1、僅供個人參考第七章實數(shù)的完備性教學目的：1 .使學生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義；2 .明確基本定理是數(shù)學分析的理論基礎，并能應用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應用基本定理進行分析論證的能 力。教學重點難點：本章的重點是實數(shù)完備性的基本定理的證明；難點是基本定 理的應用。For personal use only in study and research; not for commercial use教學時數(shù)：14學時§ 1 關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理（4學時）教學目的：1 .使學生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深

2、刻理解其實質(zhì)意義；2 .明確基本定理是數(shù)學分析的理論基礎。教學重點難點：實數(shù)完備性的基本定理的證明。1 .確界存在定理：回顧確界概念.Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界；非空有下界數(shù)集必有下確界.2 .單調(diào)有界原理：回顧單調(diào)和有界概念.Th 2單調(diào)有界數(shù)列必收斂.3 .Cantor閉區(qū)間套定理：I .區(qū)間套：設4,bj）是一閉區(qū)間序列.若滿足條件i>對言,有&山如匚值也1，即跖«兒,亦即后 一個閉區(qū)間包含在前一個閉區(qū)間中；II > 4 一4 Q （并7如）.即當N CO時區(qū)間長度趨于零.則稱該閉區(qū)間序列為一個遞縮閉區(qū)間套，簡稱為區(qū)間套.簡而言之，所謂區(qū)間套是指一個

3、 “閉、縮、套” 區(qū)間列.區(qū)間套還可表達為：_ l!, _二 . 一.我們要提請大家注意的是,這里涉及兩個數(shù)列（®）和bj,其中（4） 遞增，他）遞減.例如（卜，I和uo,l都是區(qū)間套.但（1+且L , 1+2）、 n nnn n（0D和u-L i都不是.nn n2. Cantor區(qū)間套定理：Th 3設（冊/J）是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點 ，使對V?3有 玩1的也：.簡言之，區(qū)間套必有唯一公共點.四.Cauchy收斂準則數(shù)列收斂的充要條件：1. 基本列：回顧基本列概念.基本列的直觀意義.基本列亦稱為Cauchy 列.例1驗證以下兩數(shù)列為 Cauchy列：. ：, " 一

4、.：-：.3 52四-1解 I +<| = | 0 9s+1sm，痂 + + Q 9町 sin 料呵 <«0,產(chǎn)+ - + 0產(chǎn)0興0產(chǎn)】1-0.9= 10x0*1g-對VM,為使|%F|g,易見只要"1湍于是取 I,（>+?（一1）""（）"產(chǎn)內(nèi)2科 +12« + 32（并 + 2）-1_ 1 一一（T 嚴2« +1 2犀+ 32（制+ 戶）一1當p為偶數(shù)時，注意到上式絕對值符號內(nèi)有偶數(shù)項和下式每個括號均為正號 有1 1 1 d + . = = 2n +1 2附+32（融 + 0-12依+7J12（用 +

5、 中）-3 2（n +-1",1 1 1一 + 2n +1 2H+32（國+ 中）-11 J 11 1i 2（月 + /?） - 52（總 + p） - 3 j 2（用 + #） 一 2瑪+ 1 1 2履+ 3 2片+ 5）2« + 12（« + p） -1當p為奇數(shù)時,1 1 -+2耳+1 2注+3L 2« + 1 2 + 3）12（總 十 中）-5 2（界 + - 3） 2（» + p）12n +1 2月+32（國+ ?）一1 _ 12色 + *） -3 2伽 + 衣）-1綜上，對任何自然數(shù)p ,有n< 11 + 工（W，< 1

6、< 12m +1 2m + 32（制 + 方 -1 2¥ +1 nCauchy歹1的否定:不得用于商業(yè)用途驗證數(shù)列J不是Cauchy列.證對也，取p =用，有1 - 2-£0取,匕止H2. Cauchy收斂原理：Th 4數(shù)歹！J 收斂 O " J 是 Cauchy 列.（要求學生復習函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)的Cauchy準則，并以Cauchy收斂原理為依 據(jù)，利用Heine歸并原則給出證明）五.致密性定理:數(shù)集的聚點定義設總是無窮點集.若在點久未必屬于£）的任何鄰域內(nèi)有 £的 無窮多個點，則稱點為月的一個聚點.數(shù)集S= 3有唯一聚點0,但OgE

7、;開區(qū)間（QJ）的全體聚點之 n集是閉區(qū)間0,1；設。是。中全體有理數(shù)所成之集，易見0的聚點集 是閉區(qū)間0,11. 列緊性：亦稱為Weierstrass收斂子列定理.Th 5 （ Weierstrass ）任一有界數(shù)列必有收斂子列2. 聚點原理： Weierstrass聚點原理.Th 6每一個有界無窮點集必有聚點.六.Heine - Borel有限復蓋定理：1.復蓋：先介紹區(qū)間族（? = （2, ZeA）.定義（復蓋） 設在是一個數(shù)集，G是區(qū)間族.若對Vxw及 “eA, mxe。，則稱區(qū)間族G復蓋了 E,或稱區(qū)間族G是數(shù)集 £的一個復蓋.記為£匚兒，衣A.k若每個 乙都是開

