy、SP、 和 ；n由二級數(shù)據(jù)計(jì)算 U 和 Q 并進(jìn)行 F 測驗(yàn)，顯著后進(jìn)一步算出 b 和 a，獲得直線回歸方程。n(一) 直線回歸方程的矩陣解法n一個直線回歸的樣本線性方程(98)可改寫為： x2x y2y

24、 xyxynn 對觀察值可按(924)寫成n 個等式： n若定義：jjjexbby10nnnexbbyexbbyexbby102210211101 (925)(924)nX X為系數(shù)矩陣或結(jié)構(gòu)矩陣。則(925)可寫成矩陣形式： nyyy21 Ynxxx21 11 1Xneee21 e10 bbbnnneeebbxxxyyy21102121 11 1n即 ：Y=Xb+e (926) n要使(926)中的b b成為回歸統(tǒng)計(jì)數(shù)，必須滿足 為最小。n故由n解得： )-()(XbYXbYeeQ022)2()-()( XbXYXbXbXbYXbYYbXbYXbYbQ 0XbXYX n即 n因此 b= (9

25、27)n其中： 為( )的逆矩陣。 的元素用cij表示，在統(tǒng)計(jì)上又稱cij為高斯乘數(shù)(Gauss multiplier)。n(二) 直線回歸假設(shè)測驗(yàn)的矩陣解法n用矩陣方法可以求得b向量的方差為： YXXbX )()(1YXXX 1)(XX XX 1)(XX n因而b的顯著性測驗(yàn)可表示為： n這一t 值的自由度為 。bi=b0時(shí)即為回歸截距的測驗(yàn)；bi=b1時(shí)即為回歸系數(shù)的測驗(yàn)。222 101100 xybbbbbbs/1)()(XXbV) 1)(1(/iixyicsbt2 n(930)(929)n 在計(jì)算(930)中離回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤 時(shí)要用到Q，其矩陣計(jì)算式為： (931)n總平方和SSy 及回

26、歸平方和U 的矩陣計(jì)算式為： xys/YX bYYee ) (2yyQ /)(22QSSnUnnyySSyy/)(/)(22Y1YX bY1YY（932）n（932）中的1為由n個1組成的列向量：111 1n 1第三節(jié) 直線相關(guān)n一、相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)n二、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)測驗(yàn)一、相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)n（一）相關(guān)系數(shù)n(X，Y )總體沒有相關(guān)，則落在象限、的點(diǎn)是均勻分散的，因而正負(fù)相消， = 0。 NYXYX1)(n當(dāng)(X，Y )總體呈正相關(guān)時(shí)，落在象限、的點(diǎn)一定比落在象限、的多，故 一定為正；同時(shí)落在象限、的點(diǎn)所占的比率愈大，此正值也愈大。 NYXYX1)()(n當(dāng)(X，Y )總體呈負(fù)相關(guān)時(shí)，則

27、落在象限、的點(diǎn)一定比落在象限、的為多，故 一定為負(fù)；且落在象限、的點(diǎn)所占的比率愈大，此負(fù)值的絕對值也愈大。 NYXYX1)(n 的值可用來度量兩個變數(shù)直線相關(guān)的相關(guān)程度和性質(zhì)。但是，X 和Y 的變異程度、所取單位及N的大小都會影響其大小。n這些因素的影響是可以消去的。方法就是將離均差轉(zhuǎn)換成以各自的標(biāo)準(zhǔn)差為單位，使成為標(biāo)準(zhǔn)化離差，再以N 除之。n可定義雙變數(shù)總體的相關(guān)系數(shù)為： NYXYX1)(n （933）n(933)的已與兩個變數(shù)的變異程度、單位和N大小都沒有關(guān)系，是一個不帶單位的純數(shù)，因而可用來比較不同雙變數(shù)總體的相關(guān)程度和性質(zhì)。 n相關(guān)系數(shù)是兩個變數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化離差的乘積之和的平均數(shù)。 NYYX

