1、拉丁方試驗設(shè)計及分析1 前言“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher給出的。拉丁方設(shè)計（latin square design）是從橫行和直列兩個方向進(jìn)行雙重局部控制，使得橫行和直列兩向皆成單位組，是比隨機(jī)單位組設(shè)計多一個單位組的設(shè)計。在拉丁方設(shè)計中，每一行或每一列都成為一個完全單位組，而每一處理在每一行或每一列都只出現(xiàn)一次，也就是說，在拉丁方設(shè)計中，試驗處理數(shù)=橫行單位組數(shù)=直列單位組數(shù)=試驗處理的重復(fù)數(shù)。在對拉丁方設(shè)計試驗結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析時，由于能將橫行、直列二個單位組間的變異從試驗誤差中分離出來，因而拉丁方設(shè)計的試驗誤差比隨機(jī)單位就在于提供對實驗處理順序的控制，使實驗條件均衡，抵消由

2、于實驗處理的先后順序的影響而產(chǎn)生的順序誤差，因而也可稱之為抵消法設(shè)計。組設(shè)計小，試驗精確性比隨機(jī)單位組設(shè)計高。 拉丁方設(shè)計又叫平衡對抗設(shè)計(baIanced design)、輪換設(shè)計。這三個名稱是從其模式、作用和方法三個不同的角度來說明這種設(shè)計的意義。所謂平衡對抗設(shè)計，是指在實驗中，由于前一個實驗處理往往會影響后一個實驗處理的效果，而該實驗設(shè)計的作用。所謂輪換設(shè)計，是指在實驗中，由于學(xué)習(xí)的首因效應(yīng)，先實驗的內(nèi)容，被試容易記??；又因為學(xué)習(xí)的近因效應(yīng)，對于剛剛學(xué)過的內(nèi)容，被試回憶的效果一般也較好。因此、在實驗方法上，有必要使不同實驗條件出現(xiàn)的先后順序輪換，使情境條件以及先后順序?qū)Ω鱾€實驗組的機(jī)會均

3、等，打破順序界限。所謂拉丁方設(shè)計，是指平衡對抗設(shè)計的結(jié)構(gòu)模式，猶如拉丁字母構(gòu)成的方陣。例如四組被試接受A、B、C、D四種處理，其實驗?zāi)Ｊ綖椋荷鲜瞿Ｊ奖砜梢钥闯?，每種處理即表中的字母在每一行和每一列都出現(xiàn)了一次而且僅出現(xiàn)了一次。像這樣的一個方陣列就稱為一個拉丁方。要構(gòu)成一個拉丁方，必須使行數(shù)等于列數(shù)，并且兩者都要等于實驗處理的種數(shù)。 在只有兩個實驗處理的情況下，通常采用的平衡對抗設(shè)計是以ABBA的順序來安排實驗處理的順序?；蛘甙褑谓M被試分為兩半一半按照ABBA的順序?qū)嵤┨幚?，另一半按照BAAB的順序?qū)嵤┨幚怼?選題背景 源于生產(chǎn)實踐，在畜牧、水產(chǎn)等動物試驗中，如果要控制來自兩個方面的系統(tǒng)誤差且試

4、驗動物的數(shù)量又較少，則常采用拉丁方設(shè)計。2.1 研究的目的和意義拉丁方設(shè)計（latin square design）是從橫行和直列兩個方向進(jìn)行雙重局部控制，使得橫行和直列兩向皆成單位組，是比隨機(jī)單位組設(shè)計多一個單位組的設(shè)計。在拉丁方設(shè)計中，每一行或每一列都成為一個完全單位組，而每一處理在每一行或每一列都只出現(xiàn)一次，也就是說，在拉丁方設(shè)計中，試驗處理數(shù)=橫行單位組數(shù)=直列單位組數(shù)=試驗處理的重復(fù)數(shù)。在對拉丁方設(shè)計試驗結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析時，由于能將橫行、直列二個單位組間的變異從試驗誤差中分離出來，因而拉丁方設(shè)計的試驗誤差比隨機(jī)單位組設(shè)計小，試驗精確性比隨機(jī)單位組設(shè)計高。 課題的目的是：因為在拉丁設(shè)計

