1、灰色理論建模1 灰色系統(tǒng)發(fā)展概況1982年北荷蘭出版公司期刊System & Control Letter發(fā)表了鄧聚龍教授的論文“Control Problems of Grey Systems”，宣告了灰色系統(tǒng)理論的誕生。經(jīng)過整整20多年的發(fā)展，目前這一理論已成為一門新興的邊緣學(xué)科，應(yīng)用日益廣泛。據(jù)1997年11月26日中國科學(xué)報(bào)在“中國有了自己的科學(xué)引文數(shù)據(jù)庫”一文中報(bào)道：1989年至1996年，灰色系統(tǒng)理論被引用533次，居全國之先；2000年1月14日科學(xué)時(shí)報(bào)第四版，中國科學(xué)引文數(shù)據(jù)庫CSCD在“全國論文與專著被引用頻次在60次以上的著者”中報(bào)道，鄧聚龍教授的論著以被引用143

2、次，居全國榜首。2002年3月24-26日在美國匹茲堡召開的系統(tǒng)與控制世界組織(WOSC)12屆年會(huì)和國際一般系統(tǒng)研究會(huì)(IIGSS)4屆年會(huì)聯(lián)合大會(huì)上，由于在灰色系統(tǒng)理論研究中取得的創(chuàng)造性成果，中國的劉思峰教授同波蘭科學(xué)院院士巴布尼茨基（Zdzislaw Bubnicki）教授和國際一般系統(tǒng)研究會(huì)主席福雷斯特（Jeffrey Forrest ）教授共同獲得系統(tǒng)與控制世界組織突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)。1.1 灰理論的特點(diǎn)與作用千百年來,人類為認(rèn)識(shí)客觀世界而不斷地探索,但是,由于人的認(rèn)識(shí)是一個(gè)無限的過程,因此對許多事物或系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)是不完全的,也是若明若暗的,這種系統(tǒng)信息的不完全性、不確定性即為灰性.灰理論把人

3、的思維、思維的成果、人的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、智慧以及各種情報(bào)、資料和信息統(tǒng)統(tǒng)集成起來,從多方面的定量認(rèn)識(shí)上升到定性認(rèn)識(shí),達(dá)到從整體上研究和解決問題的目的,是科學(xué)方法論上的重大進(jìn)展,具有重要的科學(xué)意義和深遠(yuǎn)的學(xué)術(shù)影響?；依碚撘浴安糠中畔⒁阎?，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象，主要通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控?；依碚摻?jīng)過20多年的發(fā)展，已基本建立起一門新興學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系。其主要內(nèi)容包括以灰色朦朧集為基礎(chǔ)的理論體系，以灰色關(guān)聯(lián)空間為依托的分析體系，以灰色序列生成為基礎(chǔ)的方法體系，以灰色模型（GM）為核心的模

4、型體系，以系統(tǒng)分析、評(píng)估、建模、預(yù)測、決策、控制、優(yōu)化為主體的技術(shù)體系。其理論基礎(chǔ)是灰朦朧集；方法基礎(chǔ)是系統(tǒng)科學(xué)和數(shù)學(xué)；實(shí)踐基礎(chǔ)是系統(tǒng)工程應(yīng)用；哲學(xué)基礎(chǔ)是馬克思主義認(rèn)識(shí)論和實(shí)踐論?；疑到y(tǒng)理論是研究不確定性問題的方法論上的創(chuàng)新，從方法論層次來看,其特點(diǎn)和對“少數(shù)據(jù)不確定性”系統(tǒng)研究的指導(dǎo)作用主要體現(xiàn)如下：一、研究路線 灰色系統(tǒng)理論采取了從整體到部分再由部分到整體,把宏觀和微觀結(jié)合起來,從不同方位、不同角度來研究問題.也就是說,灰色系統(tǒng)理論的思維方式是多視角.對于少數(shù)據(jù)不確定性問題,由于是有限維問題,不可能象概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)那樣重復(fù)再現(xiàn),也不可能象模糊數(shù)學(xué)那樣外延量化,只能從多角度、多方位來挖掘系

5、統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律。灰模型的建立過程就是這樣.經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型大都是用微分方程來表示的,它適合連續(xù)可微的對象.對于不確定性系統(tǒng)的行為特征序列,首先是不連續(xù)的,更談不上可微性.再者,微分方程屬于無窮信息空間,而有限序列是有窮信息空間。因此,用序列作微分建模時(shí),首先從序列的角度了解一個(gè)真正的微分方程模型應(yīng)該滿足哪些條件,然后分析現(xiàn)有序列是否滿足這些條件,對那些可以近似地滿足微分模型構(gòu)成條件的序列,建立近似的微分方程模型。二、技術(shù)路線灰色系統(tǒng)理論的依據(jù)是信息覆蓋,依靠信息覆蓋去描述、分析、綜合、處置信息不完全、不確定的灰對象.信息覆蓋的內(nèi)涵是指用一組信息去包容、覆蓋給定的命題,也就是利用已知的、不同方面的一

