1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第22講 正方形考點(diǎn)·方法·破譯1有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形，即鄰邊相等的矩形或有一個角為直角的菱 形叫正方形2熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能在解決問題時將正方形與等腰直角三角形進(jìn)行替換思考3掌握正方形的判斷方法，并應(yīng)用它的對稱性質(zhì)解決問題經(jīng)典考題賞析ABDOCE【例1】如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，E是BD延長線上的點(diǎn)，且ACE是等邊三角形求證：四邊形ABCD是菱形；若AED2EAD，求證：四邊形ABCD是正方形 【變式題組】01如圖，已知正方形ABCD的對角線AC和BD相交于O，點(diǎn)M、N分別在OA

2、、OD上,且MNAD探究：線段DM和CN之間的數(shù)童關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明MADNCBOEADFCBP02如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC上的點(diǎn)，PEAB，PFBC，E、F是垂足，問PD與EF有怎樣的關(guān)系？ 請說明理由03如圖，將正方形ABCD中的ABD繞對稱中心O旋轉(zhuǎn)至GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N請猜想BM與FN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論GFCBADEMON04把一個正方形分成面積相等的四個三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四個三角形外，你還能用三種不同的方法將正方形分成面積相等的四個三角形嗎？請分別畫出示意圖EGDFCBOA【例2】如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)

3、A逆時針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點(diǎn)O以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連接兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連接的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為cm2，求旋轉(zhuǎn)的角度.【變式題組】01如圖，邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個正方形重疊部分的面積是02我們給定兩個全等的正方形ABCD、AEFG它們共頂點(diǎn)A(如圖1)，可以繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)， CD、EF相交于點(diǎn)P連接BE、DG（如圖2），求證：BEDG，BEDG連接BG、CF(如圖

4、)，求證：BGCF【例3】數(shù)學(xué)課上，張老師提出了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)AEF90°，且EF交正方形外角DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AEEF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則似AMEC，易證AMEECF，所以AEEF 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)一步的研究：小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B、C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AEEF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是邊BC的延長線上(除C點(diǎn)外)的

5、任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AEEF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由【變式題組】01如圖，已知正方形ABCD在直線MN上方，BC在直線MN上；E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG連接GD，求證：ADGABE；連接FC，觀察并猜測FCN的度數(shù)，并說明理由02如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的點(diǎn)，且AE丄EF延長EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)P，試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；在AB邊上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由【例4】已知：正方形AB

6、CD中，MAN45°，MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別CB、DC(或它們的延長線)點(diǎn)M、N當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時（如圖1），易證BMDNMN當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BNDN時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想并 明圖1圖2圖3【變式題組】01如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E、F移動過程中： EAF的大小是否有變化？請說明理由； ECF的周長是否有變化？請說明理由02如圖，有四個

7、動點(diǎn)P、Q、E、F分別從邊長為1的正方形ABCD的四個頂點(diǎn)出發(fā)，沿AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點(diǎn)移動試判斷四邊形PQEF的形狀，并證明；PE是否總過某一定點(diǎn)，并說明理由；四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于何處時，其面積最小和最大？各是多少？03在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)現(xiàn)將正方形OABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線yx上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線yx于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N(如圖)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；設(shè)MBN的周長為p，在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中，

8、p值是否有變化？請證明你的結(jié)論【例5】小杰和他的同學(xué)組成了“愛琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到了這樣一道題：“已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H只分別在AB、BC、CD、DA上，若EG丄FH，則GEFH”經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案：(甲）過點(diǎn)A做AMHF交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BNEG交CD于點(diǎn)N；(乙）過點(diǎn)A做AMHF交BC于點(diǎn)M，作ANEG交CD的延長線于點(diǎn)N；小杰和他的同學(xué)順利的解決了該題后，人家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）；如果把條件中的“EG丄HF”改為“EG與HF的夾角為45°”，并假設(shè)正方形

9、ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為(如圖2)，試求EG的長度【變式題組】01若正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE3，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BFAE，則BM的長為 02如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE1以點(diǎn)A為中心，把ADE順時針旋轉(zhuǎn) 90°，得ADE'，連接EE'，則EE'的長等于 03已知正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊DC上，DE2，EC1(如圖所示)把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為 04小明嘗試著將矩形紙片ABCD(如圖，ADCD)沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得

10、B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處,折痕為(如圖)；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上的點(diǎn)M處，折痕為DG(如圖)如果第二次折疊后，M點(diǎn)正好在NDG的平分線上，矩形ABCD長與寬的比值為 05平面內(nèi)有一等腰直角三角板（ACB90°）和一直線MN過點(diǎn)C作以CE丄MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF丄MN于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)E與A重合時（如圖1），易證：AFBF2CE當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，清直接寫出你的猜想，并證明演練鞏固·反饋提高01順次連接菱形各邊中點(diǎn)所

11、得的四邊形一定是（ ）A等腰梯形 B正方形 C平行四邊形 D矩形02如圖，將n個邊長為1cm瓜的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，An分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積為（ ）Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm203如圖，把一個長為m、寬為n的長方形（mn）沿虛線剪開，并拼成圖，成為在一角去掉一個小正方形后的一個大正方形，則去掉的小正方形的邊長為（ ）A Bmn C D04如圖，四邊形ABCD中，ABBC，ABCCDA90°，BE丄AD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8， 則BE（ ）A2 BC3 D05如圖所示，正方形ABCD的面積為12，A

12、BE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC 有一點(diǎn)P，使PDPE的和最小，則這個最小值為（ ）A BC3 D06如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接BF、DE，則圖中陰影部分的面積是 cm207如圖，四邊形ABCD是正方形，直線l1、l2、l3分別經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且l1l2l3，若l1與l2的距離為a，l2與l3的距離為b，則正方形ABCD的面積是 08如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線八AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn) A恰好與BD上的點(diǎn)F重合展開后，折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G連接GF下列結(jié)論：ADG

13、1125°；AD2AE；SACG SOCD；四邊形AEFG是菱形；BE2OG，其中正確的結(jié)論序號是 09如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，將紙片的一角沿過點(diǎn)B的直線折疊，使A落在MN上，落點(diǎn)記為A，折痕交AD于點(diǎn)E，若M、N分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，則AN ，若M、N分別是AD、BC邊上的距DC最近的n等分點(diǎn)（n2，且n為整數(shù)），則AN （用含有n的式子表示）10如圖1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，HAEBFCGD，連接EG、FH，交點(diǎn)為O如圖2，連接EF、FG、HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；將正方形ABCD沿線段EG、HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形，若正方形ABCD的邊長為3 cm，HAEBFCGD1cm，則圖3中陰影部分的面積為 cm211如圖，ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個動點(diǎn)，過O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E， 交BCA的外角平分線于F探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并證明；當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由；當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時，且ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？12如圖1，若四邊形ABCD、四邊形GFED