5、中，橫行單位組數(shù)、直列單位組數(shù)、試驗處理數(shù)與試驗處理的重復(fù)數(shù)必須相等，所以處理數(shù)受到一定限制。若處理數(shù)少，則重復(fù)數(shù)也少，估計試驗誤差的自由度就小，影響檢驗的靈敏度；若處理數(shù)多，則重復(fù)數(shù)也多，橫行、直列單位組數(shù)也多，導(dǎo)致試驗工作量大，且同一單位組內(nèi)試驗動物的初始條件亦難控制一致。因此，拉丁方設(shè)計一般用于5-8個處理的試驗。在采用4個以下處理的拉丁方設(shè)計時，為了使估計誤差的自由度不少于12，可采用“復(fù)拉丁方設(shè)計”，即同一個拉丁方試驗重復(fù)進(jìn)行數(shù)次，并將試驗數(shù)據(jù)合并分析，以增加誤差項的自由度。 應(yīng)當(dāng)注意，在進(jìn)行拉丁方試驗時，某些單位組因素，如奶牛的泌乳階段，試驗因素的各處理要逐個地在不同階段實施，如果

6、前一階段有殘效，在后一階段的試驗中，就會產(chǎn)生系統(tǒng)誤差而影響試驗的準(zhǔn)確性。此時應(yīng)根據(jù)實際情況，安排適當(dāng)?shù)脑囼為g歇期以消除殘效。另外，還要注意，橫行、直列單位組因素與試驗因素間不存在交互作用，否則不能采用拉丁方設(shè)計。 其研究的意義在于：1、精確性高 拉丁方設(shè)計在不增加試驗單位的情況下，比隨機(jī)單位組設(shè)計多設(shè)置了一個單位組因素，能將橫行和直列兩個單位組間的變異從試驗誤差中分離出來，因而試驗誤差比隨機(jī)單位組設(shè)計小，試驗的精確性比15 / 15隨機(jī)單位組設(shè)計高。2、試驗結(jié)果的分析簡便2.2 現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢與研究的主攻方向拉丁方試驗從實際應(yīng)用上來說，在計算機(jī)科學(xué)、數(shù)字通訊、光纖網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、實驗設(shè)計、生物基因工

7、程等方面都有著重要的應(yīng)用，其不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其它的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如心理學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。 近年來，正交拉丁方理論在實驗設(shè)計、計算機(jī)科學(xué)、編碼理論和保密通訊等領(lǐng)域得到了重要的應(yīng)用，這為正交拉丁方理論的研究提供了巨大的原動力。本研究方向近年來在frame自正交拉丁方、帶對稱正交侶的自正交拉丁方、r-自正交拉丁方、自正交的Mendelsohn 三元系、橫截設(shè)計等方面取得了一系列的研究成果。3 試驗設(shè)計及拉丁方試驗設(shè)計3.1試驗設(shè)計試驗設(shè)計的基本工具是正交表，正交表是根據(jù)均勻分布的思想，運用組合數(shù)學(xué)理論構(gòu)造的一種數(shù)學(xué)表格試驗設(shè)計的方法很多，不同的方法用于解

8、決在實際工作中所遇到的不同的問題，應(yīng)用最廣泛和最具典型性的方法有區(qū)組設(shè)計、正交設(shè)計、參數(shù)設(shè)計、回歸設(shè)計、均勻設(shè)計、混料設(shè)計、飽和設(shè)計與超飽和設(shè)計”。為比較某因子的多個水平，按某個已知的噪聲因子把全部試驗單元分為若干個組并進(jìn)行試驗和統(tǒng)計分析的方法稱為區(qū)組設(shè)計。根據(jù)不同情況設(shè)計具體試驗的方法有隨機(jī)化完全區(qū)組設(shè)計、平衡不完全區(qū)組設(shè)計和鏈?zhǔn)絽^(qū)組設(shè)計。區(qū)組設(shè)計被廣泛用于因素水平比較試驗。正交試驗設(shè)計是一種常用多因子試驗設(shè)計方法，它利用正交表k(q'選擇試驗條件和安排試驗計劃。并利用正交表的特點進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，減少試驗次數(shù)，找出最好的或滿意的試驗計劃組合。對應(yīng)試驗具體情況和要求不同，正交設(shè)計方法和統(tǒng)

