1、變化率與導(dǎo)數(shù)_1、 平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率；2、 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；一、變化率問題：知識導(dǎo)入：問題1 氣球膨脹率將班內(nèi)同學(xué)平均分成4組，每組發(fā)一只氣球，各有一位同學(xué)負(fù)責(zé)將氣球吹起，其他同學(xué)觀察氣球在吹起過程中的變化，并做好準(zhǔn)備回答以下問題：（1）氣球在吹起過程中，隨著吹入氣體的增加，它的膨脹速度有何變化？（2）你認(rèn)為膨脹速度與哪些量有關(guān)系？（3）球的體積公式是什么？有哪些基本量？（4）結(jié)合球的體積公式，試用兩個變量之間的關(guān)系來表述氣球的膨脹率問題？總結(jié)：可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?n 氣球的體積V(單位:

2、L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析: ，hto 1 當(dāng)V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為2 當(dāng)V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?問題2 高臺跳水在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -t2t+10.如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)?思考計算：和的平均速度在這段時間里，；在這段時間里，探究：計算運(yùn)動員在這段時

3、間里的平均速度，并思考以下問題：運(yùn)動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-t2t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，所以，雖然運(yùn)動員在這段時間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動員仍然運(yùn)動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)1、 平均變化率：1上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率2若設(shè), (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)3 則平均變化率為思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?f(x2)y=f(x)yy =f(x2)-f(x1)f(x1)直線A

4、B的斜率x= x2-x1x2x1xO2、 導(dǎo)數(shù)的概念：1、瞬時變化率：從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或，即說明：（1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率（2），當(dāng)時，所以3、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：1、 平均變化率與割線的斜率、瞬時變化率與切線的斜率：（一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時，割線的變化趨勢是什么？我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.問題：割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當(dāng)

5、點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.這個概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點(diǎn),可以有多個,甚至可以無窮多個.2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率，即 說明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:求出P點(diǎn)的坐標(biāo)

6、;求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ，得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率；利用點(diǎn)斜式求切線方程.類型一：求函數(shù)的平均變化率例1、求在到之間的平均變化率，并求，時平均變化率的值.思路點(diǎn)撥: 求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式進(jìn)行操作.解析：當(dāng)變量從變到時，函數(shù)的平均變化率為當(dāng)，時，平均變化率的值為：.總結(jié)升華：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平均變化率的概念，只要求出平均變化率的表達(dá)式，其他就迎刃而解.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2，2+內(nèi)的平均變化率?！敬鸢浮?，所以平均變化率為。【變式2】已知函數(shù)，分別計算在下列區(qū)間上的平均變化率：（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.【答案

7、】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.【變式3】自由落體運(yùn)動的運(yùn)動方程為，計算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內(nèi)的平均速度（位移s的單位為m）?！敬鸢浮恳笃骄俣?，就是求的值，為此需求出、。設(shè)在3，3.1內(nèi)的平均速度為v1，則所以。同理?！咀兪?】過曲線上兩點(diǎn)和作曲線的割線，求出當(dāng)時割線的斜率.【答案】當(dāng)時類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)例2、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。解析：總結(jié)升華：利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：第一步求函數(shù)的增量；第二步求平均變化率；第三步取極限得導(dǎo)數(shù)。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).（2）求曲線上一點(diǎn)處的切線方程

8、。【答案】（1）（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所求切線的斜率為。所求切線方程為，整理得5x+16y+8=0。【變式2】利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）?！敬鸢浮浚?），（2），（3），（4），例3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點(diǎn)撥：從函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義可求得函數(shù)y=x3+2x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將x=1代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而建立切線方程.解析：設(shè).由f(1)=3，故切點(diǎn)為（1，3），切線方程為y3=5(x1)，即y=5x2.總結(jié)升華: 求函數(shù)圖像上點(diǎn)處的切線方程的求解步驟： 求出導(dǎo)

9、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（即過點(diǎn)的切線的斜率）， 用點(diǎn)斜式寫出切線方程，再化簡整理。舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點(diǎn)的切線：（1）平行于直線y=4x5；（2）垂直于直線2x6y+5=0；（3）與x軸成135°的傾斜角?！敬鸢浮浚O(shè)所求切點(diǎn)坐標(biāo)為P（x0，y0），則切線斜率為k=2x0（1）因?yàn)榍芯€與直線y=4x5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，即P（2，4）。（2）因?yàn)榍芯€與直線2x6y+5=0垂直，所以，得，即。（3）因?yàn)榍芯€與x軸成135°的傾斜角，所以其斜率為1。即2x0=1，得，即。例4已知函數(shù)可導(dǎo)，若，求解析：（）（令t=x2，x1，t1）舉一反三：【變