28、XYXN1122)()()(YXYXYXYXn樣本的相關(guān)系數(shù) r (934)n因?yàn)椋?在回歸分析時(shí)分成了兩個部分：一部分是離回歸平方和Q ，另一部分是回歸平方和U =(SP)2/SSx。n因此，又可有定義： yxSSSSSPyyxxyyxxr22)()()(2)(yySSy2) (yy2)(yyyxyxySSSSSPSSSSSPyyyySSUr/)()()(222nr 的取值區(qū)間是-1，1。雙變數(shù)的相關(guān)程度決定于 |r|，|r|越接近于1，相關(guān)越密切；越接近于0，越可能無相關(guān)。 nr 的顯著與否還和自由度有關(guān)， 越大，受抽樣誤差的影響越小，r 達(dá)到顯著水平的值就較小。正的r 值表示正相關(guān)，負(fù)的

29、r 值表示負(fù)相關(guān)。而相關(guān)系數(shù)r的正或負(fù)和回歸系數(shù)b是保持一致。(二) 決定系數(shù) n決定系數(shù)(determination coefficient)定義為由x不同而引起的y 的平方和 占y總平方和SSy= 的比率；也可定義為由y不同而引起的x 的平方和 占x總平方和SSx= 的比率，其值為： （935） 2)(yyU2)(yy2)(xxU2)(xxxyyxSSSSSPSSSSSPr/)(/)(222yxSSSSSP2)(n所以決定系數(shù)即相關(guān)系數(shù)r 的平方值。n決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的區(qū)別在于： 除掉|r |=1和0的情況外，r2總是小于|r |。這就可以防止對相關(guān)系數(shù)所表示的相關(guān)程度作夸張的解釋。例如

30、，r =0.5，只是說明由x 的不同而引起的y 變異(或由y 的不同而引起的x 變異)平方和僅占y 總變異(或 x 總變異)n平方和的r2 =0.25，即25%，而不是50%。n r 是可正可負(fù)的，而r2則一律取正值，其取值區(qū)間為0，1。因此，在相關(guān)分析由r 的正或負(fù)表示相關(guān)的性質(zhì)，由r2 的大小表示相關(guān)的程度。n (三) 相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)的計(jì)算二、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)測驗(yàn)n(一) 的假設(shè)測驗(yàn)n測驗(yàn)一個樣本相關(guān)系數(shù) r 所來自的總體相關(guān)系數(shù)是否為0，所作的假設(shè)為H0： 對HA： 0。n在的總體中抽樣，r的分布隨樣本容量n的不同而不同。nr的抽樣誤差：0 021nrsr2(936)n當(dāng) 時(shí)：n 或

31、(937)n此 t 值遵循 的t分布，由之可測驗(yàn) H0： 。n對于同一資料，線性回歸的顯著性等價(jià)于線性相關(guān)的顯著性。n將(937)移項(xiàng)，即可得到自由度和顯著水平一定時(shí)的臨界 r 值：0 rsrt 21rnr22 n0n (二) 的假設(shè)測驗(yàn)n測驗(yàn)一個實(shí)得的相關(guān)系數(shù)r與某一指定的或理論的相關(guān)系數(shù)C是否有顯著差異，其統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H0： 對HA： C。r22ttC C=（938）n在 0時(shí)，r 的抽樣分布具有很大的偏態(tài)(圖9.6)且隨n 和 的取值而異，類似(937)的轉(zhuǎn)換已不再能由t分布逼近。 n可將r轉(zhuǎn)換為z值： |1|1ln 11ln0)(21或0)( 21rrrzrrrz(939) 圖9.6 不

32、同時(shí)的r r 的抽樣分布(n n=8) back00.8-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9nz近似于正態(tài)分布，具有平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差：n n和 |ln ln0)(1121或0)(1121zz31nz(940)(941)n由 (942)n可測驗(yàn)H0： 。n(三) 的假設(shè)測驗(yàn)n測驗(yàn)兩個樣本相關(guān)系數(shù)r1和r2所分別來自的總體相關(guān)系數(shù)和是否相等，因此有H0： 對HA： 。由于 r 轉(zhuǎn)換成 z 后才近似正態(tài)分布，故這一測驗(yàn)也必須經(jīng)由(939)和(940)的 z 轉(zhuǎn)換進(jìn)行。 zzzuC21 2112n兩個 z