9、計分析方法也有相應(yīng)的調(diào)整和優(yōu)化。正交試驗設(shè)計中的裂區(qū)設(shè)計是現(xiàn)今一大研究熱點。試驗設(shè)計的主要作用是減低試驗次數(shù)、提高試驗精度，使研究人員從試驗結(jié)果中獲得無偏的處理效應(yīng)及試驗誤差的估計，進(jìn)行正確而有效的比較。為了控制干擾因子引起的差異，降低試驗誤差，在試驗設(shè)計中要遵循三條基本原則。一 重復(fù)(Replication)重復(fù)性是科學(xué)調(diào)查結(jié)論的基本要求。相同處理設(shè)置試驗單元重復(fù)后就可研究在試驗單元間的變異。設(shè)置重復(fù)主要作用在于；1估計試驗誤差；2降低試驗誤差，提高試驗精度二隨機(jī)化(Randomization)隨機(jī)化指試驗中每一個處理都有相等的機(jī)會實施安排在任何一個試驗單元上。隨機(jī)可以消除任何人為的主觀偏性

10、及各種干擾因子的影響，以保證獲得處理效應(yīng)及誤差變異的有效無偏估計。三區(qū)域控制(Blocking) 區(qū)域控制是將試驗單元按系統(tǒng)干擾因子的環(huán)境控制因子進(jìn)行區(qū)組劃分，實施區(qū)組控制，使同一區(qū)組內(nèi)的單元間環(huán)境因子保持一致，保證同一區(qū)組中局部范圍內(nèi)單元間誤差的同質(zhì)性。3.2拉丁方試驗設(shè)計 拉丁方設(shè)計（latin square design）在統(tǒng)計上控制兩個不相互作用的外部變量并且操縱自變量。每個外部變量或分區(qū)變量被劃分為一個相等數(shù)目的區(qū)組或級別，自變量也同樣被分為相同數(shù)目的級別。如果將k個不同符號排成k列，使得每一個符號在每一行、每一列都只出現(xiàn)一次的方陣，叫做k×k拉丁方。應(yīng)用拉丁方設(shè)計就是將處

11、理從縱橫二個方向排列為區(qū)組(或重復(fù))，使每個處理在每一列和每一行中出現(xiàn)的次數(shù)相等（通常一次），即在行和列兩個方向都進(jìn)行局部控制。所以它是比隨機(jī)區(qū)組多一個方向局部控制的隨機(jī)排列的設(shè)計，因而具有較高的精確性。 拉丁方設(shè)計的特點是處理數(shù)、重復(fù)數(shù)、行數(shù)、列數(shù)都相等。最小的可以為2×2拉丁方設(shè)計,沒有諸如2×3拉丁方設(shè)計。它的每一行和每一列都是一個區(qū)組或一次重復(fù)，而每一個處理在每一行或每一列都只出現(xiàn)一次，因此，它的處理數(shù)、重復(fù)數(shù)、行數(shù)、列數(shù)都等于5。拉丁方設(shè)計的優(yōu)點是：精確度高。缺點是：由于重復(fù)數(shù)與處理數(shù)必須相等，使得兩者之間相互制約，缺乏伸縮性。因此，采用此類設(shè)計時試驗的處理數(shù)不能

12、太多，一般以410個為宜。其具體的應(yīng)用過程是這樣的： 假設(shè)我現(xiàn)在要做一個實驗，被試一共要進(jìn)行5個小測試，并且需要重測多次，因此對這5個測試的排序就需要列入變量控制之內(nèi)，不可能多次都一樣的順序，因此為了平衡這種順序效應(yīng)，采取拉丁方設(shè)計，先命名5個小測試分別為1，2，3，4，5。那么對其的排序就是這樣的： 第一組測試順序：1，2，5，3，4 第二組測試順序：2，3，1，4，5 第三組測試順序：3，4，2，5，1 第四組測試順序：4，5，3，1，2 第五組測試順序：5，1，4，2，3 其順序是這樣確定的，橫排：1，2，n，3，n-1，4，n-2（n代表要排序的量的個數(shù)） 豎排：1，2，3，4，5 再

