1、習(xí)題一(P13)2.設(shè)a(t)是向量值函數(shù)，證明:(1) a 常數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)a(t),a(t)0；(2) a(t)的方向不變當(dāng)且僅當(dāng) a(t) a(t) 0。.一一 2(1)證明：a 吊數(shù) a 常數(shù) a(t),a(t) 常數(shù)a(t),a(t)a(t),a(t)02 a(t),a(t)0a(t),a(t)0。(2)注意到：a(t) 0,所以a(t)的方向不變單位向量e(t) 7a2常向量。 a若單位向量e(t)a(t)a常向量，則e(t)e(t) e(t) 0。反之，設(shè)e(t)為單位向量，若e(t) e(t)0 ,則 e(t)/e(t)。由e(t)為單位向量e(t),e(t)1e(t),e(t)0

2、 e(t)e(t)。從而，由e(t)/ee(t) e(t)e(t) 0 e(t)常向量。所以，a(t)的方向不變單位向量e(t)a(t)a(t)常向量e(t) e(t) 0a(t)a(t)a(t)a(t)la(t)a(t)2 a(t) a(t)a(t)dt(|a(t)|)|a(t)|a(t) a(t) 0a(t) a(t) 0。即a(t)的方向不變當(dāng)且僅當(dāng)a(t) a(t) 0。補(bǔ)充:定理r平行于固定平面的充要條件是r，r ，r (t)0證明："":若r(t)平行于固定平面，設(shè)n是平面 的法向量，為一常向量。于是， r(t),n 0 r (t),n0, r (t), n 0

3、r(t),r (t),r (t)共面 r(t), r (t),r (t)0。"":若 r(t),r (t),r (t)0 ,則 r(t), r (t), r (t)共面。若 r(t) r (t) 0則r(t)方向固定，從而平行于固定平面。若 r(t) r (t) 0,則 r(t) r(t) r (t)。令 n(t) r(t) r(t),則n r (t) r (t) r(t) r (t)r(t) r (t) r(t) (t)r(t) (t)r (t)(t) r(t) r (t)(t)n(t)n(t) n(t)0,又 n(t) 0n(t)有固定的方向，又n(t) r(t)r(t

4、)平行于固定平面。性質(zhì)（1）證明：設(shè)v13.證明性質(zhì)與性質(zhì)。(Xi,X2,X3),V2 ( yi, y2, y3), V3 (Zi, Z2,Z3),V2 V3 (Wl, W2, W3),v2v3ijkyiy2y3z1z2z3y2Z2y3Z3y3 yiZ3Ziyiy2ZiZ2Wiy2Z3y3Z2, W2iyiZ3,W3kyiZ2丫2乙,左二Vl(V2V3)XiX2X3W3X2W3 X3W2, X3W1 X1W3,X1W2 X2W1X2X3X3XiXiX2W3,W3 Wi WiW2X2W1Z2 y2Zi X3y3Zi yiZ3, X3y2Z3y3Z2Xdy% y2Zi,Xiy3乙 丫話X2B2Z3

5、 丫34X2Z2X2Z2X2Z2X3Z3yi X2y2 及的乙,%4 XZ/y2X3Z3yi,X3Z3 Xi4y2,XiZ X2Z2N3X3y3X2y2X3Z3XiZiyi,X3Z3 x* X2Z2y2,X*X2Z2X2y2XiZi X2Z2X3y3 Xiyi”,x3y3 X/X2y2z2,XiyiXiyiZ2,XiZi*3丫34,僅3丫3X3Z3N3X2y2 X3y3Z3X2Z2N3 XiyiXiyiZ2,XiyiX2V2z3X2y2Z3Vi ,V3 V2(2)證明：設(shè)X3Z3 yi,y2,y3 以2丫2 X3y3 Xiyi 4*2,4V2 V3右Vi(X,X2,X3)”2(y1，y2, 丫

6、3)*(Zi,Z2, Z3),V4(W,W2,W3)，vi v2XiV3V4Y左二XiX2X3X2X3X3XiXiX2yiV2y3y2y3y3yiyiV2Xi,X2,X3X2y3iZiZ2W3ViX3y2, X2X3%Xiy3, X 3Xiy2Z2Z3Z3W2"V2,V3 V4Z2Z3WiWiW2丫,Y2,Y3Z3WiZiW3，工X"X2Y2Z|W2Z2Wi.X3Y3(乂2丫3 X3y2)(Z2W3 Z3W2) (X3y1 x1y3)(Z3W 4W3)X2Z2 y3W3 X2W2 y3Z3 (XiyiZiWi (XiyiWiy2W2X3Z3丫222乂3也x2y2Z2W2x2

