1、第十五章機械振動一選擇題1.對一個作簡諧振動的物體，下面哪種說法是正確的？（）A.物體在運動正方向的端點時，速度和加速度都達(dá)到最大值；B.物體位于平衡位置且向負(fù)方向運動時，速度和加速度都為零；C.物體位于平衡位置且向正方向運動時，速度最大，加速度為零；D.物體處負(fù)方向的端點時，速度最大，加速度為零。 解：根據(jù)簡諧振動的速度和加速度公式分析。答案選 C。2. 下列四種運動（忽略阻力）中哪一種不是簡諧振動？（）A.小球在地面上作完全彈性的上下跳動；B.豎直懸掛的彈簧振子的運動；C.放在光滑斜面上彈簧振子的運動；D.浮在水里的一均勻球形木塊，將它部分按入水中，然后松開，使木塊上下浮動。 解：A中小球

2、沒有受到回復(fù)力的作用。答案選 A。3.一個輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，當(dāng)一物體系于彈簧的下端時，彈簧伸長了I 而平衡。則此系統(tǒng)作簡諧振動時振動的角頻率為（）解 由 kl=mg 可得 k=mg/l，系統(tǒng)作簡諧振動時振動的固有角頻率為故本題答案為 B。4. 一質(zhì)點作簡諧振動（用余弦函數(shù)表達(dá)），若將振動速度處于正最大值的某時刻取作 t=0， 則振動初相為（)A.nB. 0C.nD.n22解由 xAcos( t )可得振動速度為vdxA sin（ t）。速度正最大時dt有 cos(t )0 , sin( t)1，若 t=o.則n。2故本題答案為 A。導(dǎo)軌上作微小振動，其振動頻率為（）5.如圖所示，質(zhì)量為m 的物

3、體，由勁度系數(shù)為kl和 k2的兩個輕彈簧連接，在光滑kik2xkik22ki.k2,-，即得振動頻率m(kik2)i；ki.k22nm(kik2) 所以答案選 D。6.如題圖所示，質(zhì)量為 m 的物體由勁度系數(shù)為 ki和 k2的兩個輕彈簧連接，在光滑 導(dǎo)軌上作微小振動，則該系統(tǒng)的振動頻率為（）解：設(shè)質(zhì)點離開平衡位置的位移是X,假設(shè) X0，則第一個彈簧被拉長 X,而第二個彈簧被壓縮 X,作用在質(zhì)點上的回復(fù)力為（kix+ k2X）。因此簡諧振動的動力學(xué)方程A.B.mkik2mkik2C.選擇題 5 圖D.2nmkk21解：量分別為ki.k22nm（kik2）設(shè)當(dāng) m 離開平衡位置的位移為x,時，勁度

4、系數(shù)為 ki和 k2的兩個輕彈簧的伸長Xi和 X2,顯然有關(guān)系此時兩個彈簧之間、XiX2X第二個彈簧與和物體之間的作用力相等。因此有kixik2x2d2xmrdt2k1x1由前面二式解xik2xkik2，將X1代入第三式，得到d2xA. vC. v1kik22n, mki.k2B. vD. v1kik22nm1；ki.k22nm(kik2)將此式與簡諧振動的動力學(xué)方程比較，并令選擇題 6 圖rkik212-kA2，所以答案選 B。29.已知有同方向的兩簡諧振動，它們的振動表達(dá)式分別為x15cos(10t 0.75ncm；x26cos(10t則合振動的振幅為d2x mpdt21k1k22 n ,

5、 m(kik2)x令2k1k2m所以答案選 B。7.彈簧振子在光滑水平面上作簡諧振動時，彈性力在半個周期內(nèi)所作的功為，即 vA. kA2B. (1/2 )kA2C. (1/4) kA2D. 0解：每經(jīng)過半個周期，彈簧的彈性勢能前后相等，彈性力的功為0，故答案選 D。8.加為原來的A. 2E彈簧振子作簡諧振動，總能量為E,若振幅增加為原來的4 倍，則它的總能量為B. 4EC. E2 倍，振子的質(zhì)量增()D. 16E解：因為0.25 cmA.61cmB. -11 cmC.11cmD. 61cm解 A .A2A；2A1A2cos(21) 52622 5 6 cos(0.25n0.756110.程應(yīng)為