8、區(qū)間，則稱區(qū)間族。是開區(qū)間族. 開區(qū)間族常記為， 二.； . " . . .二.定義（開復蓋） 數(shù)集£的一個開區(qū)間族復蓋稱為 £的一個開復蓋， 簡稱為月的一個復蓋.子復蓋、有限復蓋、有限子復蓋.y 3x例3財=XE（OJ） ）復蓋了區(qū)間（0,1）,但不能復蓋2 2h x 七二x01;9=（'-,z）, xeS）復蓋a,b）,但不能復蓋22一.2. Heine - Borel有限復蓋定理：Th 7閉區(qū)間的任一開復蓋必有有限子復蓋.§ 2 實數(shù)基本定理等價性的證明（4學時）證明若干個命題等價的一般方法.本節(jié)證明七個實數(shù)基本定理等價性的路線：證明按以下

9、三條路線進行：I :確界原理二單調(diào)有界原理二區(qū)間套定理 =Cauchy收斂準則=> 確界原理；n : 區(qū)間套定理=致密性定理 ?Cauchy收斂準則；m: 區(qū)間套定理He Heine - Borel有限復蓋定理=區(qū)間套定理.一.“I”的證明：（“確界原理二單調(diào)有界原理”已證明過）.1. 用“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”：Th 2單調(diào)有界數(shù)列必收斂.證2. 用“單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”：Th 3設句是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點,使對V總有64 .L K ?靈證系1若也是區(qū)間套確定的公共點，則對Ve0,訓當心N時,總有以也kU位.系2 若先以，妃是區(qū)間套（4也口確定的公共點，則有勺

10、/ 3 4、S 7Tb）.3. 用“區(qū)間套定理”證明" Cauchy收斂準則”：Th 4 數(shù)歹1（4 ）收斂 04 是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列.（證）Th 4的證明：（只證充分性） 教科書P217 218上的證明留作閱讀.現(xiàn)采用3P70 71例2的證明，即三等分的方法，該證法比較直觀.4,用“Cauchy收斂準則” 證明“確界原理”：Th 1非空有上界數(shù)集必有上確界；非空有下界數(shù)集必有下確界.證 （只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設月為非空有上界數(shù)集.當£為有限集時，顯然有上確界.下設£為無限集，取為不是£的上界， ”為丑的上界.對分

11、區(qū)間的力J,取出血,使用不是月的上界， 兒為總的上界.依此得閉區(qū)間列（4也）.驗證（4）為Cauchy列，由 Cauchy收斂準則，婦收斂；同理（4）收斂.易見可.設£.有 勺/ £.下證$叩£=£.用反證法驗證/的上界性和最小性.2 .“H” 的證明：1 .用“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”：Th 5 （ Weierstrass ）任一有界數(shù)列必'有收斂子列.證 （突出子列抽取技巧）Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.證 （用對分法）2 .用“致密性定理”證明"Cauchy收斂準則”：Th 4 數(shù)列4）收斂 O % ）是Cauchy

12、列.證 （只證充分性）證明思路：Cauchy列有界.有收斂子列-> 驗證 收斂子列的極限即為）的極限.3 .“田”的證明：1. 用“區(qū)間套定理”證明" Heine - Borel有限復蓋定理” 證2. 用“Heine-Borel有限復蓋定理”證明“區(qū)間套定理”證采用3P72例4的證明.§ 3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明（4學時）教學目的： 能應用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應用基本定理進行分析論證的能力。教學重點難點：基本定理的應用。1 .有界性：命題1/幻,= 在%一上人月二0（1）.證法一 （用區(qū)間套定理）.反證法.證法二（用列緊

13、性）.反證法.證法 三 （用有限復蓋定理）.2 . 最值性：命題2/1）eCa）,=/在a團上取得最大值和最小值（只證取得最大值）證 （用確界原理） 參閱1P226證法 二后半段.三.介值性：證明與其等價的“零點定理”.命題3（零點定理）證法一（用區(qū)間套定理）.證法 二 （用確界原理）.不妨設 .-中11.令£=3/0, xe%b）,則R非空有界，=> £有上確界.設J = Sup£,有廿E白）.現(xiàn)證/=。,（為此證明 /©>0且.<0）.取%>己且%今曾（冏今8）.由/在點 < 連續(xù)和 他KQ,:- 二-上n 6£

