1、第七章 簡單的微分方程與差分方程在社會(huì)實(shí)踐、科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中,許多現(xiàn)象最終往往歸結(jié)為某些變量與這些變量的導(dǎo)數(shù)(或差分)間的關(guān)系,即由未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者微分的方程,只要求解這些方程解出函數(shù),那么人們所研究的問題就能得到解決.這種含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者微分的方程就稱為微分方程.主要內(nèi)容:本章主要介紹微分方程的基本概念,并介紹求簡單的微分方程的基本方法.§1微分方程的概念一 微分方程的概念我們先給出一個(gè)例子說明微分方程的概念.例1 已知某曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,又已知曲線過點(diǎn),求滿足條件的曲線的方程.解: 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,我們可以知道所求的曲線滿足條件:,且, (*)由不定積

2、分知 ,又,所以有.所以,所求解的曲線方程為 .下面我們給出微分方程的概念.定義1 含有未知數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者微分的方程,稱為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程,稱為常微分方程.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù),稱為微分方程的階.例如:,都是一階常微分方程,而則是二階常微分方程.本章主要介紹一些比較簡單的的常微分方程的解法.二 微分方程的解求微分方程的解的過程叫求解微分方程.如果一個(gè)函數(shù)代入方程后使得方程的兩端恒等,就稱這個(gè)函數(shù)是微分方程的一個(gè)解.通過驗(yàn)證可知 是的一個(gè)解,像這種給出具體的函數(shù)的解我們稱為方程的特解.而(其中為任意常數(shù))顯然也是方程的解,象這種解我們稱為方程的通解

3、.可以驗(yàn)證,對于微分方程而言,函數(shù)是它的一個(gè)特解,而函數(shù)(其中是任意常數(shù)).§2 一階線性微分方程本節(jié)主要討論形如的一階微分方程的解法和形如的可以降階的二階微分方程的解法.一 可分離變量的一階微分方程形如的一階微分方程稱為可分離變量的微分方程,其中和分別是關(guān)于和的連續(xù)函數(shù).此類微分方程的解法是將變量分離(假設(shè),若,則是通解),即,上式兩端同時(shí)積分,得,若和分別是和的一個(gè)原函數(shù),則所求的微分方程的通解為,其中,為任意常數(shù).例1 求解微分方程.解:原方程可以轉(zhuǎn)化為 ,即對上式積分有,即 故 .二 齊次微分方程1 齊次微分方程形如的一階微分方程,稱為齊次微分方程.作變量替換,引入新的未知函

4、數(shù),即令,代入,得,即 ,分離變量可得 ,兩邊積分可得 ,因此其次微分方程得通解是.例2 求解微分方程.解: 將方程化為.令,代入上式得即 易知,是這個(gè)方程的一個(gè)解,從而為原方程的一個(gè)解.當(dāng)時(shí),分離變量得,兩端積分得,即 ,將代入并解出,得原方程得通解為.2 可化為齊次方程的微分方程形如 三 一階線性微分方程形如的微分方程,稱為一階線性微分方程. 當(dāng)?shù)臅r(shí)候,上式即,稱之為一階線性齊次微分方程. 當(dāng)?shù)臅r(shí)候,上式即,稱之為一階線性非齊次微分方程.1 一階線性齊次微分方程的通解方程即,該方程是可分離變量的,因此,可以求出它的通解是 (其中為任意常數(shù)).2 一階非線性微分方程的通解當(dāng)?shù)臅r(shí)候,我們一般用“常數(shù)變異法”求方程的解,具體如下設(shè)是方程的解, 則,將其代