1、立體幾何中向量法和普通方法的比較立體幾何在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力等方面有著獨(dú)到的作用，因而它成為歷屆高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，在歷年的高考中約占12%.高考數(shù)學(xué)試卷中立體幾何的難度不會(huì)很大，所以應(yīng)在基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能落實(shí)的基礎(chǔ)上注意類比、轉(zhuǎn)化思想，數(shù)行結(jié)合思想的應(yīng)用，借助向量知識(shí)、點(diǎn)-線-面之間的性質(zhì)等工具，選取合理、快捷的解題方法.立體幾何中常出現(xiàn)的問(wèn)題無(wú)外乎線線、線面、面面的平行與垂直的判定和性質(zhì)以及空間距離和空間角等這幾方面，下面分別從傳統(tǒng)法和向量法兩種方法闡述這兩種方法在解這些問(wèn)題時(shí)的方法。傳統(tǒng)法 傳統(tǒng)方法是在向量法以前的唯一一種解立體幾何的方法，它存在一定的技巧性，只要從多

2、個(gè)方面考慮問(wèn)題解決并不難。以下從幾個(gè)方面給出運(yùn)用傳統(tǒng)法的方法。 （一)解決線線、線面、面面的平行與垂直的判定和性質(zhì)(見(jiàn)表一) （二）傳統(tǒng)法解決空間距離的方法 異面直線距離：通常找公垂線段，在根據(jù)已知條件求出公垂線段長(zhǎng)。 點(diǎn)到平面的距離：先作出表示距離的線段，再證明它就是所要求的距離，然后再計(jì)算；或用等體積法。 面與面間距離：找出兩個(gè)面的公垂線，根據(jù)已知條件求出公垂線的距離即為面與面間的距離。 （三）傳統(tǒng)法解決空間角的方法 異面直線所成的角：將異面直線平移，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的兩條直線，在借助三角形的正、余弦定理求解。線面角：先求點(diǎn)到面的距離，通過(guò)射影斜線間在同一個(gè)三角形內(nèi)，然后解直角三角形的方法

3、進(jìn)行求解。二面角：方法一：設(shè)二面角-的大小為 (0) , ，分別是平面，內(nèi)且垂直于的向量,則= 或=- 。方法二：先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱的距離，通過(guò)射影斜線間的關(guān)系，然后通過(guò)解直角三角形求角。（四）解題思路 傳統(tǒng)法的解題思路：證明平行和垂直主要是依據(jù)判定定理和性質(zhì)定理，計(jì)算問(wèn)題主要是作輔助線、證明、求解的過(guò)程，先要做出或?qū)ふ业剿蟮木嚯x或角，然后證明，最后計(jì)算.計(jì)算一般使用勾股定理，余弦定理等解三角形的知識(shí)，解決問(wèn)題的技巧性較大。平行垂直直線和直線(1)同平行于直線的兩直線平行行(2)= ,/, (3)(4) ,(5)兩平行平面都和第三個(gè)平面相交分別交于與，則交線平行(

4、1) ,/cc(2) ,(3)三垂線定理及其逆定理(4) /,直線 ()與平面(1) (2) (3), /(1) m, (2) /,(3) /, (4) , (5) ,平面與平面(1)若內(nèi)的兩條相交直線,都平行于，則/(2),/(3)平行于同一平面的兩平面平行(1) ,(2) /, 表一（見(jiàn)12） 例1：如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。 （I）證明：直線；（II）求異面直線與所成角的大小； （）求點(diǎn)到平面的距離。 (1)證明：取中點(diǎn)，連接，. , . 又, 平面平面, 平面. (2）解：, 為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）. 作連接. 平面, . , ,

5、, , 與所成角的大小為. (3)解:平面, 點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等. 連接,過(guò)點(diǎn)作. , 平面, , 平面, 線段的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離. , , 點(diǎn)到平面的距離為.（見(jiàn)3） 例2：如圖，直三棱柱中，,、分別為、的中點(diǎn)，平面. （1）證明：； （2）設(shè)二面角為60,求與平面所成的角的大小. （1）證明：取中點(diǎn)，連接，連接. 分別為的中點(diǎn)， 并且, 四邊形為平行四邊形， . 又平面, 平面, , 是的垂直平分線, .(2)解：作，垂足為，連接. 由三垂線定理知， 為二面角的平面角. 設(shè)=. = , 2=，解得=. . ， 四邊形為正方形. ，=， 平面， 平面平面. 連接、，設(shè)， ，平面, 為