7、y2Z2 也yWiX3Z3Xi 4 y3W3 2乙丫202yiZiX3W3 XiZiy3W3XiWiy3Z3(XiV2X2Vi)(4也Z2Wi)yiWiX2Z2xiwiy2Z2 yiZix2w2X3y3Z3W3) X2Z2 y3W3 '加'Z X3 y3Z3W3) X2W2 7也 y2Z2X3W3yWiX3Z3XiZiy3W3x14y2W2(x4 X2Z2 X3Z3)(yWi y2W2y3W3) (KW x2w2Vi Zi X3W3X3W3)(yiZiXiWi y3Z3XiWiV2Z2y2Z2y3Z3)yiWiX2Z2yigWzVi，V3V V4MM(3)證明：設(shè) Vi (Xi

8、,X2,X3),V2 (yi, y2, y3), V3 (Zi,Z2, Z3),則vi v2ijkXiX2X3X2X3X3XiyiV2 V3X1X2 y3 X3y2, X2V2 y3 V3yiyiV2Xi,X2,X3X3yiXiy3,X3Xi、2X2、iV3,Vi,V2V3,Vi V2ZiXi Z2X2 Z3X34儀2丫3 X3y2) Z2(X3yi X1y3) Z3 (Xi y2 x2%)(zix2y3 y1Z2X3 x1y2Z3)口”XiZ2 y3yX2Z3)同理,V3ViZiZ2Z3Z2Z3Z3ZiZiZ2XiX2X3X2X3X3XiXiX2丫工,丫3丫 Z2X3 Z3X2,Y2Z3Xi

9、V2,V3,ViV2,V34X3,Y3 ZiX2 Z2XiyiYi y2Y2 y3Y3yi(Z2X3 Z3X2) y2(Z3Xi 4X3)¥3(4X2 Z2Xi)(ZiX2y3 yiZ2X3 xy2Z3)改 x1z2y3 yiX2Z3)V3,Vi,v2V2v3yiZiV2Z2V3Z3y2y3Z2Z3y3yiZ34yiy2ZiZ2Zi,Z2,Z3乙 y2Z3 y3Z2,Z2Vi, V2,V3Vi,V2y3Zi yiZ3,Z3 yiZ2 7以V3XiZi X2Z2 X3Z3Xi(y2Z3 '心 X2(y3Zi y1Z3) X3(y1Z2 丫2乙)(Zix2y3 yiZ2X3 x1

10、y2Z3)xz2y3 y1X2Z3)V3,Vi,v2所以，Vi,V2,V3V3,Vi,V2V2,V3,m 。性質(zhì)i j k證明：(1)( f) (,)x y z x y z_f f _fx y zy z2fz y2f 2f證明：(2)2f 2f2f(0,0,0) 0.x y2rz2Qy2pz2R4.設(shè)0；0©，0是正交標(biāo)架,(1)O;e (1),e(2)(1)(2)2qx2P0.是1,2,3的一個(gè)置換，證明:，e(3)是正交標(biāo)架;與O; e，e,e定向相同當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)偶置換。證明:所以,證明:A)當(dāng)O;e(12)e (1),eBNe (1),ej時(shí),j時(shí),，e(i)(i),e(1)

11、 2,(j)(j)e ，e (j)e (i),e 是正交標(biāo)架。1, (3)0;1,e2,e1,e3e1,e2,e3,det1;(13) 3, (2)2, (3)e3,e2,ee1,e2,e3,det1;C)當(dāng) (23) 3, (3) 2, (1) 110 01 0 0e (1),e，e (3)el,e3,e20 1 ,det 0 0 1D)(1) (12)(12),此時(shí),O;e(D,e，eE)(123)(12)(13)(1) 2, (2)3,1,，eF)(132)(13)(12)0 ,det0，ee3,e,e所以,Oee© 與1；1；(1) 3, (3)O； e (1) , e (2