33、 值的差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為： (943)n由 (944)n可測驗(yàn)H0： ，亦即測驗(yàn)H0： 。n在H0： = 被接受時(shí)，應(yīng)將r1和r2合并為一個r來31312121nnzz2121)()(21zzzzzzu21zz2112n表示整個資料的相關(guān)情況。合并的方法是將兩樣 本的平方和和乘積和分別相加后再代入(934)。n 即)(212121yyxxSSSSSSSSSPSPr第四節(jié) 直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系和應(yīng)用要點(diǎn)n一、直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系n二、直線回歸和相關(guān)的應(yīng)用要點(diǎn)n一、直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系n回歸與相關(guān)間的內(nèi)在聯(lián)系：n(1)相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化的回歸系數(shù)n回歸系數(shù)b是有單位的，但若對b作消去單位的標(biāo)準(zhǔn)

34、化處理，即對b中x和y的離均差以各自的標(biāo)準(zhǔn)差sx和sy為單位，則有：222222)()()()()()(xxxxyyyyxxxxsssyyxxsxxsyysxxxyxxyx 所以，有時(shí)把相關(guān)系數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)。n(2) 相關(guān)系數(shù)r是y依x的回歸系數(shù)by/x和x依y的回歸系數(shù)bx/y的幾何平均數(shù)。n若對同一資料計(jì)算x 依y 的回歸，則有bx/y=SP/SSy，因此rSSSSSPyyxxyyxxyx22)()()(rrSSSSSPSSSPSSSPbbyxyxyxxy22/(3)線性回歸方程也可用相關(guān)系數(shù)表示因?yàn)閤yxyyxxxyssrSSSSSSSSSPSSSPb/所以由(94)表示的回歸方程可

35、改寫成：)(xxssryyxy (4) 線性回歸和離回歸的平方和也可用相關(guān)系數(shù)表示。yyyxxSSrSSSSSSSPSSSPU222yySSrUSSQ)(12n二、直線回歸和相關(guān)的應(yīng)用要點(diǎn)n(1) 回歸和相關(guān)分析要有學(xué)科專業(yè)知識作指導(dǎo)。n(2) 要嚴(yán)格控制研究對象(X 和Y )以外的有關(guān)因素，即要在 X 和Y 的變化過程中盡量使其它因素保持穩(wěn)定一致。n(3) 直線回歸和相關(guān)分析結(jié)果不顯著，并不意味著X和Y 沒有關(guān)系，而只說明X 和Y 沒有顯著的線性關(guān)系，它并不能排除兩變數(shù)間存在曲線關(guān)系的可能性。n(4) 一個顯著的r 或b 并不代表X 和Y 的關(guān)系就一定n是線性的，因?yàn)樗⒉慌懦饽軌蚋玫孛枋?/p>

36、X 和Y 的各種曲線的存在。n(5)在X 和Y 的一定區(qū)間內(nèi)，用線性關(guān)系作近似描述是允許的，它的精確度至少要比僅用描述y變數(shù)有顯著提高。n(6) 一個顯著的相關(guān)或回歸并不一定具有實(shí)踐上的預(yù)測意義。 n(7) 為了提高回歸和相關(guān)分析的準(zhǔn)確性，兩個變數(shù)的樣本容量n(觀察值對數(shù))要盡可能大一些，至少應(yīng)有5對以上。 第五節(jié) 協(xié)方差分析n一、協(xié)方差分析的意義和功用n二、單向分組資料的協(xié)方差分析n三、兩向分組資料的協(xié)方差分析n一、協(xié)方差分析的意義和功用n(一) 協(xié)方差分析的意義n協(xié)方差(covariance)是兩個變數(shù)的互變異數(shù)。對于一個具有N 對(X，Y )的有限總體，其定義為： NYiXiYXNcov