10、式】已知函數(shù)可導(dǎo)，若，求【答案】類型五：求曲線的切線方程例5求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.解析：，x=1時，y=3，切點(diǎn)為（1，3），切線斜率為5切線方程為y3=5(x1)，即y=5x2.總結(jié)升華: 求函數(shù)圖像上點(diǎn)處的切線方程的求解步驟： 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 求出導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（即過點(diǎn)的切線的斜率）， 用點(diǎn)斜式寫出切線方程，再化簡整理。舉一反三：【變式1】求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出切線方程.解析：切線的斜率.切線方程為，即.【變式2】已知，是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是_.【答案】的導(dǎo)數(shù)為.設(shè)切點(diǎn)，則.的斜率，又切線平行于，切點(diǎn)，切線方程為，即.【變式3】已知

11、曲線.（1）求曲線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點(diǎn)？【答案】（1）將代入曲線的方程得，切點(diǎn).過點(diǎn)的切線方程為，即.（2）由可得，解得或.從而求得公共點(diǎn)為，或.切線與曲線的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的點(diǎn).例6已知直線為曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線，為該曲線的另一條切線，且.（1）求直線的方程；（2）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.解析：（1），直線的方程為.設(shè)直線過曲線上的點(diǎn)，則的方程為，即.因?yàn)?，則有，.所以直線的方程為.（2）解方程組得所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.、與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、，所以所求三角形的面積為.舉一反三：【變式1】

12、如果曲線的某一切線與直線平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程【答案】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為切線在點(diǎn)的斜率為切線與直線平行，斜率為4或切點(diǎn)為（1，-8）或（-1，-12）切線方程為或即或【變式2】曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為_.【答案】由題意，切線的斜率為，切線方程為，與軸交點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為（2，4），【變式3】曲線在（0，1）處的切線與的距離為，求的方程.【答案】由題意知，曲線在（0，1）處的切線的斜率該切線方程為設(shè)的方程為，則，解得，或.當(dāng)時，的方程為；當(dāng)時，的方程為綜上可知，的方程為或.一、選擇題1將半徑為R的球加熱，若球的半徑增量為R，則球的表面積增量S等于()A8RRB8R

13、R4(R)2C4RR4(R)2D4(R)2【解析】球的表面積S4R2，則S4(RR)24R28RR4(R)2.【答案】B2一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方程為s53t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時間段1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，則該質(zhì)點(diǎn)在t1時的瞬時速度是()A3B3C6D6【解析】由平均速度和瞬時速度的關(guān)系可知，Vs(1)li(3t6)6.【答案】D3某手機(jī)配件生產(chǎn)流水線共有甲、乙兩條，產(chǎn)量s(單位：個)與時間t(單位：天)的關(guān)系如圖112所示，則接近t0天時，下列結(jié)論中正確的是()圖112A甲的日生產(chǎn)量大于乙的日生產(chǎn)量B甲的日生產(chǎn)量小于乙的日生產(chǎn)量C甲的日生產(chǎn)量等于乙的日生產(chǎn)量D無法判定甲的日生產(chǎn)量與乙的日生產(chǎn)量的

14、大小【解析】由平均變化率的幾何意義可知，當(dāng)接近于t0時，曲線乙割線的斜率大于曲線甲割線的斜率，故乙的日產(chǎn)量大于甲的日產(chǎn)量【答案】B4設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b為常數(shù))，則()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b【解析】f(x0)lilili(abx)a，f(x0)a.【答案】C5若f(x)x3，f(x0)3，則x0的值是()A1B1C±1D3【解析】yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，3x3x0x(x)2，f(x0)3x3x0x(x)23x，由f(x0)3得3x3，x0±

15、1.【答案】C二、填空題6汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖113所示在時間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，其三者的大小關(guān)系是_圖113【解析】1kMA，2kAB，3kBC，由圖象可知：kMA<kAB<kBC，3>2>1.【答案】3>2>17過曲線yf(x)x21上兩點(diǎn)P(1,2)和Q(1x,2y)作曲線的割線，當(dāng)x0.1時，割線的斜率k_.【解析】y(1x)21(121)2x(x)2，2x.從而割線PQ的斜率為2x，當(dāng)x0.1時，割線PQ的斜率k20.12.1.【答案】8設(shè)函數(shù)f(x)mx32，若f(1)3，則m_