12、) ,e 2,1,1 ,det01.定向相同當(dāng)且僅當(dāng)_a.個(gè)偶置換。習(xí)題二（P28） 1.求下列曲線的弧長與曲率:(1) y ax2解：r(x) (x, ax2)r (x) (1,2ax)xx l(x)|r(t)dtJ1 4a2t2dt令2|a|t tan ,、,1 4a2t2 sec ,則sec3 d1I 2|a|I sec d (sec tan2sec )dd sec dln |sec tan | CC3tan d sec sec d tan sec sec，,.1tansec Isec dI-tansec21 2|a|t，1 4a2t2 ln 2|a|t J 4a2t2 2所以,1 4a

13、2t2dt13=sec2a-I2|a|bjl 4a2t2 In 2|a|t Ji 4a2t2(%2|a|4|a|l(x)r(t)dt .1 4a2t2dt021 a | x 1 4a2x2 4|a| 1 1In 2 |a | x v1 4a2x22 .設(shè)曲線r (x(t), y(t),證明它的曲率為小 x(t)y(t) x(t)y(t)(t)3(x)2 (y)22證明:r(t) (x(t),y(t) r(t) (x (t), y (t) r(t) (x (t), y (t)t(s)n(s)&s)&s)r (t)dr 出dt工(x(t)，y)ds(y(t),x(t)? dsd 2

14、rddt2 r (t)dsdsdsdt(t)孤d2t菽(s)n(s)22dtd tdtr (t) 2(s)( y(t),x(t)-dsdsds,22,/*、dt /*、d2tdtx (t) x(t)(s)y(t) 一dsdsds,2, 2,一、出 一、d tdty (t)y(t)2 (s)x (t)_dsdsdsdt 2/,、d2tx(t) ds x(t)ds2 (s)ZTdiy擊2x(t)y (t)乎 x(t)y(t) d dsds22 dt(y)(x)dsdt 2/,、d2ty (t) y (t) 2ds dsdtx(t) dsx(t)y(t) x(t)y(t)22 ds(y)(x)dt(

15、t)l、(x)2 (y)2(t)(s)x(t)y(t) x(t)y(t)3(y)2 (x)2 2x(t)y(t) x (t)y(t)3(y)2 (x)2 23.設(shè)曲線C在極坐標(biāo)下的表示為r，即f(C的曲率表達(dá)式為2f(f2( ) 2fd32 2f2( ) fd證明:r cosf( )cos ,y r sinf ( )sin所以,r()(f( )cos , f( )sin )(f ( )cos f ( )sin,f ( )sinf ( )cos(f (f ( )cos)cos)cos f ( )sin2 f ( )sinf( )sin ;,f ( )sinf ( )cosf( )cos , ff

16、 ( )sin)cos2 f ( )sinf ( )cos ；()sinf ( )cos2 f ( )cos f ( )sin )y f ( )sin 2f ( )cos f( )sin因此,xy x y f ( )cos f ( )sinf ( )sin 2 f ( )cosf( )sin2 f ( )sinf ( )cosf ( )sin f( )cos f ( )cos22f2( ) 2 f ( ) f( )f ()(y)2(x)2f ( )cos2f ()f(f(2)sinf ( )sinf ( )cos)y ()x ( )y(f2()3(x)2 (y)22f2()df d”)富d32

17、 24.求下列曲線的曲率與撓率：(4) r(t) (at, V2alnt,a) (a 0) t2a a2a 2a2 2a 6a、斛：r (a,t, 邛 r (0, -p-,，r (0, t3, yr);r (t)r (t)t22a2t42a2t3、2a2a,2a2t2t2t3r (t) r_ 442a 4a2a4r (t)a2r ,r ,rt8t6t4年Gt2a2t4t2 1222a at2t4t2t2 12a2 (丁2 a2t32a22.2a-t),(0, -t-3-,6a32,2a3t6所以,(t)r(t)r (t)t2r (t)33亙t2 1t2、2a2 t2 t43a t2t6、,2t

18、22 ，22a t2 1(t)r ,r ,r2r (t) r (t)2.2a32at6t422-t2 1t25.證明:_3 .E3的正則曲線r(t)的曲率與撓率分別為(t)r (t) r (t)31r (t)r r r (t)dr證明：drdsdr dtdt dst(s) &s)t&s) r (t)dt 2 ds. 3r (t)dt r (t) dsd2tds23rdt d2t(t)2ds ds/、d3t r(t)ds3根據(jù)弗雷內(nèi)特標(biāo)架運(yùn)動方程t dn dsb&s)(s)n(s)n(s)£(st&s)b(s) t(s)n(s)1-t(s) &s