14、;.于是乂 eE, 3 q Mb）.由/在點f連續(xù)和。，:.一-". 因此只能有- IC -II .證法 三 （用有限復蓋定理）.四.一致連續(xù)性：命題4 （ Cantor定理）證法 一（用區(qū)間套定理）. 參閱1P229 230 證法一證法 二（用列緊性）.參閱1P229 230 證法二習題課（2學時）一.實數(shù)基本定理互證舉例：例1 用“區(qū)間套定理”證明“單調(diào)有界原理”.證 設數(shù)列（4）遞增有上界.取閉區(qū)間15J,使 出不是 的上 界，”是可）的上界.易見在閉區(qū)間口內(nèi)含有數(shù)列（4）的無窮多項， 而在的圖 外僅含有入的有限項.對分的，4 ,取出也使有 的的性質(zhì).于是得區(qū)間套的1,有公共點

15、 易見在點的 任何鄰域內(nèi)有數(shù)列（可）的無窮多項而在其外僅含有 （4）的有限項，=> 二二二 - c. JiTi例2用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”證 （%，4為區(qū)間套.先證每個 久為數(shù)列的下界，而每個 %為數(shù)列的上界.由確（4）界原理，數(shù)列（&）有上確界，數(shù)列（4）有 下確界.設 £s=mf （ij,0二$叩（%）.易見有由«口44和夕地.由（用一,=> c-ff.例3 用“有限復蓋定理”證明“聚點原理”.證 （用反證法） 設S為有界無限點集,Su%&.反設a/ 的每一點都不是£的聚點，則對Mx£a»,存在開區(qū)間（,

16、/）,使 在（%,兒）內(nèi)僅有£的有限個點.例4 用“確界原理”證明“聚點原理”.證 設S為有界無限點集.構(gòu)造數(shù)集£ = ” 中大于工的點有無窮多 個）.易見數(shù)集£非空有上界，由確界原理，3有上確界.設0二s叩月. 則對VeO,由不是£的上界，=£中大于0-曰的點有無窮多個； 由0 + E是£的上界，= 3中大于0 + e的點僅有有限個.于是，在（£-0夕+白）內(nèi)有£的無窮 多個點，即£是£的一個聚點.二.實數(shù)基本定理應用舉例：例5 設/是閉區(qū)間上的遞增函數(shù)，但不必連續(xù). 如果 /2a,/4機則，

17、°Ea,b,使，（/） = % .（山東大學研究生入學試題）證法一（用確界技術(shù). 參閱3 P76例10 證法1 ）設集合f = x|/2工，口 414b.則geF,產(chǎn)不空；F c, f有界.由確界原理,產(chǎn)有上確界.設/ =supf ,則hEa2. 下證-.,.一若訪叮,有九）2瓦;又/（訪）勺0）仆,得及善1明打 由/遞增和/（%"/，有川（7）2次），可見/（而）丘宣.由/二$叩月，n j（師）£瓦.于是,只能有/（麗）二%.ii若工展產(chǎn)，則存在胃內(nèi)的數(shù)列4，使X?。ㄓ肨B）； 也存在數(shù)列（4）,可3, t*瓦，（rTs）.由/遞增，&EF以及 3,就有

18、式及4MgM4也）%對任何用成立.令劉4B ,得 麗£/（%）£為,于是有/（%）二/.證法二（用區(qū)間套技術(shù)，參閱3 P77例10證法2 ） 當或 /（b）=b時，窗或6就是方程/（x） = x在上的實根.以下總設 .二二. 對分區(qū)間a8,設分點為c.倘有f（c） = c,（:就是 方程）。）=彳在a2上的實根.（為行文簡練計,以下總設不會出現(xiàn)這種情 況）.若代）C,取。1=。，瓦=恥若/ C ,取%=4 *=。，如 此得一級區(qū)間的力J.依此構(gòu)造區(qū)間套的e,對V用，有.心. 由區(qū)間套定理，力0 ,使對任何北, 有麗£%也.現(xiàn)證而）= 為.事實上，注意到nTr時勺/工0和% '二°以及遞增，就有令，得于是有心尸瓦.例6設在閉區(qū)間3方上函數(shù)/連續(xù)，g遞增，且有/<g（a），/>g®.試證明：方程/。）=以工）在區(qū)間（即b）內(nèi)有實根.（西北師大2001年碩士研究生入學試題 ）證構(gòu)造區(qū)間套%1/>，使他）（帆），的）g（b）由區(qū)間套 定理，珞 使對V上 有欠以也.現(xiàn)證/©二嫄）.事實上，由 式工）在3例上的遞增性和由力的構(gòu)造以及 叫/ 1f和%、E，,有也：二一人注意到了在點？連續(xù)，由Heine歸并原則，有£工，二.一二=/4g曲4/©，= /蟲.t為方程x） = g在區(qū)間（即