1、1繼續(xù)繼續(xù) 數(shù)學(xué)問題的形式千變?nèi)f化數(shù)學(xué)問題的形式千變?nèi)f化, ,結(jié)構(gòu)錯綜復(fù)雜結(jié)構(gòu)錯綜復(fù)雜, ,尋找正確有效尋找正確有效的解題途徑的解題途徑, ,意味著尋找一條擺脫困境意味著尋找一條擺脫困境, ,繞過障礙的途徑繞過障礙的途徑. . 數(shù)學(xué)思維優(yōu)秀者之所以能有效的解題數(shù)學(xué)思維優(yōu)秀者之所以能有效的解題, ,無論是其推理論證無論是其推理論證方法之美妙方法之美妙, ,還是其計算方法之靈巧還是其計算方法之靈巧, ,都在于有意識或無意識都在于有意識或無意識地利用了各種轉(zhuǎn)化地利用了各種轉(zhuǎn)化. . 匈牙利著名的數(shù)學(xué)家羅莎匈牙利著名的數(shù)學(xué)家羅莎彼得在他的名著彼得在他的名著無窮的玩藝無窮的玩藝中中, ,通過一個十分生動

2、而有趣的笑話通過一個十分生動而有趣的笑話, ,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化這這一一數(shù)學(xué)家們的思維特點(diǎn)數(shù)學(xué)家們的思維特點(diǎn): : 有人一群人提出了這樣一個問題有人一群人提出了這樣一個問題:“:“假設(shè)在你面前有煤氣假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”對此某人回答：對此某人回答：“在壺中灌上水，點(diǎn)燃煤氣，再把壺放到煤在壺中灌上水，點(diǎn)燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上。氣灶上?！碧釂栒呖隙诉@一回答，但是，他又追問道：提問者肯定了這一回答，但是，他又追問道：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠多如果其他的條件都沒有

3、變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠多的水，那么你又應(yīng)該怎么做？的水，那么你又應(yīng)該怎么做？”這時，這時，“靈活靈活”的人可能說：的人可能說：“點(diǎn)燃煤氣再把壺放到煤氣灶上。點(diǎn)燃煤氣再把壺放到煤氣灶上。”但是，這一回答卻未能但是，這一回答卻未能使提問者感到使提問者感到探索法探索法2探索法探索法滿意。因?yàn)?，提問者認(rèn)為更為恰當(dāng)?shù)幕卮鹗牵簼M意。因?yàn)?，提問者認(rèn)為更為恰當(dāng)?shù)幕卮鹗牵骸爸挥形锢碇挥形锢韺W(xué)家才會這樣做，而學(xué)家才會這樣做，而數(shù)學(xué)家會倒去壺中的水?dāng)?shù)學(xué)家會倒去壺中的水，并聲稱他已，并聲稱他已經(jīng)后一問題轉(zhuǎn)化成先前的已經(jīng)得到解決的問題了。經(jīng)后一問題轉(zhuǎn)化成先前的已經(jīng)得到解決的問題了?！?“把水倒掉！把水倒掉！”這是

4、一種多么簡潔而夸張的回答，這是一種多么簡潔而夸張的回答，然而它又恰恰體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的眼光和策略。然而它又恰恰體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的眼光和策略。 羅莎指出，這種轉(zhuǎn)化的策略和方法羅莎指出，這種轉(zhuǎn)化的策略和方法 對數(shù)學(xué)家來說是十對數(shù)學(xué)家來說是十分典型的。這就是說：分典型的。這就是說：“他們往往不是對問題實(shí)行正面的他們往往不是對問題實(shí)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，轉(zhuǎn)化問題的形式，從側(cè)面或攻擊，而是不斷地將它變形，轉(zhuǎn)化問題的形式，從側(cè)面或反面尋找突破口，直到把它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)能夠得到解決的問反面尋找突破口，直到把它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)能夠得到解決的問題。題。 從今天開始從今天開始, ,我們將陸陸續(xù)續(xù)地通過一些我們將陸陸續(xù)續(xù)

5、地通過一些數(shù)學(xué)問題來體會解決問題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)問題來體會解決問題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思維的策略和方法的策略和方法. . 33.3.探索常從考慮簡單情形入手探索常從考慮簡單情形入手4.探索須充分利用已有信息探索須充分利用已有信息1.探索常從熟悉的地方開始探索常從熟悉的地方開始2.探索常從問題的結(jié)論或條件變形著手探索常從問題的結(jié)論或條件變形著手 5.探索也可以嘗試探索也可以嘗試 “ “跟著感覺走跟著感覺走”4練習(xí)練習(xí)ABCODE56練習(xí)練習(xí)78先看一個游戲先看一個游戲 具體地說來，從簡單情況考慮可以分為從復(fù)具體地說來，從簡單情況考慮可以分為從復(fù)雜退到簡單雜退到簡單, ,從一般退到特殊，從抽象退到具體，從一般退到特殊，從抽象退到具體，從整體退到部分從整體退到部分, ,從陌生退到熟悉等從陌生退到熟悉等. .嘗試嘗試思考練習(xí)思考練習(xí)9嘗試嘗試10思考練習(xí)思考練習(xí)11 于是猜想于是猜想: :所有把所有把矩形分成面積相等的直矩形分成面積相等的直線一定過中心線一定過中心. .證明是不會太