19、) (s1(s)dt工(t)2dtdsds1(s)dt ds3r(t)r (t)1(s)/、 dt(s) ds3dtds3(t)r (t)r (t)r (t)r (t) r (t)3dsdtr (t)r (t)r (t)3&s)(s)n(s)8(s)n(s)(s)&(s)由 n(s) =(s)t(s)(s)b(s)t&s) &(s)n(s)(s)(s)t(s)(s)b(s)8(s)n(s)2(s)t(s)(s) (s)b(s)&(s),b(s)(s) (s)因?yàn)?&&s),b(s)dt 3 ds2.dt d t ”、 3r (t)2 r

20、(t)ds dsd3t1ds3，dt 3ds r(t) r(t)61 dt(s) dsr ,r,r所以， (s) (s)=(s)dtdsr ,r,rdtds6.證明：曲線r(s)(13 s)23s:2(1 s 1)以s為弧長參數(shù)，并求出它的曲率，撓率與Frenet 標(biāo)架。證明:1(1 s)221，,21 s 1)所以,111 ( 1 s 1)該曲線以s為弧長參數(shù)。t&s) r (s)(1 s) 2 ,(1 s) 2 ,0 ( 1 s 1)44(1 s) 1 (1s)11s 16168(1 s2)11n(s) t&s). (s)2(1 s)(1 s) ,2(1 s)(1 s)5,

21、0jkb(s) t(s) n(s)1(1 s)2212(1 s)(1 s)21(1 s)212、212(1 s)(1s)30111,.2(1 s)(1 s)2, .2(1 s)(1 s)*,4(1 s2)313s 1 3s 八 口由 &s),-?=,0 及1 s 1 sb(s) ,2(1 s)(1 s), .2(1 s)(1 s)54(11s2)2(s)i&(s),b(s)Js,12s,0 ,J2(1 s)(1 s)2,72(1 s)(1 s)2,4(1 s2)2.1 s 、1 s1-3s ,2(1 s)(11 s12(1 3s)(1 s2)2s)2s 72(1s)(1s戶.1

22、 s11.2(1 3s)(1 s2/2、, 2(1 s2/所以,c、12)(s)山 2、，( 1 s 1)；(s)8(1 s )1272(1 s2)", ( 1 s 1)。3)所求 Frenet 標(biāo)架是 r(s);t(s), n(s),b(s),其中t(s)1(1 s)221(1 s)21；2(1 s 1),n(s)112(1 s)(1 s)2,2(1 s)(1 s)2,0 ( 1s 1),b(s)111-2(1 s)(1 s)-2(1 s)(1 s)14(1 s2)2 ( 1s 1)。310.設(shè)T(X) XT P是E中的一個(gè)合同變換，detT31。r(t)是E中的正則曲線。求曲線%

23、 Tor與曲線r的弧長參數(shù)、曲率、撓率之間的關(guān)系。t解：(1) S(t) 1% )d0d(T or)dd刃 P)d |r( )Td r( )d S(t) 0 d00可見，% Tor與曲線r除相差一個(gè)常數(shù)外，有相同的弧長參數(shù)。n, %(t) %(t)(2) %t)-3kz%(t)r(t)T r(t)T|3r (t)T|sgn(detT) r (t) r (t) T 卜(t) r (t)|r (t)3r (t)3(t)可見，% Tor與曲線r有相同的曲率。“%,% rT,r T,r T rT,r T r T(3) %t)2 2 ,2%(t) %(t)|r (t)T r (t)T|r (t) r (

24、t)rT ,sgn(detT)(rr (t) r (t)|2r )Tsgn(detT)rT,sgn(detT)(r r )T|r(t) r (t)2sgn(detT)rT,(r r )Tr (t) r (t)|2sgn(detT)r ,(r r )| r (t) r (t)|2sgn(detT)r ,r ,rr (t) r (t)2r ,r ,r2(t)r (t) r (t)可見，% Tor與曲線r的曲率相差一個(gè)符號。13. (1)求曲率 (s)2a 2 (s是弧長參數(shù))的平面曲線 r(s)。a s解：設(shè)所求平面曲線 r(s) x(s), y(s)因?yàn)閟是弧長參數(shù)，所以|r(s)| 1x(s)

