1、第17講-角與弧度制、三角函數(shù)的概念一、考情分析1 .了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性；2 .借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.二、知識(shí)梳理1 .角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形. 按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.按終邊位置不同分為壑限魚和軸線角.終邊相同的角：所有與角。終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合5=肥二a+仁360。, kGZ).2 .弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于生欲氐的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角a的弧度數(shù)公式

2、kzl = ：(弧長用/表示)角度與弧度的換算r-180rad； lrad-(5)：弧長公式弧長l=or扇形面積公式3 .任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x, y),那么sina=» cosa=. tana =*xWO).(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線 的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1, 0).如圖中有向線段MP，OM, AT分別叫做角a的正弦 線、余弦線和正切線.微點(diǎn)提醒1 .若 a£（。，芻，則 km tz>a>sin a.2 .角度制與弧度制可利用180。=兀ra

3、d進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致, 不可混用.3 .象限角的集合第一象限地：al2AFVa<2Hr + .,*CZ 第U第二象限/：用2AF+I<a<2Af+b*WZ）第三象限用：al24F+k<av%k+等AG可第四象限角：等vav2AF+2F&GZ）4 .軸線角的集合/ / 終邊落伯軸 I：的ffi： ala =Af J;£Z） i 而TIM落在v軸上的角4/-如皿WZ）的；I“、終邊落在標(biāo)軸上的加al。=如0三、經(jīng)典例題考點(diǎn)一角的概念及其集合表示【例1-1 若角a是第二象限角，則與是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三

4、象限角D.第二或第四象限角（2）終邊在直線）二小工上，且在一2兀，2兀）內(nèi)的角a的集合為.【解析】（1）丁夕是第二象限角，A+2EVgV兀+2履，k£Z,W+EVvg+E, k£ZI乙 乙當(dāng)攵為偶數(shù)時(shí)，苧是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，5是第三象限角.(2)如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線y=/x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是看 在0, 2兀)內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)：$；在-2兀，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：一示，一土，故滿足條52 it 4件的角a構(gòu)成的集合為' 一打，一？，耳兀二規(guī)律方法1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有 角的集合，然

5、后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限，一般是先將南化為2E+a(0WaV27T)(k£Z)的形式, 然后再根據(jù)a所在的象限予以判斷.考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用【例2-1】(經(jīng)典母題)已知一扇形的圓心角為a,半徑為凡 弧長為/.若R=10cm,求扇 形的面積.【解析】由已知得a=1, R=10,1) 1 兀)50兀9 S 出形=5a/?-=5g10-="y-(cnr).【遷移探究1】若例題條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積.【解析】/=。/?=金義10=半(cm),s弓形=s裝形-S詞形= !R2-sin g1 10jt 1 ,

6、 S=2T-10-210- 250 兀- 75s ，=o匚(cm)【遷移探究2】若例題條件改為：“若扇形周長為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí), 這個(gè)扇形的面積最大？【解析】 由已知得,/+2R=20, B|J /=20-2/?(0</?<10).所以 S=；/?=:(20-2/?)R=10R-/?2=-(r-5)2+25,所以當(dāng)R=5cm時(shí)，S取得最大值25 cm2,此時(shí)/= 10 cm, =2rad.規(guī)律方法1 .應(yīng)用弧度制解決問題的方法：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方

7、法使問題得到解決.2.求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.考點(diǎn)三三角函數(shù)的概念【例3-1】(1)在平面直角坐標(biāo)系中，若角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(sin；, cos胃，則sin(兀+a) = ()C2則角a是(B-2cos a若 sin atan a<0,且-<0, 7tan aB.笫二象限角D.笫四象限角【解析】(1)易知sin坐,C .第三象限角A.第一象限角由三角函數(shù)的定義可得sina=則 sin（7t+a）= _ sin a= 一§_、COS O. 一由sin atan avO可知sin a, tana異號(hào)，則a為第二或第三象限角；由一10可

8、知cos a, tan aan g.異號(hào)，則a為第三或第四象限角.綜上可知，。為第三象限角.規(guī)律方法1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定 這個(gè)角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.三角函數(shù)線的應(yīng)用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點(diǎn)，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解.方法技巧1 .在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)尸可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)OPI = r 一定是正值.2 .在解決簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是體現(xiàn)數(shù)學(xué)直觀想象核

