1、第一章矢量場(chǎng)4444444441.1 A = 2x 3y - z; B = x y-2 z;C=3x-y z求:(a) A ;(b)b ;(c) A B ;(d) B C ; (e) (A B) C(f) (A B) C解：(a)AA； A： A； = 22 32 12 = . 14 ； (b) B = 1(? ?_2Z)B 寸 6(c) A B =7;(d) B C?-7?-4?(e) (A B) C =2? 20 4?(f) (A B)C=-191.2 A =2 亠心亠z; B 二3 -2z求:(a) A ;(b) b ;(c) A B ;(d) B A ;(e) A B解：(a) Ah：

2、；5 ：2;(b)= J (-？ 3?-2z);(c) AB=M-4v'14(d) B A =(3 2二)？-3?-(二 6)?(e) A B 二？(二 3) ? - ？1.344A = 2i二2 二；B 二r -求:(a) A ；(b) b ；(c)A B；(d) B A ;(e) A B1(?-禺；(c) A B = 2-二 2-二 2解:(a) A= 4 5二2 ；(b)(d)B A = 2二 2?亠 2二 « 3二？;(e)A B =3?-2二?1.4A=x 2y-z;Bx44y _3z當(dāng)A_B時(shí)，求。解：當(dāng)A_B時(shí)，A B=0,由此得=-51.5將直角坐標(biāo)系中的矢量

3、場(chǎng)Fjx, y,z)二x, F2(x, y,z)二y分別用圓柱和圓球坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)分量表示。解：(1)圓柱坐標(biāo)系由(1.2-7)式，R = 5? = ?cos？sin ; F2 二？二？siOcos(2)圓球坐標(biāo)系由(1.2-14)式，戸=5? = ?sin 二 cos?cosr cos？sinF2 二？二？si ns in: ?coss i n: ?c o s1.6將圓柱坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)FC,z) =26F2C,z) = 3用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 分量表示。- 2解：由(1.2-9)式，F(xiàn)| = 2 ? = 2cos ? 2sin ?(x? y?*'x2 + y23F2 =3笑=-3

4、s i ff? + 3coS?= f= y：?+ x?)x2 + y2.1.7將圓球坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)Fi(r,j)=5r,F2(r門(mén))- j用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分 量表示。解：由(1.2-15)式，-5F-i =5(sin cos ： sin vsin y? cos2)(x;? y? z?)*;x2 + y2 +z2F2 = (cos日 cos® + cos& sinsin 喝 =阮？=:號(hào)中粵 漢 茫十 y? Jx2+y2 Jx2+y2+z2xz? yz?(x2 y2)z1.8求以下函數(shù)的梯度:(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6(b) f(P, ®

5、,z)=2si n®-Pz+4(c) f(r,r, ) =2rcos)-5：亠 2解：(a)'、f = (5 10y - z)x 10x? - x?(b) = -z?空箜？ 一？(c) =2cosr?2sin ??？ -一5?r sin o111.9求標(biāo)量場(chǎng)f (x,y, z)二xy 2z2在點(diǎn)(1,1,1)沿l(;?-?)方向的變化率。x' 2解:-:l1.10在球坐標(biāo)中，矢量場(chǎng) F(r)為kF(r rr其中k為常數(shù)，證明矢量場(chǎng)F(r)對(duì)任意閉合曲線丨的環(huán)量積分為零，即F dl =0l解：由斯托克斯定理,-F d = . . ' F dSls-*k-*因?yàn)?l

6、 F/4(p?)=0 所以 F d0 ri1.11 證明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。1.12 由(1.4-3)式推導(dǎo)(1.4-4a)式。1.13 由(1.5-2)式推導(dǎo)(1.5-3a)式。1.14計(jì)算下列矢量場(chǎng)的散度444F二 yzxzyyxzzF= 2 .zsin2zF= 2rr cos"r ' F 二 x ziz .F = 2 cosP-4 cos2 日 qFsir sin v1.15計(jì)算下列矢量場(chǎng)的旋度a)b)c)解：a)b)c) 解:(a)(b)(c)444F 二 xyx 2yzyzF = 2sin :4F = rr(a)(b)(c)4J sin v'

7、;、F - -2y?-X?、F 亙 zP'、F =(2cos丁？ sin 寸鄉(xiāng) ?) r1.16計(jì)算a) ",U,ekrb) ' (f r, (ker)cpr,'(z)沖 沖解:宀？/?;”？二二？ ?& r£8 rsinBf®、ekr 二 ekr (kr) kekr' r Zkekr-1 戶D 二 2;P cPr 2 (r r) =3;r r(kekr)二 k ekr ekr' k = k ekr 二 k ?kekr(b)(c)1.17已矢口1.20求矢量場(chǎng)F - 通量。解：根據(jù)高斯定理, 域的封閉面的通量?八FS

8、7'、：= 0; i r = 0; i (z?) = ?A = yx _ xy，計(jì)算 A (、A)解：iA=-2?AC A)=01.18 已知 F =、(x)、(y)、(z),i F =0,計(jì)算 F解：根據(jù)亥姆霍茲定理，因?yàn)镮 F =0，所以A = 0(門(mén)=丄川匹©dV丄川空辿也dx'dy'dZ=丄4江R4兀&R4r-?F鼻4兀r1.19 已知 i F = 0八 F = z、(x)、(y)、(z),計(jì)算 F解：根據(jù)亥姆霍茲定理，因?yàn)?F = 0，所以=0A二 dV' =丄 3(y')(z')?dx'dy'dz'= ?4r4二 V R4二 VR- 1?111? 24rF ='A -一一 C一？一：> : z)二4兀r