25、22y(s) 1可設(shè) x(s) cos , x (s)sin,由曲率的定義，知d/ ads(s) P12a 22 dsa ssds arctan 一 ads1 tan2 (arctan-)1a -a2ds aln(s , a2 s2) s2s、,y(s)sin(arctan)dsa2s、21 cos (arctan-) ds2 Ssec (arctan) a-ds22s、1 tan (arctan-) a-ds2ss、x (s) cos(arctan -), x (s) sin(arctan)s、，x(s) cos(arctan -)dsa"ds .a2 s2 a s所以，所求平面曲

26、線r(s)aln(s aas2), Va2s2)。(2cos - ,2sin ，t)20.證明:曲線 r(t) (t 73sint,2cost, 73t sint)與曲線 %t)是合同的 證明：1)對曲線C% % %t)作參數(shù)變換t 2u,則% (2cosu,2sin u, 2u)?？芍狢%是圓柱螺線(a 2,b2),它的曲率和撓率分別為 =，因此，只要證明曲線C: r r(t)的曲率 ；撓率 1 ,從而根據(jù)曲 線論基本定理，它們可以通過剛體運(yùn)動彼此重合。2)下面計(jì)算曲線C的曲率 與撓率。由 r(t) (1 73cost, 2sint,x/3 cost) |r (t) | 2夜，進(jìn)而 r (t

27、) (、3sint, 2cost, sin t)r (t) r (t) (2、3cost 2, 4sin t, 2.3 2cost) 2(1.3cost,2sin t, .3 cost)|r (t) r (t)| 4 .21。4vvv v _1r (t)( J3 cost,2sint, cost) r (t),r (t), r(t)8一。421.證明：定理定理設(shè)(s) 0是連續(xù)可微函數(shù)，則(1)存在平面E2的曲線r(s),它以s為弧長參數(shù)，(s)為曲率;(2)上述曲線在相差一個(gè)剛體運(yùn)動的意義下是唯一的。證明：先證明(1),為此考慮下面的一階微分方程組e(s)(s)e>(s)(s)B(s)

28、drds(1.(1) dsde2ds給定初值r0,e0,e0,其中e°,e°是E2中的一個(gè)與自然標(biāo)架定向相同的正交標(biāo)架，以及so (a,b),則由微分方程組理論得，(1.1)有唯一一組解r(s);e (s),&(s)滿足初始條件:r(s);e (s),e2(s) |s s0r0;e0,e2。標(biāo)架。因此，我們首先證明若r（s）為所求曲線，則 e（S）,Q（S）必是它的Frenetei(s),e2(s)s (a,b)均是與自然定向相同的正交標(biāo)架。將微分方程組（1.1）改寫成(1.2) de2ajej(s), i 1,2j 1其中aij2 20(s)(s)o0是一個(gè)反對稱

29、矩陣，即aaijaaji0i,j 1,2.令(1.3)gij(S)e(s),e*s)( gj)i, j 1,2.對（1.3）求導(dǎo)，并利用（1.2）有:(1.4) ds gij (s) 1 sej(s)s,ej/、d /、e(s嗑ej(s)a(s),ej(s)2由ek(s),ej(s)k 12為ek(s),ej(s)k 122e(s), ajkQ(s) k 12 ajkei(s),ek(s)k 12 ajkek(s),ei(s)k 1aikgkj(s) ajkgki(s) i, j 1,2.k 1(1.(4) gij (s) i是微分方程組(1.5)i , j ,4(1.(5) dsfij2ai

30、kfkj(s)ajk fki(s)i, j 1,2.k 1的解。定義j1, i0, ij； j.i 1,2.則dsj 0，i，j 1Z 且(a1k k1aik k1 )allallk 10, i2(a2 k k2a2 k k2 )a22a220, ik 1aikkj ajk ki2(a1k k2a2k k1) a12a21k 12(a2k k1a1k k2)a21a12k 10, i1,j20, i2,j1dsaik kj ajk kii,j 1,2.所以，j,i 1,2.是微分方程組(1.5)的解。注意到：gj(s0) i,j1,2 ij i,j1,2,所以 gij(s) i,j1,2 是微

31、分方程組(1.5)滿足初始條件gj(S0) i . 12 ij i . 12的唯一解。從而 ,j , j /gij(s) ij, i,j 1,2.所以，e)(s),e2(s)s (a,b)均是正交標(biāo)架。由于 F(s) e (s),e2(s),s (s) e2(s)s (a,b)是關(guān)于 s 的連續(xù)函F(s) 1或-1。故由F(s0)e (務(wù))©(20),0($0) ezS) =1 知，F(xiàn)(s) e (s),e2(s),e (s) e2(s) =1, s (a,b)?？梢?，e(s),e2(s)s (a,b)均是與自然定向相同的正交標(biāo)架。于是由微分方程組(1.1)有：drdse1dr(s)

