1、本章思考與練習(xí)7.1 考慮AR(1)模型，其中，（1）證明如果，那么對(duì)所有的t均有，也即，期望值與方差和時(shí)間t無(wú)關(guān)。注意到，如果，那么為無(wú)窮大；如果，那么為負(fù)值。（2）證明，即只取決于兩期的距離s。根據(jù)（1）和（2）證明，AR(1)模型是弱平穩(wěn)的。（3）產(chǎn)生一個(gè)AR(1)序列，其中T250，0.25，的取值分別為。繪出該AR(1)序列并求出關(guān)于s的自相關(guān)函數(shù)。7.2 考慮MR(1)模型，其中（1）證明期望值與方差與時(shí)間t無(wú)關(guān)，即，。（2）證明，且當(dāng)時(shí)，有，即證明的取值與s無(wú)關(guān)。根據(jù)（1）和（2）證明，MR(1)模型是弱平穩(wěn)的。（3）產(chǎn)生一個(gè)MR(1)序列，其中T250，0.25，的取值分別為。

2、繪出這個(gè)MR(1)序列并求出關(guān)于s的自相關(guān)函數(shù)。7.3 應(yīng)用我國(guó)的消費(fèi)收入數(shù)據(jù)完成下列題目：（1）計(jì)算滯后m13期的收入以及其一階差分序列的樣本自相關(guān)系數(shù)，并繪出兩者的樣本自相關(guān)圖。（2）應(yīng)用LjungBox的QLB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)零假設(shè)，對(duì)所有的。（3）進(jìn)行（7.6）式給出的DickeyFuller回歸，并對(duì)收入進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。（4）在回歸方程右側(cè)增加的1期、2期、3期滯后，根據(jù)（7.7）式進(jìn)行擴(kuò)展的DickeyFuller回歸。（5）定義，將對(duì)和常數(shù)項(xiàng)做回歸。檢驗(yàn)收入的一階差分序列是平穩(wěn)的。你能得到什么結(jié)論？是I（1）過(guò)程嗎？（6）運(yùn)行（7.22）式的回歸，進(jìn)行EngleGranger（1987

3、）協(xié)整檢驗(yàn)。（7）假設(shè)（7.13）式的擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)ARCH（2）過(guò)程，進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。（8）應(yīng)用和的數(shù)據(jù)重做（1）到（7），得到的結(jié)果會(huì)發(fā)生變化嗎？7.4 分析下面問(wèn)題：（1）生成隨機(jī)游走序列和yt，服從，T25。運(yùn)行回歸，分別在1、5、10的顯著性水平上使用t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)零假設(shè)H0；。重復(fù)1000次，說(shuō)明在每個(gè)顯著性水平被拒絕的頻率。你能得到什么結(jié)論？（2）當(dāng)T=100和T=500時(shí)重復(fù)（1）。（3）生成如（7.13）所描述的帶漂移的隨機(jī)游走序列和yt，服從，。重復(fù)（1）和（2）。（4）生成如（7.13）所描述的無(wú)約束的趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程序列和yt，服從，。重復(fù)（1）和（2）。（5）描述在（1）到（

4、4）中，由不同樣本規(guī)模和時(shí)間序列生成方法所得到的統(tǒng)計(jì)量的頻率分布，能得到什么結(jié)論？提示：參考Grange和Newbold（1974）、Davidson和MacKinnon（1993）、Banarjee，Dolado，Galbraith和Hendry（1993）的Monte Carlo方法。7.5 搜集我國(guó)的貨幣供給、GNP和利率序列，請(qǐng)按下列要求分別建立適當(dāng)?shù)娜匠蘓AR模型：（1）每個(gè)變量取滯后兩期。（2）每個(gè)變量取滯后三期。（3）計(jì)算（1）和（2）的似然比。（4）應(yīng)用貨幣供給和利率兩變量的VAR模型進(jìn)行因果檢驗(yàn)，每個(gè)變量取三期滯后。檢驗(yàn)利率不是引起貨幣供給變化的Granger原因。（5）如