13、輪回1。（1）設(shè)計的基本要求：必須是三個因素的實驗，且三個因素的水平數(shù)相等（若三因素的水平數(shù)略有不同，應(yīng)以主要處理因素的水平數(shù)為主，其它兩因素的水平數(shù)可進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整）；三因素間是相互獨立的，均無交互作用；各行、列、字母所得實驗數(shù)據(jù)的方差齊。（2）設(shè)計步驟：根據(jù)主要處理因素的水平數(shù)，確定基本型拉丁方，并從專業(yè)角度使另兩個次要因素的水平數(shù)與之相同；先將基本型拉丁方隨機(jī)化，然后按隨機(jī)化后的拉丁方陣安排實驗?？赏ㄟ^對拉丁方的任兩列交換位置，或/及任兩行交換位置實現(xiàn)隨機(jī)化；規(guī)定行、列、字母所代表的因素與水平，通常用字母表示主要處理因素。4、拉丁方試驗設(shè)計數(shù)據(jù)處理的相關(guān)理論拉丁方設(shè)計試驗結(jié)果的分析，是將兩

14、個單位組因素與試驗因素一起，按三因素試驗單獨觀測值的方差分析法進(jìn)行，但應(yīng)假定3個因素之間不存在交互作用。將橫行單位組因素記為A，直列單位組因素記為B，處理因素記為C，橫行單位組數(shù)、直列單位組數(shù)與處理數(shù)記為r，對拉丁方試驗結(jié)果進(jìn)行方差分析的數(shù)學(xué)模型為： （I=j=k=1，2，r）                           

15、;        式中：為總平均數(shù)；為第I橫行單位組效應(yīng)；為第j直列單位組效應(yīng)，為第k處理效應(yīng)。單位組效應(yīng)、通常是隨機(jī)的，處理效應(yīng)通常是固定的，且有；為隨機(jī)誤差，相互獨立，且都服從N（0，2）。   注意：k不是獨立的下標(biāo)，因為I、j一經(jīng)確定，k亦隨之確定。   平方和與自由度劃分式為：                 

16、;             SST = SSA+SSB+SSC+SSedfT = dfA+dfB+dfc+dfe     矯正數(shù)        C=x2./r2總平方和      SST =x 2ij(k)-C橫行平方和    SS A =x 2I./r- C直列平方和 

17、0;  SS B =x 2.j/ r C處理平方和    SSC =x 2(K)/ r C誤差平方和    SS e= SS T- SS A- SS B- SS c總自由度      dfT= r 2-1橫行自由度    dfA= r-1直列自由度    dfB= r-1處理自由度    dfC= r-1誤差自由度    dfe=dfT-dfA-dfB-df

18、C=(r-1)( r-2)關(guān)于方差分析的基本步驟現(xiàn)歸納如下： （一）計算各項平方和與自由度。 （二）列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗。 （三）若F檢驗顯著，則進(jìn)行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法：包括q檢驗法和新復(fù)極差法)。表示多重比較結(jié)果的方法有三角形法和標(biāo)記字母法。5 拉丁方試驗設(shè)計的具體實例在畜牧、水產(chǎn)等動物試驗中，如果要控制來自兩個方面的系統(tǒng)誤差，且試驗動物的數(shù)量又較少，則常采用拉丁方設(shè)計。下面結(jié)合具體例子說明拉丁方設(shè)計方法。為了研究5種不同溫度對蛋雞產(chǎn)蛋量的影響，將5棟雞舍的溫度設(shè)為A、B、C、D、E，把各棟雞舍的雞群的產(chǎn)蛋期分為5期，由于各雞

19、群和產(chǎn)蛋期的不同對產(chǎn)蛋量有較大的影響，因此采用拉丁方設(shè)計，把雞群和產(chǎn)蛋期作為單位組設(shè)置，以便控制這兩個方面的系統(tǒng)誤差。拉丁方設(shè)計步驟如下：    （一）選擇拉丁方選擇拉丁方時應(yīng)根據(jù)試驗的處理數(shù)和橫行、直列單位組數(shù)先確定采用幾階拉丁方，再選擇標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方或非標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方。此例因試驗處理因素為溫度，處理數(shù)為5；將雞群作為直列單位組因素，直列單位組數(shù)為5；將產(chǎn)蛋期作為橫行單位組因素，橫行單位組數(shù)亦為5，即試驗處理數(shù)、直列單位組數(shù)、橫行單位組數(shù)均為5，則應(yīng)選取5×5階拉丁方。本例選取前面列出的第2個5 × 5標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方，即：  &