32、 =1,這表明s為弧長參數(shù)。從而由 一 e(s)推出t(s) dse(s)是單位切向量。由deL(s)e2(s)推出(s)de1t&s)是曲線r(s)的曲率，從而 由dsdsde11 de(s)e2(s)推出由 n(s) &s)©2(s)，即 ©2(s)te單位正法向重。ds(s)(s) ds可見，微分方程組(1.1)的滿足初始條件：r(s)；G (s),e2(s) 1ss0r0；e0,e2唯一一組r(s);e,©2(s)的確表明：存在平面E2的曲線r(s),它以s為弧長參數(shù)，(s)為曲率，當(dāng)(s)是連續(xù)可微函數(shù)時(shí)。再證明(2):設(shè)ri(s)與Ms

33、)是平面E2中兩條以s為弧長參數(shù)的曲線，且定義在同一個(gè)參數(shù)區(qū)間(a,b)上，i(s)2(s) 0 s (a,b)。則存在剛體運(yùn)動T(X) XT P 把曲線 Ms)變?yōu)?r1(s),即 ri Tor?。證明開始：設(shè)0 (a,b),考慮兩條曲線在s 0處的Frenet標(biāo)架(0)力(0),5(0)與 r2(0);t2(0),n2(0)。則存在 平面E2中一個(gè)剛體運(yùn)動T把第二個(gè)標(biāo)架變?yōu)榈谝粋€(gè)標(biāo)架，即r1與T or2在s 0處的Frenet標(biāo)架重合。因此我們只須證明當(dāng)曲線r2(s)與r1(s)在s 0處的Frenet標(biāo)架重合時(shí)，r2r1。曲線Frenet標(biāo)架的標(biāo)架運(yùn)動方程為(1.6)drdst(s)dt

34、 ds dnds(s)n(s)(s)t(s)這是一個(gè)關(guān)于向量值函數(shù)r,t, n的常微分方程。曲線r2(s)的Frenet標(biāo)架與r1(s)的Frenet標(biāo)架都是微分方程組(1.6)的解。它們在s 0處重合就意味著這兩組解在s 0的初值相等，由解對初值的唯一性定理立即得到1。定理證明完成習(xí)題三(P68)2 (1) r(u,v)a(uv),b(u v),4uv是什么曲面?x a(u 解：y b(uz 4uvv)v)22:y_z馬鞍面a b4.證明:曲面FGy,-) x x0的切平面過原點(diǎn)。證明:無妨假定方程,v z、F(-,-) 0確定一個(gè)z f(x, y)的隱函數(shù)，于 x xF(y,-)Fi4)

35、LxfxyFi zF2F1 (-)xx xA fy) xfyxF2 f1 F2設(shè) r(x,y)x,y, f(x, y),則rx 1,0, fx1,0,yF1 zF2xF2ry 0,1, fyF10,1,-ryyF1 zF2xF2F1F2yF1 zF2 旦 1 xF2, F2 ,所以，P(x, y,z)處的切平面為yF*(XxF2x)口丫 y)F 2(Zz)易見，當(dāng)(X,Y,Z)(0,0,0)時(shí)，有:xF2(0x) 30F 2y)(0z)yF1F2zF2 yF1zF2F2=0=右所以結(jié)論為真。6.證明：曲面S在P點(diǎn)的切平面TPS等于曲面上過P點(diǎn)的曲線在P點(diǎn)的切向量的全體。證明：設(shè)曲面 S的參數(shù)方

36、程為r r(u,v), (u,v) D ,P r(u0,V0),(u0,V0) D o 令(u(t),v(t)為參數(shù)區(qū)域 D中過(Uo,Vo)則的參數(shù)曲線，r(t) r(u(t),v(t)為曲面上過 P點(diǎn)的曲線。于是dr-p 出du幾(Uo ,Vo) P dtdvv(Uo,Vo) pdt這表明曲線r(t)r(u(t),v(t)過P點(diǎn)的切向量dr出ru(Uo,Vo)與 rv(Uo,Vo)線性表出。可見過P點(diǎn)的切向量如出P都在過P點(diǎn)的切平面上。另一方面，對于任意切向量wru(Uo,vo)rv(Uo,vo) TpS,在參數(shù)區(qū)域D中取過(u0,v0)且方向?yàn)閘 (,)的參數(shù)曲線(u(t),v(t) (