16、.【解析】yf(1x)f(1)m(1x)3m3mx3m(x)2m(x)3，3m3mxm(x)2，f(1)3m3mxm(x)23m，由f(1)3得3m3，m1.【答案】1三、解答題9正弦函數(shù)ysinx在區(qū)間0，和，的平均變化率哪一個較大？【解】ysin x在區(qū)間0，的平均變化率為.ysin x在區(qū)間，的平均變化率為，>.正弦函數(shù)ysin x在區(qū)間0，的平均變化率比在區(qū)間，的平均變化率大10一做直線運(yùn)動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s3tt2(位移：m；時間：s)(1)求此物體的初速度(2)求此物體在t2時的瞬時速度(3)求t0到t2時的平均速度【解】(1)初速度v0 (3t)3(m/s)

17、即物體的初速度為3 m/s.(2)v (t1)1(m/s)即此物體在t2時的瞬時速度為1 m/s，方向與初速度相反(3)1(m/s)即t0到t2時的平均速度為1 m/s.11柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的，鋪路工人鋪路時需要對瀝青加熱使之由固體變成粘稠液體狀如果開始加熱后第x小時的瀝青溫度(單位：)為f(x)求開始加熱后第15分鐘和第4小時瀝青溫度變化的瞬時速度，并說明它們的意義【解】15分鐘0.25小時，且當(dāng)0x1時，f(x)80x220，4080x.f(0.25)lili (4080x)40.又當(dāng)1<x8時，f(x)(x22x244)，當(dāng)x4時，(6x)，f(4)lili

18、(6x)×6._基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)f(x)=x2-1在x0到x0+x之間的平均變化率為()A.2x0-1B.2x0+xC.2x0x+(x)2D.(x)2-x+1解析:=2x0+x.答案:B2.以初速度為v0(v0>0)做豎直上拋運(yùn)動的物體,t時刻的高度為s(t)=v0t-gt2,則物體在t0時刻的瞬時速度為()A.v0-gt0B.v0C.v0+gt0D.gt0解析:s=v0(t0+t)-g(t0+t)2-v0t0+=(v0-gt0)t-g(t)2,=v0-gt0-gt.=v0-gt0,物體在t0時刻的瞬時速度為v0-gt0.答案:A3.函數(shù)y=x2+5x在x=3處的導(dǎo)數(shù)是()A.

19、3B.5C.11D.14解析:y=(3+x)2+5(3+x)-(32+5×3)=6x+(x)2+5x=(x)2+11x,=x+11,y'|x=3=(x+11)=11.答案:C4.曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A.-9B.-3C.9D.15解析:由已知得切線的斜率k=y'|x=1=3,切線方程為y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.令x=0,得y=9,切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9.答案:C5.若曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,則()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a

20、=-1,b=-1解析:點(diǎn)(0,b)在直線x-y+1=0上,b=1.又y'=2x+a,過點(diǎn)(0,b)的切線的斜率為y'|x=0=a=1.答案:A6.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(0)=_.(用數(shù)字作答).解析:由A(0,4),B(2,0)可得線段AB所在直線的方程為f(x)=-2x+4(0x2).同理BC所在直線的方程為f(x)=x-2(2<x6).所以f(0)=4,f(4)=2.答案:27.已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)M(1,f(1)處的切線方程是y=x+2,則f(1)+f'(1)

21、=_.解析:由導(dǎo)數(shù)幾何意義知f'(1)=1,又f(1)=1+2=3,于是f(1)+f'(1)=4.答案:48.求函數(shù)f(x)=x-x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).解:f'(1)=-1.即f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)=-1.能力提升一、選擇題1已知函數(shù)yx21的圖象上一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1x,2y)，則等于()A2B2xC2xD2(x)2【解析】y(1x)21(121)2x(x)2.2x.【答案】C2自由落體運(yùn)動的公式為ss(t)gt2(g10 m/s2)，若v，則下列說法正確的是()Av是在01s這段時間內(nèi)的速度Bv是1s到(1t)s這段時間內(nèi)的速度C5t10

22、是物體在t1s這一時刻的速度D5t10是物體從1s到(1t)s這段時間內(nèi)的平均速度【解析】由平均速度的概念知：v5t10.故應(yīng)選D.【答案】D3(惠州高二檢測)某物體做直線運(yùn)動，其運(yùn)動規(guī)律是st2(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為()A.米/秒B.米/秒C8米/秒D.米/秒【解析】t8，8.【答案】B4函數(shù)f(x)x2在x0到x0x之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是()Ak1k2Bk1k2Ck1k2D無法確定【解析】k12x0x，k22x0x，而x可正可負(fù)，故k1、k2大小關(guān)系不確定【答案】D5已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y3x26x1上一點(diǎn)，且f(x0)0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(1,10)B(1，2)C(1，2)D(1,10)【解析】y3(x0x)26(x0x)3x6x06x0·x3(x)26x， (6x03x6)6x060.x01，y