6、：一振子的兩個分振動方程為X1- 4 cos 3 t , X2- 2 cos (3 t +n)，則其合振動方( )A.C.解：x - 4 cos (3 t +n)B.x - 4 cos (3 tn)x - 2 cos (3 tn)D.x - 2 cos 3 tx -x1+ x2- 4 cos 3 t +2 cos (3 t+n)- 4 cos 3 t 2 cos 3 t - 2 cos 3 tA 和 B ;先使頻率為 800Hz的音叉 A 和音叉 C 同時振動，每秒鐘聽到兩次強音；再使頻率為 時振動，每秒鐘聽到一次強音，則音叉C 的頻率應(yīng)為：(A. 800 H zB. 799 H zC. 79

7、8 H z797Hz 音叉 B 和 C 同)D.797 Hz解：拍的頻率是兩個分振動頻率之差。由題意可知：音叉A 和音叉 C 同時振動時,拍的頻率是 2 Hz，音叉 B 和音叉 C 同時振動時，拍的頻率是1H z，顯然音叉 C 的頻率應(yīng)為 798 H z。11.為測定某音叉 C 的頻率，可選定兩個頻率已知的音叉所以答案選 Co二填空題1. 一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點在力F =為_o2.如圖，一水平彈簧簡諧振子振動曲線如圖所示，振子處在位移為零，速度為3A、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)，對應(yīng)曲線上的 _ 點，振子處在位移的絕對值為 A、速度為零、加速度為32A 和彈性力為kA 的狀態(tài)，則對于曲線上的

8、_ 點。解：b ; a、eo3. 一簡諧振動的振動曲線如圖所示，相應(yīng)的以余弦函數(shù)表示的該振動方程為x =_ mo解：0.04 cos t )o4. 一物體作簡諧振動，其振動方程為 x = 0.04 cos (5nt / 3n/ 2 ) m。(1)此簡諧振動的周期 T =(2)當(dāng) t = 0.6 s 時，物體的速度 v =_o解：(1)由 5n/ 3 =2n/ T,得到 T= 1.2s; (2) v= 0.04 5n/3si n (5nt / 3n/ 2 ), 當(dāng) t = 0.6s 時，v = 0.209 m . s-。5. 一質(zhì)點沿 x 軸做簡諧振動，振動中心點為 x 軸的原點。已知周期為 T

9、,振幅為 A,(1)若 t =0 時刻質(zhì)點過 x=0 處且向 x 軸正方向運動，則振動方程為 _ ; (2)若 t =0 時質(zhì)點位于 x=A/2 處且向 x 軸負(fù)方向運動，則振動方程為 _o6.圖中用旋轉(zhuǎn)矢量法表示了一個簡諧振動，旋轉(zhuǎn)矢量的長度為 0.04m ,旋轉(zhuǎn)角速度3= 4nrad/s，此簡諧振動以余弦函數(shù)表示的振動方程為x=- 。 、解：t=0 時 x=0 , v0，所以振動的初相位是n/2。故 x |O廠-J-xn2x 作用下沿 x 軸運動，其運動的周期Acos(2/2); (2)A cos(2%T|)填空題 2 圖t = 0填空題 6 圖n= 0.04cos(4 冗 t -) 7.

10、 質(zhì)量為 m 的物體和一個彈簧組成的彈簧振子，其固有振動周期為 T,當(dāng)它作振幅為 A 的簡諧振動時，此系統(tǒng)的振動能量E = _ 解：因為 k m2m4，所以 E1kA22 冗2m 篤。T22T28. 將質(zhì)量為 0.2 kg 的物體，系于勁度系數(shù)k = 19 N/m 的豎直懸掛的彈簧的下端。假定在彈簧原長處將物體由靜止釋放，然后物體作簡諧振動，則振動頻率為 _振幅為Ek和勢能 Ep的比值Ep解: 1.55 Hz ;2X0v(2=0.103m(1)在s 時速度為零；(2)在s 時動能取大；(3)在s 時加速度取正的解(2)n, n=0,1,2,3；(3) 0.5(4n+1) , n=0,1,2,3

11、。x(m)填空題 9 圖10. 一質(zhì)點作簡諧振動，振幅為A,當(dāng)它離開平衡位置的位移為x -時,2t(s)其動能解勢能 Ep如2-kA2812,總機械能為 E -kA2，動能 Ek23kA28EkEp11.兩個同方向同頻率簡諧振動的表達(dá)式分別為2x16.0 102cos(- t ) (SI) , x2T 4動的表達(dá)式為_ (SI)。解 本題為個同方向同頻率簡諧振動的合成。(1)解析法合振動為 X 為 X2,22n nx 6.0 102cos( t )T 422n210 5 cos( t) sin( t)TT4.04.0102costT2,2 n,10 cos( tn(SI)n42n7.2 10