37、uot,vot)則此時(shí)，r(t) r(u(t),v(t)r(uot,v°t)chdr,、，、從而 一pru(uo,vo)rv(uo, vo)w。dt這表明：在P點(diǎn)的切平面TpS中每一個(gè)向量都是過 P點(diǎn)的某一曲線的位于 P點(diǎn)的切向量。于是：曲面S在P點(diǎn)的切平面TPS等于曲面上過P點(diǎn)的曲線在P點(diǎn)的切向量的全體。25.求雙曲拋物面r(u,v) a(u v), b(u v), 4uv的Gauss曲率K ,平均曲率H ,主曲率1, 2和它們所對應(yīng)的主方向.解：由幾(a, b,4v),(a,b,4u)b2 16v2, F ab216uv ,16u2。其中由ruu2 2b(u v), 2a(u 2

38、_ _ 2EG F 82b (u0, ruv(0,0,4),v),v)22a2(uv)22b(u v), 2a(u v), ab ,0, M8abEG F22一 LN M K2EG F2_2 264 a b2-EG F2于是Gauss曲率K :2, 2a b平均曲率H :MFEG8ab(a2 b2 i6uv)(EG F2)3/2ab(a2 b2 16uv)224b (u v)222 2 3/24a (u v) 2a b因?yàn)镸0,所以M2F2 (LN M2)( EG F2)2 2EG F2M 2EG2-EG F2MEGEG F2，所以主曲率i：M (F.岳)EG F2ab (a2 b2 16uv

39、) . (a2 b2 16u2)(a2 b2 16v2)對應(yīng)的主方向?yàn)閐u : dv其中iF所以224b2(u v)2(iF M):(M MF(F EG)4a2 (uiE L)M(EGEG F2M EG(FEG)EG F2v)2F2)EG i.9 9 3/22a2b2iFM): iE ,MF .EG MEGEG F2du: dv.a2 b2 4u2 : . a2 b2 4v2。同理,另一個(gè)主曲率M(F .EG)EG F2ab (a2 b2 i6uv) J(a2 b2 i6u2)(a2 b2 i6v2)，3/24b (u v) 4a (u v) 2a b對應(yīng)的主方向?yàn)閡: v ' G :

40、 E a2 b2 4u2: . a2 b2 4v2。注：設(shè)W:TpS TpS為外恩格爾登變換，則runu ar, brvnv c% drvW ru ,W rvSvruduqdvduW rudvW rvW ru ,WdudvduW rudurvdvrudu rvdvru，rvdvr ra cdu r rdua cduduru,rvb dru,rvdvdvb ddvdvdududu0aca cSvdudv ;dvdvdvLGMFMGNFEG F2EG F2duME LFEG F2NE MFEGF2dv(LGMF)(EGF2)MGNFdu(L1EGMEE)GMEF2du: dv補(bǔ)充：定理(1)函數(shù)L

41、FNEMF(EGF2)dvF(MF)MGNFduLF(NG)EF(MF)dvdudvdudvdudv是主曲率的充要條件是dudvE L F M0。 F M G N(2)方向d = du:dv是主方向的充要條件是Edu Fdv Ldu Mdv0 (WW)。Fdu Gdv Mdu Ndv證明：(1)設(shè)du : dv是對應(yīng)的主方向，則有 W dr dr ,即nudu nvdvrudu rudv。分別用ru，rv與上式兩邊作內(nèi)積，得Ldu Mdv Edu Fdv , Mdu Ndv Fdu Gdv 。 所以主方向du:dv滿足(E L)du ( F M)dv 0,(F M)du ( G N)dv 0.由于du, dv不全為零，可得E L F M 0 F M G N(2)在臍點(diǎn)，K H2 0,12 H。 從而由II H I可知L HE ,M HF , N HG , (WW)中的兩個(gè)方程成為恒等式。此時(shí)，任何方向都是主 方向。在非臍點(diǎn)，分別用 1和 2代入(E L)du ( F M)dv 0, (F M)du ( G N)dv 0. 得到相應(yīng)的主方向du:dv ( 1F M ):( 1E L) ( 1G N):( 1F M )(2F M):( 2E L)(2G N):( 2F M )