6、與平面所成的角. 為正方形，=， =1. , =300， 與平面所成的角為300.(見(jiàn)4) 二、向量法向量的應(yīng)用是在熟練三視圖的解題方法后，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，找向量與向量之間的關(guān)系從而得到想要的結(jié)論。 （一）證明線線、線面、面面的平行的方法 線線平行：設(shè)，分別是兩條不重合的直線,的方向向量,則= (R，且0）。線面平行：方法一：設(shè)直線在平面外，是的一個(gè)方向向量,是的一個(gè)法向量, 則/ 。方法二：對(duì)于向量，存在實(shí)數(shù)，有（與不共線），則與，共面，即與、所確定的平面平行或在其內(nèi)。 面面平行：設(shè),分別是兩個(gè)不重合的平面,的法向量/ = (R，且0)。 （二）證明線線、線面、面面的垂直的方法 線線

7、垂直： 設(shè),分別為直線,的一個(gè)方向向量,則 = 0。 線面平行： 設(shè)為直線的一個(gè)方向向量,是平面的一個(gè)法向量,那么要使垂直于的條件： / =(R，且0)。 面面垂直： 設(shè),分別為平面,的一個(gè)方向向量,則 =0。（三）向量法求解空間距離的方法 兩點(diǎn)間的距離：設(shè)空間兩點(diǎn),的距離： = . 點(diǎn)線間的距離：點(diǎn)直線,設(shè) 是直線的一個(gè)法向量,在上取點(diǎn) ，在上的投影為|=,則點(diǎn)到直線的距離=| =。點(diǎn)到面的距離:方法一：設(shè)點(diǎn)，平面的方程為：?？臻g中點(diǎn)到平面的距離公式: = .方法二：設(shè)平面的斜線=,是的一個(gè)法向量,則點(diǎn) 到平面的距離 = 。線線間的距離：設(shè),分別是異面直線,的方向向量,是，的法向量，在，上各

8、取一點(diǎn),在上的投影。 （四）向量法求解空間角問(wèn)題的方法線線角：設(shè)異面直線、的夾角為( 0) ， 、分別為,的一個(gè)方向向量,則cos =|cos | =。線面角：若直線與平面斜交于點(diǎn)，在直線上，于，為平面的法向量，與所成角為 (0)，則sin=sin(-)=cos= 。二面角：二面角為 (0)，為平面的法向量，為平面的法向量，則 =，那么向量， 的夾角 就是二面角（或其補(bǔ)角）的大小。以上是應(yīng)用向量法求解和證明立體幾何是需要用到的基礎(chǔ)知識(shí)，要想很好的應(yīng)用向量法必須熟記以上內(nèi)容。但是在實(shí)際解題時(shí)，具體問(wèn)題需具體分析，從多方面考慮入手，尋找解題的捷徑。向量法解題思路 利用直線的方向向量和平面的法向量表

9、示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系，并且給出用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的三步驟：建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及距離和夾角問(wèn)題；把向量的運(yùn)算結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何意義.下面用向量法分別解例1、例2。 例1：（1）證明：作于點(diǎn),以所在直線為軸建立坐標(biāo)系.則 , 于是. 設(shè)平面的法向量為 ，則 ,. 即 取,解得, (), .（2）解：設(shè)與所成的角為, , , , 與所成角的大小為. (3) 解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為, 為在向量上的投影的絕對(duì)值, , , 點(diǎn)到平面的距離為.(

10、見(jiàn)45)點(diǎn)析：線面平行的證明、異面直線所成的角，點(diǎn)到直線的距離，既可以用綜合方法求解，也可以用向量方法求解，前者較簡(jiǎn)便，因?yàn)閼?yīng)用向量法計(jì)算上會(huì)花費(fèi)很大功夫，個(gè)人喜歡再求二面角時(shí)使用向量法。 例2: （1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸、軸、軸. 設(shè)，則,. 于是=，=. 平面, ， =0，求得=1， . (2) 解：設(shè)平面的法向量. . =，=, 即 , 令, 則, =,=(. 平面的法向量, 二面角為60, ， ， ， ， , ， , 與平面所成的角為.點(diǎn)析：立體幾何當(dāng)中第一問(wèn)往往是很淺顯的，一般用傳統(tǒng)方法很容易，但是第二問(wèn)二面角就不是很容易求出，建議用向量法求解，在一些規(guī)則的例如：正方體