20、#160; （二）隨機(jī)排列  在選定拉丁方之后，如是非標(biāo)準(zhǔn)型時，則可直接按拉丁方中的字母安排試驗方案。若是標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方，還應(yīng)按下列要求對橫行、直列和試驗處理的順序進(jìn)行隨機(jī)排列。    3×3標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方：直列隨機(jī)排列，再將第二和第三橫行隨機(jī)排列。    4×4標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方：隨機(jī)選擇4個標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方中的一個，然后再將橫行、直列及處理都隨機(jī)排列。    下面對選定的5×5標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方進(jìn)行隨機(jī)排列。先從隨機(jī)數(shù)字表（）第22行、第8列97開始，向右連續(xù)抄錄3個5位數(shù)，抄錄時

21、舍去“0”、“6以上的數(shù)”和重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，抄錄的3個五位數(shù)字為：13542，41523，34521。然后將上面選定的5×5拉丁方的直列、橫行及處理按這3個五位數(shù)的順序重新隨機(jī)排列。    1、直列隨機(jī)  將拉丁方的各直列順序按13542順序重排。2、橫行隨機(jī)  再將直列重排后的拉丁方的各橫行按41523順序重排。選擇拉丁方  直列隨機(jī)  橫行隨機(jī)12345   13542        

22、ABCDEBAECDCDBEADEABCECDAB  12345ABCDECDBEAECDABDEABCBAECD  41523DAEBCECADBAEBCDBDCEACBDAE3、把5種不同溫度按第三個5位數(shù)34521順序排列   即：A=3，B=4，C=5，D=2，E=1，也就是說，在拉丁方中的A表示第3種溫度，B表示第4種溫度等，依次類推。從而得出5×5拉丁方設(shè)計，如表5.01所示。表5.01 5種不同溫度對雞產(chǎn)蛋量影響的拉丁方設(shè)計產(chǎn)蛋期雞    群一二三四五D（2）A（3）E（1）B（4

23、）C（5）E（1）C（5）A（3）D（2）B（4）A（3）E（1）B（4）C（5）D（2）B（4）D（2）C（5）E（1）A（3）C（5）B（4）D（2）A（3）E（1）注：括號內(nèi)的數(shù)字表示溫度的編號由表 5.01可以看出，第一雞群在第個產(chǎn)蛋期用第2種溫度，第二雞群在第個產(chǎn)蛋期用第1種溫度，等等。試驗應(yīng)嚴(yán)格按設(shè)計實施。6試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析 由前面拉丁方試驗設(shè)計數(shù)據(jù)處理的相關(guān)理論我們可以得知：將橫行單位組因素記為A，直列單位組因素記為B，處理因素記為C，橫行單位組數(shù)、直列單位組數(shù)與處理數(shù)記為r，對拉丁方試驗結(jié)果進(jìn)行方差分析的數(shù)學(xué)模型為： （I=j=k=1，2，r） 

24、                                  式中：為總平均數(shù)；為第I橫行單位組效應(yīng)；為第j直列單位組效應(yīng)，為第k處理效應(yīng)。單位組效應(yīng)、通常是隨機(jī)的，處理效應(yīng)通常是固定的，且有；為隨機(jī)誤差，相互獨立，且都服從N（0，2）。   注意：k不

25、是獨立的下標(biāo)，因為I、j一經(jīng)確定，k亦隨之確定。   平方和與自由度劃分式為：                              SST = SSA+SSB+SSC+SSedfT = dfA+dfB+dfc+dfe      

26、60;                例 1的試驗結(jié)果如表6.10所示。        表6.10 5種不同溫度對母雞產(chǎn)蛋量影響試驗結(jié)果      （單位：個）產(chǎn)蛋期雞    群橫行和xI.一二三四五D（23）A（22）E（20）B（25）C（19）E（21）C（20）A（25）D（22）B（20）