37、1)(1(945)n對于由n 對(x，y )組成的樣本，則可定義： n樣本協(xié)方差是乘積和與自由度的商，即平均的乘積和。一般又稱為均積(mean products)或協(xié)方，記作MP，它是總體協(xié)方差 cov 的估值。n協(xié)方差分析(analysis of covariance)是將回歸分析和方差分析綜合起來的一種統(tǒng)計(jì)方法。 niiyyxxncov1)(11(946)n(二) 協(xié)方差分析的功用n1. 當(dāng)（x，y）為因果關(guān)系時(shí)，可利用 y 依 x 的回歸系數(shù)矯正y變數(shù)的處理平均數(shù)，提高精確度。n2. 當(dāng)（x，y）為相關(guān)關(guān)系時(shí)，可通過估計(jì)不同變異來源的總體方差和協(xié)方差，作出相應(yīng)的相關(guān)分析。n二、單向分組資

38、料的協(xié)方差分析n(一) 資料模式與線性組成設(shè)有k 組回歸樣本，每組各有n 對觀察值，則該資料共有kn 對數(shù)據(jù)，其模式如表9.8。 1xT1x 1yT1y 2xT2x 2yT2y1kx2kx3kxnkx kxTkx1ky2ky3kynky kyTkyxTyTxy組 別觀察值總和平均1x11x12x13x1ny11y12y13y1n2x21x22x23x2ny21y22y23y2nkn單向分組資料協(xié)方差分析的樣本線性組成為： (947A)n將(947A)移項(xiàng)得： (947B) n和 (947C)ijijeiijexxbtyy)(ijijeiijexxbyty)(ijijeexbaijiijeije

39、tyxxby)(n(二) 乘積和和自由度的分解 n上式中和的 i=1，2，3，k。n其中： 1)-(1)-(1)-( 相應(yīng)自由度為：111 1nkknkSPSPSPyyxxyyxxnyyxxetTknkk niiii )()()( )()()()(tTyxkkneyxkyxtyxknTSPSPTTnxySPTTnkTTnSPTTnkxySPiiii11111111（949）（948）n如果各組的n不等，分別為n1、n2、nk，其和為，則 n其相應(yīng)自由度為 、 、 。 22112211)()(1)()(1211211kyxyxyxneyxikyxyxyxtyxinTnTTnTTnTTxySPTT

40、nnTTnTTnTTSPTTnxySPkkikki1in1kkni(950)n(三) 回歸關(guān)系的協(xié)方差分析n協(xié)方差分析解決問題的步驟如下：n(1)列出處理間、處理內(nèi)和總變異的DF、SSx、SSy和SP。n(2)測驗(yàn)x 和y 是否存在直線回歸關(guān)系。n(3)測驗(yàn)矯正平均數(shù)間的差異顯著性。n(4) 如果所得F 為不顯著，表明間無顯著差異；如果F 為顯著，則必須算出各個，進(jìn)行多重比較，作出相應(yīng)推斷。 n(四) 相關(guān)關(guān)系資料的協(xié)方差分析n相關(guān)關(guān)系資料的協(xié)方差分析主要討論兩個互有聯(lián)系的總體的相關(guān)問題。n例9.16 為研究小麥品種經(jīng)濟(jì)性狀的數(shù)量遺傳，隨機(jī)抽取90個品種，在田間每品種皆種成4個小區(qū)(每小區(qū)1行

41、)，共904=360個小區(qū)，完全隨機(jī)排列。得到小穗數(shù)(x )和百粒重(y )的方差和協(xié)方差分析結(jié)果于表9.13。 表9.13 90個小麥品種的小穗數(shù)(x x)和百粒重(y y)的方差分析與協(xié)方差分析 224)()(xxe224)()(yyeecovcov2)(xe2)(yeecov+4變異來源DFx的方差分析y的方差分析(x，y)的協(xié)方差分析SSMSEMSSSMSEMSSPMPEMP品種間 89597.996.719087.82510.9868-127.426-1.4322品種內(nèi)270108.810.4030 8.31610.03089.9610.0369總變異359706.8096.1412

42、-117.501n表9.13中，x和y兩者的方差分析按第六章第三節(jié)的方法作出；(x，y )的SP 則由(949)求出。將各SP除以相應(yīng)的DF，即得平均的乘積和，即MP。期望協(xié)方EMP的分量和隨機(jī)模型的EMS 相同，僅是以協(xié)方差符號cov代替 。這是處理(品種)效應(yīng) 為隨機(jī)型的資料，目的不是研究特定的品種，而是研究抽出這些品種的小麥總體，因而需估計(jì)有關(guān)總體參數(shù)。n由表9.13中的MS 和EMS 的關(guān)系可得：2i0.4030)(2xe 由表9.13中MP 和EMP 的關(guān)系得：1.57900.4030)/4-(6.7190)(2x0.0308)(2ye0.23900.0308)/4-(0.9868)