9、心素養(yǎng).3 .注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳甭、小于90。的南是概_(tái)念不同的三類甭.第一類是象限角，第 二、第三類是區(qū)間角.4 .相等的角終邊相同，但終邊相同的角不一定相等.5 .已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.四、課時(shí)作業(yè)1.（2020湖南省高一月考）終邊落在直線y = x上的角的集合為（）A. aa = lk7t + . k eZ 4C. aa = 2k7r± . k eZ4B. aa = k7r + . k eZ 4D. aa = k7r± . k eZ 42.（2019,呼瑪縣高級(jí)中學(xué)高一月考）若扇形的面積為三、半徑為1，則扇形的圓

10、心角為（8A.3冗 B.43萬C.83/ D.163.（2019,黑龍江省大慶四中高一月考（文）已知扇形圓心角為三，而積為則扇形的弧長等于（） o34 . （2020上海高一課時(shí)練習(xí)）若夕是第二象限角，則:是（）2A.第一象限角B.第一象限角或第二象限角C.第一象限角或第三象限角D.第一象限角或第四象限角5 .（2020上海高一課時(shí)練習(xí)）與角240。終邊相同的角的集合是（）A. 4a a = k7t +一 冗，k eZ >3B. a = 2k九 +二冗,k eZ >C. 22 =女乃+ 一辦攵eZ>34D. a = 2k九+ 7T,k eZ >36 .（2020上海高一

11、課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合A = 例。為銳角, 8 = 例8為第一象限角, C = 例。為小于90。的角,。= 夕8為小于90的正角,則下列等式中成立的是（）A. A = BB. B = CC. A = CD. A = D7 .（2020上海高一課時(shí)練習(xí)）若夕是第三象限角，則a 27（T的終邊所在的象限是（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限8 .（2020全國高三其他（文）在平面直角坐標(biāo)系xpy中，已知角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與X軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（JI.l）,則cos2a =（）A 2V2 R 1_1n 2V233339. （2020渭南市尚德中學(xué)高一月考）已知點(diǎn)尸（cosot

12、an。）在第二象限，則角。在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限10. （2020渭南市尚德中學(xué)高一月考）已知角。的終邊過點(diǎn)戶（一1,2）,則cosa的值為（）A.正B.-75C. D.-5"5511. （2020武功縣普集高級(jí)中學(xué)高一月考）設(shè)角6的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（一3,4）,那么sin<9+2cos<9 = （）1 122A. -B. 一一C. -D.-555512. （2019福建省高一期末）已知在扇形A08中，ZAOB = 2,弦A8的長為2,則該扇形的周長為（）2424A.B.C. D.sinlsinlsin 2sin 2（1 、13. （2020調(diào)

13、兵山市第一高級(jí)中學(xué)高一月考）已知角夕的終邊與單位圓的交于點(diǎn)尸一不，、 ,則I 2 /sinatan<z=(14. （2019呼瑪縣高級(jí)中學(xué)高一月考）若點(diǎn)（。,9）在函數(shù)y = 3'的圖象上，則tan=的值為（）6A. 0B立C. 1D.315. （2020綏德中學(xué)高三其他（理）17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶, 一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦黃 金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36。的 等腰三角形（另一種是頂角為108。的等腰三角

14、形）,例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖1-2754R 3 + 758r "+1j -4AC所示，在其中一個(gè)黃金aABC中，"=或二1.根據(jù)這些信息，可得sin2340=（）16.（多選題）（2020山東省微山縣第一中學(xué)高一月考）下列結(jié)論正確的是（）A.7tt是第三象限角B.若圓心角力!的扇形的弧長為乃，則該扇形面積為技3C.若角a的終邊過點(diǎn)戶（一3,4）,則cosa =-二D.若角夕為銳角，則角2a為鈍角17.（多選題）（2019山東省高一期中）已知結(jié)論正確的是（）log.x, x>0-,角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（1,2點(diǎn)），則下列Z , XA./(cosa) = -1B. f(sin a) = 1c./(/(cosa) = iD. /(/(sin a) = 218.（2020調(diào)兵山市第一高級(jí)中學(xué)高一月考）一個(gè)扇形的中心角為3弧度，其周長為10,則該扇形的而枳為7119. （2020上海高一期中）與一角終邊重合的角的集合是420. （2019黑龍江省大慶四中高一月考（文）一?弧度化為角度應(yīng)為.21. （2019呼瑪縣高級(jí)中學(xué)高一月考）已知扇形的圓心角是a,半徑為兄弧長為上 （1）若a=75° , Q12 cm,求扇形的弧長2和面積:若扇形的周長為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角Q為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