11、、高與底面互相垂直等空間圖形，用向量法解題就非常容易。 以上兩個(gè)立體的兩種解法已經(jīng)明確給出，在使用兩種方法時(shí)有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)，那么現(xiàn)在來(lái)比較一下兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 三、兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)比較傳統(tǒng)法與向量法在運(yùn)用上有很大差別，與此同時(shí)就存在著優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，下面闡述一下兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。傳統(tǒng)法的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)傳統(tǒng)法是指不使用其他工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系用定理(或公理)演繹推理出有關(guān)結(jié)論。 它的優(yōu)點(diǎn)是解法簡(jiǎn)捷、優(yōu)雅；對(duì)邏輯思維能力、作圖能力和空間想象力的提高較有成效。對(duì)于一些簡(jiǎn)單易解的題很實(shí)用。傳統(tǒng)法的缺點(diǎn)是它常需添加輔助線、輔助面；要求學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)硬和扎實(shí)，需要學(xué)生有較高空間想像能力(判定點(diǎn)、線、面)位

12、置關(guān)系能力及較強(qiáng)作圖能力(包括作輔助線、面)與較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰洼^高技巧、計(jì)算能力強(qiáng)等劣勢(shì)。一旦輔助線、輔助面做不出來(lái)也一樣是全盤皆輸。向量法的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)向量法的優(yōu)點(diǎn)是以算數(shù)代替證明，數(shù)形結(jié)合，由計(jì)算出的數(shù)決定題目的性質(zhì)、定量，方法統(tǒng)一、機(jī)械，可操作性強(qiáng)；弱化了技巧、降低了難度、豐富了思維結(jié)構(gòu)進(jìn)一步而言，相對(duì)于傳統(tǒng)方法，對(duì)立體幾何題的探討用向量法則顯得自然、簡(jiǎn)便。對(duì)立體幾何的平行、垂直、角、距離等問(wèn)題，特別是根據(jù)題設(shè)條件可以較方便地建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，這種優(yōu)越性便發(fā)揮得更為明顯,既降低了難度，又易學(xué)易懂,有效地避開(kāi)了立體幾何中繁瑣的定性分析使得一些立體感不強(qiáng)的學(xué)生可以容易的解題。向量法的

13、出現(xiàn)收到了很高的重視。向量法的缺點(diǎn)是適用范圍比綜合法窄(比較規(guī)則的幾何體)，有時(shí)運(yùn)算量比較大，也需要一定的技巧，學(xué)生掌握這些技巧同樣會(huì)有困難，定量計(jì)算一旦算錯(cuò)，全盤皆錯(cuò)。而且相對(duì)于傳統(tǒng)方法而言，后者對(duì)于學(xué)生邏輯思維能力、作圖能力及空間想象能力的培養(yǎng)與提高稍顯不足。對(duì)于一些不明顯的三線垂直圖形很難建系，這就使得解題變得難了。五、向量法與傳統(tǒng)法在選擇上的思考隨著新課程改革的深入，向量法一經(jīng)出現(xiàn)馬上受到重視，但課程改革的理念并不是徹底拋棄傳統(tǒng)法，而是注意兩者的結(jié)合，走中間路線，既保持傳統(tǒng)法的一些要求，也發(fā)揮向量法的一些計(jì)算優(yōu)勢(shì)。在處理具體問(wèn)題時(shí)，要采取實(shí)事求是的態(tài)度：凡是用傳統(tǒng)法不直觀比較困難而用向量法比較容易解決的問(wèn)題，就以向量為“通法”來(lái)解決；對(duì)有些直接使用線面關(guān)系性質(zhì)定理、勾股定理和三角知識(shí)比較容易解決，并且用向量法運(yùn)算量較大、出錯(cuò)率較高