43、(2y0.0369cov e-0.36730.0369)/4-(-1.4322cov因此，小穗數(shù)和百粒重的環(huán)境相關(guān)系數(shù)re為：22)()(covyexeeer0.33120.03080.40300.0369 品種(基因型)相關(guān)系數(shù)rg為：22)()(covyxgr-0.59790.23901.57900.3673 以上re所對應(yīng)的自由度是k(n-1)-1=269，為極顯 著；rg的假設(shè)測驗(yàn)比較復(fù)雜，其簡單近似是具自由 度k-2=88，亦為極顯著。 根據(jù)以上方差和協(xié)方差分量，還能估計(jì)出小穗數(shù)和 百粒重的表型相關(guān)rp可估計(jì)為： )(2)()(2)(22yyexxeepcovcovr0.45180.

44、2390)03081.5790)(0.(0.40300.36730.0369n三、兩向分組資料的協(xié)方差分析 n(一) 資料模式與線性組成 若資料有m類k組，則mk對觀察值按兩向分類，其模式如表9.14。表9.14 兩向分組的兩個變數(shù)的符號n樣本線性組成為： (954A)n移項(xiàng)后可得： (954B) n和 (954C) ijijejiijexxbrtyy)(ijijejiijexxbyrty)(ijijeexbaijjiijeijertyxxby)(n(二) 乘積和和自由度的分解n 表9.14的總SP 可分解為類間、組間和誤差三部分，其值為： （955）tRTekkyxyxjjtmmyxyxii

45、RmkkmyxTSPSPSPSPmkTTTTmyyxxmSPmkTTTTkyyxxkSPmkTTxyyyxxSPjjii111111)(1)()(1)()(n（三）協(xié)方差分析n兩向分組資料的協(xié)方差分析和單向分組資料并無原則上的不同，只是多了一個方向的變異來源。n例9.17 表9.15是研究施肥期和施肥量對雜交水稻南優(yōu)3號結(jié)實(shí)率影響的部分結(jié)果，共14個處理，2個區(qū)組，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)。由于在試驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)單位面積上的穎花數(shù)對結(jié)實(shí)率似有明顯的回歸關(guān)系，因此將穎花數(shù)(x，萬/m2)和結(jié)實(shí)率(y，%)一起測定。該試驗(yàn)的處理效應(yīng)為固定型，故按因果關(guān)系資料回歸模型作協(xié)方差分析。 表9.15 南優(yōu)3號的穎花數(shù)（

46、x x）和結(jié)實(shí)率（y y）資料 ixiy)(xxiy處理區(qū) 組TiIIIxyxyxy12345678910111213144.594.093.943.903.453.483.393.143.344.124.123.843.963.0358656466717171726961636764754.324.114.113.573.793.383.033.243.044.764.753.604.503.01 61 62 64 69 67 72 74 69 69 54 56 62 60 718.918.208.057.477.246.866.426.386.388.888.877.448.466.041

47、191271281351381431451411381151191291241464.4554.1004.0253.7353.6203.4303.2103.1903.1904.4404.4353.7204.2303.02059.563.564.067.569.071.572.570.569.057.559.564.562.073.064.7666.0365.9567.2267.8468.8768.1866.0264.5362.6464.6064.1065.5367.22Tr52.3993753.21910105.60 1847n 首先用兩向分組資料的通常方法算得表9.15資料的各項(xiàng)平方和于表9.16，乘積和則由以下各式算出：SPT=(4.5958)+(4.0965)+(3.0171)1847)(105.6281 = - 73.60SPR=-0.791847)(105.628114910)(53.21937)(52.39SPt=2146)(6.04127)(8.20119)(8.91-66.371(105.6 1847)28 SPe= - 73.60 - (- 0.79) - (- 66.37)= - 6.44 表9.16 表9.15資料的平方和和乘積和 變