1、等差數(shù)列前n項和的最值問題問題引入：已知數(shù)列的前n項和,求這個數(shù)列的通項公式.數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別是什么? 解:當(dāng)n>1時: 當(dāng)n=1時:綜上:,其中:,探究1:一般地,如果一個數(shù)列的前n項和為:其中:p.q.r為常數(shù),且p0,那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公差分別是什么?結(jié)論:當(dāng)r=0時為等差,當(dāng)r0時不是一、 應(yīng)用二次函數(shù)圖象求解最值例1：等差數(shù)列中， ，則n的取值為多少時？最大分析：等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，因此可從二次函數(shù)的圖象的角度來求解。解析：由條件可知，d<0，且，其圖象是開口向下的拋物線，所以在對稱軸處取得最大值

2、，且對稱軸為，而，且6.5介于6與7的中點(diǎn)，從而或時最大。1. 已知等差數(shù)列中=13且=,那么n取何值時,取最大值.解析：設(shè)公差為d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, =13-2(n-1), =15-2n,由即得：6.5n7.5,所以n=7時,取最大值.2. 已知an是各項不為零的等差數(shù)列，其中a10，公差d0，若S10=0，求數(shù)列an前5項和取得最大值結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得到二次函數(shù)圖象的開口向下，根據(jù)圖象關(guān)于對稱軸對稱的特點(diǎn)，得到函數(shù)在對稱軸處取到最大值，注意對稱軸對應(yīng)的自變量應(yīng)該是整數(shù)或離對稱軸最近的整數(shù)a

3、n是各項不為零的等差數(shù)列，其中a10，公差d0，S10=0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象特點(diǎn)得到圖象開口向下，且在n=5時，數(shù)列an前5項和取得最大值二、轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)求最值例2、在等差數(shù)列中, 14, 公差d3, 求數(shù)列的前n項和的最小值分析：利用條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過配方寫成頂點(diǎn)式易求解。解析：3d, 149, 23, 23n(n), 當(dāng)n=最小時，最小，但由于，介于8與9之間， ，即有且，故當(dāng)n8 100最小. 點(diǎn)評：通過條件求出，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)，然后配方求解，但要注意的是此處介于8與9之間，但并不能取兩個整數(shù)，判斷的標(biāo)準(zhǔn)是對稱軸是否處于兩個整數(shù)中點(diǎn)，否則只有一個取值。3. 已知

4、等差數(shù)列中，前項和，則使有最小值的是（B ）A、 B、 C、 D、4. 已知an是等差數(shù)列，其中a1=31，公差d=8，則數(shù)列an前n項和的最大值為76分析：（1）根據(jù)數(shù)列的首項和公差寫出數(shù)列的前n項和，它是關(guān)于n的二次函數(shù)，二次項的系數(shù)小于零，函數(shù)存在最大值，結(jié)合二次函數(shù)的最值得到結(jié)果，注意變量n的取值解答：解：（1）an是等差數(shù)列，其中a1=31，公差d=8，數(shù)列an前n項和sn=4n2+35n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n=時，前n項和sn取到最大值，nN，n=4，前n項和sn的最大值是sn=64+140=76，5. 已知一個等差數(shù)列的前項的和是，前項的和是.求此等差數(shù)列的前項和，并求出當(dāng)為

5、何值時，最大，最大值是多少？= 當(dāng)N=10或11時，取最大值為1106. 已知an為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示an的前n項和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是設(shè)an的公差為d，由題意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，由聯(lián)立得a1=39，d=-2，sn=39n+ ×（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400，故當(dāng)n=20時，Sn達(dá)到最大值4007. 已知等差數(shù)列an的公差d0，若a3a7=9，a1+a9=10，則該數(shù)列的

6、前n項和Sn的最大值為49分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到第3項與第7項的和等于首項與第9項的和等于10，又第3項與第7項的積為9，寫出一個兩根為a3和a7關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解，且根據(jù)等差d小于0可得到a3和a7的值，進(jìn)而求出數(shù)列的首項和公差，根據(jù)首項和公差寫出等差數(shù)列的前n項和公式，配方后即可求出數(shù)列的前n項和Sn的最大值解答：解：由題意a1+a9=10，得到a3+a7=10，又a3a7=9，得到a3，a7為方程x210x+9=0的兩根，且d0，得到a3=9，a7=1，則d=2，所以a1=13，Sn=n2+14n49+49=（n7）2+49，則當(dāng)n=7時，該數(shù)列的前n項和Sn的最大

7、值為49故答案為：498. 在等差數(shù)列an中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值解：由S17=S9，得到=，即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=25，得：d=2，所以an=a1+（n1）d=2n+27，則Sn=n2+26n=（n13）2+169，所以當(dāng)n=13時，Snmax=169三、在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題常用鄰項變號法求解：  (1)當(dāng)>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大.(2)當(dāng)<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。例3：已知等差數(shù)列an的an243n，則前多少項和最大？由an243n知當(dāng)時，當(dāng)時，前8項或前7