12、cos( t T，則其合振9.已知一簡諧振動曲線如圖所示，由圖確定:0.022. 一質(zhì)量為 0.02kg 的質(zhì)點作簡諧振動，其運動方程為x = 0.60 cos(5 tn/2) m。nV03.0sin() 3.0 m/s2(2)F ma m xx=A/2=0.3 m 時，F(xiàn) 0.02 520.30.15 N。慢壓下，使其浸入水中部分的高度為b，然后放手讓其運動。試證明：若不計水對木其中11.3(2)旋轉(zhuǎn)矢量法如圖所示，用旋轉(zhuǎn)矢量 Ai和A分別表示兩個簡諧振動xi和 X2,合振動為 Ai和 A2的合矢量 A，按矢量合成的平行四邊形法則A 102. 62427.2 102m，tanA1sin1A2

13、sin21A1cos1A2cos2511.3故合振動的表達(dá)式為22n一 小、x 7.2 10 cos( t 11.3 )三計算題1.已知一個簡諧振動的振幅A = 2 cm，圓頻率3= 4ns1,以余弦函數(shù)表達(dá)運動規(guī)律時的初相位 =n/ 2。試畫出位移和時間的關(guān)系曲線(振動曲線) 。解：圓頻率3= 4nS1,故周期 T=2n/3= 2n/4n=0.5s，又知初相位 =n/ 2,故 位移和時間的關(guān)系為 x = 0.02COS (4nt +n/ 2) m，振動曲線如下圖所示。x(m)0.020.250.50t(s)求：(1)質(zhì)點的初速度;(2)質(zhì)點在正向最大位移一半處所受的力。解：(1)dxvdtn

14、、3.0s in (5t)23. 一立方形木塊浮于靜水中，其浸入部分高度為a。今用手指沿豎直方向?qū)⑵渎龎K的粘滯阻力，木塊的運動是簡諧振動并求出周期及振幅。證明：選如圖坐標(biāo)系：，靜止時：mg任意位置時的動力學(xué)方程為:mg gxSgaSdx2m2dt2(1)將(1)代入 得gS(x a)dx2m 2dt2.2,2d xd y令y x a，貝U22dt2dt2，上式化為:gSydyj2m一dt2令2gS得：頭2y 0-m dt上式是簡諧振動的微分方程，它的通解為：y Acos（ t0）所以木塊的運動是簡諧振動4.在一輕彈簧下懸掛 mo=ioog 的物體時，彈簧伸長m=250g 的物體，構(gòu)成彈簧振子。

15、將物體從平衡位置向下拉動4cm，并給以向上的 21cm/s的初速度（令這時 t=0）.選 x 軸向下，求振動方程解：在平衡位置為原點建立坐標(biāo)，由初始條件得出特征參量。彈簧的勁度系數(shù)k叫g(shù) / l。當(dāng)該彈簧與物體m構(gòu)成彈簧振子，起振后將作簡諧振動，可設(shè)其振動方程為:x Acos t 角頻率為. k / m代入數(shù)據(jù)后求得7rad s1以平衡位置為原點建立坐標(biāo)，有：x00.04m,v00.21m s1據(jù) A . X。2(V0/ )2得：A 0.05m據(jù)cos1X得0.64rad,由于v00,應(yīng)取0.64radA于是，所求方程為：x 0.05cos(7t 0.64)m據(jù)cos1x得/ 2,由于v00,

16、應(yīng)取/ 2A于是，其振動方程為：0振幅:A8cm?，F(xiàn)在這根彈簧下端懸掛振動周期：Tt 0時，Xo2x20.06cos(10t/2)m5.已知某質(zhì)點作簡諧運動，振動曲線如題圖所示，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求（1）振動表達(dá)式，（2）與 P 點狀態(tài)對應(yīng)的相位，（3）與 P 點狀態(tài)相應(yīng)的時刻。解（1 ）設(shè)振動表達(dá)式為x = A cos （ t+ ）由題圖可見，A=0.1m ,當(dāng) t = 0 時，有X00.1 cos 0.05m,這樣得到n。由振3動曲線可以看到，在 t = 0 時刻曲線的斜率大于零，故 t =0 時刻的速度大于零，由振動表達(dá)式 可得V0=2 sin 0即 sin 0。所以Vm= v0,= 0此