27、A（24）E（20）B（26）C（25）D（24）B（21）D（21）C（22）E（21）A（22）C（19）B（22）D（23）A（23）E（19）108105116116104直列和x.j109108119107106x.=549注：括號內(nèi)數(shù)字為產(chǎn)蛋量表6.11  各種溫度（處理）的合計溫度ABCDE x（k）11623.211422.810521.011322.610120.2現(xiàn)對表6.10資料進(jìn)行方差分析。   1、計算各項平方和與自由度矯正數(shù)        C=x2./r2=

28、5492/52=12056.04總平方和      SST =x 2ij(k)-C=232+212+192-12056.04= 12157-12056.04=100.96橫行平方和    SS A =x 2I./r- C =(1082+1052+1042)/5-12056.04=27.36直列平方和    SS B =x 2.j/ r - C =(1092+1082+1062)/5-12056.04=22.16處理平方和    SSC =x 2(K)/ r

29、 - C=(1162+1142+1012)/5-12056.04=33.36誤差平方和    SS e= SS T- SS A- SS B- SS c=100.96-33.36-27.36-22.16= 18.08總自由度      dfT= r 2-1=52-1=24橫行自由度    dfA= r-1=5-1=4直列自由度    dfB= r-1=5-1=4處理自由度    dfC= r-1=5-1=4誤差自由度 

30、   dfe=dfT-dfA-dfB-dfC=(r-1)( r-2)=(5-1)(5-2)=12   2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗表6.10  表6.11資料的方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05F0.01橫行間直列間溫度間誤  差27.3622.1633.3618.08444126.845.548.341.504.56*3.69*5.56*3.263.263.265.415.415.41總變異100.9624    經(jīng)F檢驗，產(chǎn)蛋期間和雞群間差異顯著,溫度間差異極顯著。因在拉丁方設(shè)計中

31、，橫行、直列單位組因素是為了控制和降低試驗誤差而設(shè)置的非試驗因素，所以即使顯著一般也不對單位組間進(jìn)行多重比較。下面對不同溫度平均產(chǎn)蛋量間作進(jìn)行多重比較。 3、多重比較列出多重比較表，見表6.12。表 6.12不同溫度平均產(chǎn)蛋量多重比較表（q法）溫度平均數(shù)-20.2-21-22.6-22.8ABDCE23.222.822.621.020.23.0*2.6*2.4*0.82.21.81.60.60.20.4溫度平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為:由dfe=12和k=2，3，4，5從q值表查得臨界q值：q0.05和q0.01,并與相乘得值，列于表6.13。表6.13 q值和LSR值表dfekq0.05q0.01LSR0

32、.05LSR 0.011223453.083.774.204.514.325.045.505.841.692.072.312.482.382.773.033.21多重比較結(jié)果表明：溫度A、B、D平均產(chǎn)蛋量顯著地高于E，即第3、4、2種溫度的平均產(chǎn)蛋量顯著高于第1種溫度的平均產(chǎn)蛋量，其余之間差異不顯著。第1種和第5種溫度平均產(chǎn)蛋量最低。2）優(yōu)缺點（1）優(yōu)點：拉丁方的行與列皆為配伍組，可用較少的重復(fù)次數(shù)獲得較多的信息；雙向誤差控制，使觀察單位更加區(qū)組化和均衡化，進(jìn)一步減少實驗誤差，比配伍組設(shè)計優(yōu)越。（2）缺點：要求三因素的水平數(shù)相等且無交互作用。雖然當(dāng)三因素的水平數(shù)不等時，可以通過調(diào)整次要因素的水平數(shù)以滿足設(shè)計的要求，但有時無法達(dá)到；況且因素間可能存在交互作用，故在實際工作中有一定的局限性；當(dāng)因素的水平數(shù)（）較少時，易受偶然因素的影響。為了提高精確度，可應(yīng)用m個×拉丁方設(shè)計（可參照有關(guān)統(tǒng)計學(xué)書籍）; 重復(fù)數(shù)等于處理數(shù)，靈活性不強(qiáng)。處理數(shù)多時，則重復(fù)過多。處理數(shù)少時，重復(fù)少，則估計誤差的自由度太小，精確度低。因此，適用于58個品種或處理的試驗。如果在品種數(shù)或處理數(shù)少時，為了提高試驗的精確度，可采用復(fù)拉丁方設(shè)計，即將一個拉丁方試驗重復(fù)幾次