8、項的和取最大值.9. 已知等差數(shù)列bn的通項bn2n-17,則前多少項和最小?解：由bn2n17n知當(dāng)時，當(dāng)時， 前8項的和取最小值.點(diǎn)評：通過數(shù)列中數(shù)的特性，可由，從解不等式來確定的最大值。小結(jié)：對等差數(shù)列前n項和的求法，通常從二次函數(shù)與不等式的角度來求解，但有一點(diǎn)要注意的是最值的取值不一定在對稱軸處，必須認(rèn)真考察n取何值才符合10. 已知等差數(shù)列an,滿足an =40-4n ,求前多少項的和最大?最大值是多少?解法一:由解法二:令11. 在等差數(shù)列an中，|a3|=|a9|，公差d0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數(shù)n是5或6分析：根據(jù)d0，|a3|=|a9|，判斷出a3=a9，進(jìn)而根據(jù)

9、等差數(shù)列的通項公式求得a1+5d=0，判斷出a6=0進(jìn)而可知從數(shù)列的第7項開始為負(fù)，進(jìn)而可判斷出前n項和Sn取得最大值的自然數(shù)n的值解答：解：d0，|a3|=|a9|，a3=a9，a1+2d=a18d，a1+5d=0，a6=0，an0（1n5），12. Sn取得最大值時的自然數(shù)n是5或6故答案為：5或6等差數(shù)列an的公差d0，且a12=a102，則數(shù)列an的前n項和Sn取得最大值時的項數(shù)n=5分析：由a12=a102，得到a1和a10相等或互為相反數(shù)，因為公差d小于0，所以得到a1和a10互為相反數(shù)即兩項相加等于0，又根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a5和a6的和等于a1和a10的和等于0，得到數(shù)列an

10、的前n項和Sn取得最大值時的項數(shù)為5解答：解：由d0，a12=a102，知a1+a10=0a5+a6=0，所以此數(shù)列從從第6項開始，以后每項都小于0，故Sn取得最大值時的項數(shù)n=5故答案為：5點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，掌握兩數(shù)平方相等時兩數(shù)的關(guān)系，是一道中檔題13. 已知等差數(shù)列an，3 a5 =8 a12， a1<0，設(shè)前n項和為Sn,求Sn取最小值時n的值分析求等差數(shù)列前n項的和最小,可以用函數(shù)的方式去求,亦可以用數(shù)列單調(diào)性,也可以由完成.解法一: 點(diǎn)(n,Sn)是開口向上拋物線上一些孤立的點(diǎn),即在函數(shù)的圖象上,其對稱軸距離x=15.7最近的整數(shù)點(diǎn)(16,S16), 解法

11、二: 14. 已知等差數(shù)列an，3 a4 =7 a7， a1>0，設(shè)前n項和為Sn,求Sn取最大值時n的值915. 已知等差數(shù)列,=.若，求數(shù)列 的前n項和的最小值.分析：由與的關(guān)系，可寫出之間的關(guān)系，兩式作差，即可得出與間的關(guān)系；的前n項和最小，估計的前n項均為負(fù)值，后面均為正值，所有負(fù)值之和為最小.解 =-=-，即8=（+2-（+2，所以（-2-（+2=0，即（+）（-4）=0，因為，所以+0，即-4=0，所以-=4，因此等差數(shù)列的公差大于0.=,解得=2.所以=4n-2,則=2n-31.即數(shù)列也為等差數(shù)列且公差為2.由，解得，因為n，所以n=15,故的前15項為負(fù)值，因此最小，可知

12、=-29，d=2,所以數(shù)列 的前n項和的最小值為=-225.16. 為等差數(shù)列，公差為，為其前項和，,則下列結(jié)論中不正確的是（A）（A） （B） （C） （D）17. 等差數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論：， ，其中正確結(jié)論是- (  A ) A           B             C     &#

13、160;      D18. 等差數(shù)列的前項和的最大值只有，且，則使的的最大值為                。 19. 數(shù)列an是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負(fù)。 求數(shù)列的公差；求前n項和Sn的最大值；當(dāng)Sn>0時，求n的最大值。解：a123，a6>0，a7<0，d為整數(shù)，d4。232 =當(dāng)時，Sn最大78。Sn2n2+25n>0得0，n最大為12。20. (92高考)設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知=12，>0,(1)求公差d的取值范圍；（2）指出，中哪一個值最大，并說明理由.解析 （1）由=12，得：+2d=12,即=12-2d,由>0，得：12+，所以d>-,由,得：13+，所以d<-3, 因此，d的取值范圍為（-,-3）.(2)解法一：=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d令，得：n<3-,由（1）知：<d<-3,所以，又,故由等差數(shù)列的單調(diào)性可知：當(dāng)時，；當(dāng)n>