5、果在（4）部分對(duì)每個(gè)變量只滯后兩期，檢驗(yàn)的敏感性如何？7.6 簡(jiǎn)單的確定性時(shí)間趨勢(shì)模型：，其中(1) 證明，自變量矩陣X的第t個(gè)觀測(cè)值為。(2) 已知和，證明時(shí)矩陣非正定。(3) 已知其中是一個(gè)的非奇異矩陣，證明是有限正定矩陣且。(4) 令，證明服從分布，服從分布，且，從而有。證明，當(dāng)時(shí)，的漸近分布為。(5) 應(yīng)用（3）和（4）的結(jié)論證明，的漸近分布為。由于有系數(shù)，而不是，所以稱其為超一致的。這意味著不僅依概率收斂于零，也是如此。注意得到這個(gè)結(jié)果并不需要正態(tài)分布假設(shè)。證明時(shí)要應(yīng)用中心極限定理，所需要的假設(shè)為白噪聲有有限四階矩，詳見(jiàn)Sims，Stock和Watson（1990）或Hamilton

6、（1994）。7.7 確定性時(shí)間趨勢(shì)模型的假設(shè)檢驗(yàn)?；贖amilton（1994）。在7.6題中，我們證明到和分別以和的不同速率收斂于同一個(gè)值。不僅如此，即使不服從正態(tài)分布，通常的最小二乘法的t和F統(tǒng)計(jì)量仍然漸近有效。(1) 證明對(duì)有。(2) 檢驗(yàn)，采用最小二乘法通常要計(jì)算，其中，由第6題給出。分子分母同乘以并利用問(wèn)題7.6（3）的部分結(jié)果可以證明，t統(tǒng)計(jì)量與有相同的漸近分布，其中為問(wèn)題7.6所定義的的（1，1）元素。應(yīng)用問(wèn)題7.6（5）的部分結(jié)果可以證明，漸近于N(0,1)分布。(3) 檢驗(yàn)，采用最小二乘估計(jì)通常要計(jì)算，分子分母同乘以并利用問(wèn)題 7.6（3）的部分結(jié)果可以證明，t統(tǒng)計(jì)量與有

7、相同的漸近分布，其中為問(wèn)題6所定義的的（2，2）元素。利用問(wèn)題7.6（5）的部分結(jié)果可以證明，漸近于N(0,1)分布。7.8 隨機(jī)游走模型?？紤]以下隨機(jī)游走模型，（1）證明可以寫(xiě)成，其中，即有。（2）將隨機(jī)游走方程的兩邊同時(shí)平方，求出。將累加，可以得到。兩邊同時(shí)除以，證明漸近服從分布。提示：。（3）已知，證明。提示：應(yīng)用問(wèn)題7.6中的表達(dá)式。（4）假設(shè)我們要估計(jì)的是一個(gè)AR（1）過(guò)程而不是隨機(jī)游走，也即，真實(shí)的。OLS估計(jì)為 ，證明。注意到分子部分已在(2)中考慮過(guò)，分母在(3)中考慮過(guò)?？梢宰C明時(shí)的漸近分布是隨機(jī)變量同一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)分布的比值。關(guān)于該問(wèn)題的討論超出了本書(shū)的范圍，詳見(jiàn)Hamilton（1994）或Fuller（1976）。我們要證明的是，如果，那么不再服從正態(tài)分布，即時(shí)標(biāo)準(zhǔn)最小二乘法所得到的結(jié)果。同時(shí)，證明在非平穩(wěn)（隨機(jī)游走）模型中，的收斂速度T比在平穩(wěn)條件下的收斂速度快。由（3），顯然為得到一收斂分布，分母必須除以而不是T。7.9考慮（7.14）和（7.15）中的協(xié)整的例子，回答以下問(wèn)題：（1）證明（7.16）和（7.21）式。（2）證明對(duì)回歸得到的的OLS估計(jì)量是超一致的，也即要證明當(dāng)時(shí)，plim。（3）為研究EngleGranger兩步法的有限樣本偏倚，讓我們進(jìn)行以下Monte Carlo實(shí)