17、時小球的動能 Ek0= m vo2/ 2。經(jīng)過 1 / 3 秒后，速度為 v = v0c o s 2n/ ( 3T) = vo/2。其動能2 2Ek= m v / 2 = m v0/ 8 所以 Ek/ E0= 1/ 4，即動能是原來的 1/ 4倍。9. 一質(zhì)點作簡諧振動，其振動方程為：x = 6.0X10-2cos (nt / 3n/ 4) m。(1) 當(dāng) x 值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？(2) 質(zhì)點從平衡位置移動到此位置所需最短時間為多少？解：(1)勢能 Ep=kx2/ 2，總能量 E =kA2/2。根據(jù)題意，kx2/ 2 =kA2/ 4,得到x A/ .24.24 102m，此時

18、系統(tǒng)的勢能為總能量的一半。(2)簡諧振動的周期 T = 2n/o= 6 s，根據(jù)簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，易知從平衡位 置運動到x A/ .2 的最短時間 t 為 T / 8，所以t = 6 / 8 = 0.75 s10.如圖所示，勁度系數(shù)為 k,質(zhì)量為 m0的彈 簧振子靜止地放置在光滑的水平面上，一質(zhì)量為 m的子彈以水平速度 v1射入 m0中，與之一起運動。 選 m、m0開始共同運動的時刻為t = 0，求振動的固有角頻率、振幅和初相位。解：碰后振子的質(zhì)量為m+ m0，故角頻率k設(shè)碰撞后系統(tǒng)的速度為v0碰撞過程中動量守恒，故得到vomvi。系統(tǒng)的初，m0m11始動能為（mm）v0，在最大位移處全部

19、轉(zhuǎn)換為彈性勢能kA2，即振幅22Amomkvo2mmv1. k(mom). k(mom)令振動方程為 xAcos( t),則速度v 空Asin(dtt)。當(dāng) t=o 時，A cosx o, v0Asi nnvo0，可解出初相位一211. 一個勁度系數(shù)為 k 的彈簧所系物體質(zhì)量為 m0，物體在光滑的水平面上作振幅為 A 的簡諧振動時，一質(zhì)量為 m 的粘土從高度 h 處自由下落，正好在（a）物體通過平衡 位置時，（b）物體在最大位移處時，落在物體m0上。分別求：（1）振動的周期有何變化？ （ 2）振幅有何變化？解：（1 ）物體的原有周期為 To2nm/k ,粘土附上后，振動周期變?yōu)?n（mom）/

20、k，顯然周期增大。不管粘土是在何時落在物體上的，這一結(jié)論都正確。（2）設(shè)物體通過平衡位置時落下粘土，此時物體的速度從 恒定律，得到V0變?yōu)?V,根據(jù)動量守又設(shè)粘土附上前后物體的振幅由有12moVo21(mo2A221m)v kA2由以上三式解出 AmomomA0，物體在最大位12.如題圖所示，一勁度系數(shù)為 為 m1的物體，放在光滑的水平面上。的定滑輪與 m1相連，求其系統(tǒng)的振動圓頻率。kA 丄2 2k 的輕彈簧，一端固定在墻上，另一端連結(jié)一質(zhì)量將一質(zhì)量為m2的物體跨過一質(zhì)量為 m，半徑為 R2kA，此時振幅不變。movvo解 方法一：以彈簧的固有長度的端點為坐標(biāo)原點，向右為正建立坐標(biāo) S。對

21、m1和m2應(yīng)用牛頓第二定律、對 m 應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，得到加速度和角加速度之間具有關(guān)系a 1 d2SR R dFTikS m1ad2Sm2gT2m2a(T2TJR J-mR22d2S13. 一物體同時參與兩個同方向的簡諧振動：xi= 0.04 cos (2nt +n/2) m ; X2= 0.03cos (2nt +n) m。求此物體的振動方程。解：這是兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成，合成后的振動仍為同頻率的簡諧振 動。設(shè)合成運動的振動方程為：x = A cos(3t + )則A2= Ai2+A22+2 AiA2cos(21)式中2 i=n n/ 2 =n/ 2。代入上式得22A 435 cm又解上面的方程組得(mim2-m)筲k(S2 dt2m2g嚴(yán))令 x S 寧，上式簡化為標(biāo)準(zhǔn)的振動方程d2xdt2mikxm2m /2系統(tǒng)的振動圓頻率k,m1m2m/2械能守恒。1 & kS212m1v21212Jm?v22m2gS 0將-和 JR丄 mR2代入，2得到-kS222dS、2m2m)()dtm2gS 0(mim2如栄k(S于)0上式和解法一的結(jié)果一樣。同樣，圓頻率為mim2m/2方法二：在該系統(tǒng)的振動過程中，只有重力和彈簧的彈性力做功，因此該系統(tǒng)的機將上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得到2A1sin1A2sin24tan =A1cos1A2cos23根據(jù)兩個分振動的初相位，