6、些定量描述,通過灰生成手段來研究系統(tǒng)的性質(zhì),最終給出定性分析,找出現(xiàn)實(shí)規(guī)律,從而達(dá)到從實(shí)驗(yàn)、理論、研究的回答.例如要研究一個(gè)人的健康狀況,首先找出與健康有關(guān)的因素,如血壓、心跳、體溫等等,也就是說如果利用這些信息構(gòu)成一個(gè)集合,那么這個(gè)集合就可以大體上描述這個(gè)人的身體情況.當(dāng)然,集合的構(gòu)成越多,描述的則越詳細(xì)。從這種意義上來說,集合的信息覆蓋了健康狀況。因此,通過研究集合的因素形態(tài),就可以達(dá)到認(rèn)識(shí)一個(gè)人健康狀況的目的。三、實(shí)現(xiàn)信息、知識(shí)、智慧的不斷深化信息、知識(shí)、智慧是三個(gè)不同層次的問題。有了信息，未必有知識(shí)，有了信息、知識(shí)也未必有智慧，信息的綜合可以獲得知識(shí),信息、知識(shí)的綜合可以獲得智慧.灰色

7、系統(tǒng)理論為了研究“少數(shù)據(jù)不確定性”系統(tǒng),首先挖掘系統(tǒng)的有用信息,用信息覆蓋來描述系統(tǒng),通過對信息的分類、加工及處理,找出系統(tǒng)的內(nèi)部規(guī)律,使人們掌握研究事物的知識(shí),獲得開發(fā)系統(tǒng)的智慧。在自然科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)等這些所謂“精密科學(xué)”中,是用嚴(yán)密的邏輯推理、精確的物理、化學(xué)和生物實(shí)驗(yàn),來證明和驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)性判斷的正確與否,從而得出科學(xué)結(jié)論.但這種方法對一些系統(tǒng)問題,如社會(huì)系統(tǒng)中的問題既不是簡單的邏輯推理能得出結(jié)論的,也不能直接進(jìn)行社會(huì)實(shí)驗(yàn).這就需要有新的方式來完成這個(gè)過程.灰色系統(tǒng)理論處理的過程是按照胚胎集發(fā)育集成熟集實(shí)證集來完成的,也就是運(yùn)用辨證思維的方式,從實(shí)驗(yàn)到理論再到研究的過程。用模型和模型體系來描

8、述系統(tǒng)是系統(tǒng)定量研究的有效方式。這種方式在自然科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)中被廣泛使用.在系統(tǒng)科學(xué)中,對簡單系統(tǒng)、大系統(tǒng)、簡單巨系統(tǒng)的研究,幾乎完全是基于數(shù)學(xué)模型.但需要指出的是,對系統(tǒng)建立模型,必須緊密結(jié)合系統(tǒng)實(shí)際,要基于對系統(tǒng)的真實(shí)了解,依據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù),提煉出系統(tǒng)內(nèi)部的某些內(nèi)在定量聯(lián)系,將系統(tǒng)描述出來。為此,甚至借助于經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的幫助,而不是追求數(shù)學(xué)上的完美,這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)與科學(xué)知識(shí)相結(jié)合的過程.因?yàn)閿?shù)學(xué)上的完美性,并不一定代表系統(tǒng)的真實(shí)性?；疑Ｐ褪腔疑到y(tǒng)理論的重要內(nèi)容之一,不同于“白因白果率”的經(jīng)典模型,它是少數(shù)據(jù)基于灰因白果率、差異信息原理、平射原理的建模,它既不是一般的函數(shù)模型,也不是完全的差分方程

9、模型，或者完全的微分方程模型,而是具有部分差分、部分微分性質(zhì)的模型。模型在關(guān)系上、性質(zhì)上、內(nèi)涵上具有不確定性。在數(shù)據(jù)與信息體系、指標(biāo)體系、模型體系的支持下，灰色系統(tǒng)理論依據(jù)信息認(rèn)知原理、解的非唯一性原理、白化原理、灰性不滅原理、最少信息原理對少數(shù)據(jù)不確定性系統(tǒng)進(jìn)行分析,使得信息、知識(shí)、智慧之間不斷深化，從而達(dá)到認(rèn)識(shí)、解決問題的目的。2 灰色關(guān)聯(lián)度理論灰關(guān)聯(lián)理論不僅是灰色系統(tǒng)理論的重要成果之一，而且是灰預(yù)測、灰建模、灰決策和灰控制的基石。下文將對數(shù)據(jù)變換的類型及性質(zhì)進(jìn)行討論，建立點(diǎn)關(guān)聯(lián)度理論，并對目前應(yīng)用眾多的關(guān)聯(lián)度分析方法進(jìn)行研究。2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)為保證建模的質(zhì)量與系統(tǒng)分析的正確結(jié)果，對收

10、集來的原始數(shù)據(jù)必須進(jìn)行數(shù)據(jù)變換和處理，使其消除量綱和具有可比性。定義1 設(shè)有序列則稱映射為序列x到序列y的數(shù)據(jù)變換。1）當(dāng)稱f是初值化變換；2）當(dāng)稱f是均值化變換；3）當(dāng)稱f是百分比變換；4）當(dāng)稱f是倍數(shù)變換；5）當(dāng)其中x0為大于零的某個(gè)值，稱f是歸一化變換；6）當(dāng)稱f是極差最大值化變換；7）當(dāng)稱f是區(qū)間值化變換。定義2 設(shè)有多指標(biāo)序列則稱映射為序列xi到序列yi的數(shù)據(jù)變換多因素多指標(biāo)的數(shù)據(jù)變換方法主要依賴于指標(biāo)的屬性類型，目前文獻(xiàn)中見到的屬性類型有效益型、成本型、固定型、區(qū)間型、偏離型和偏離區(qū)間型六種162。效益型屬性是指指標(biāo)值越大越好的屬性，成本型屬性是指指標(biāo)值越小越好的屬性，固定型屬性是

11、指指標(biāo)值接近某固定值a (k)越好的屬性，區(qū)間型屬性是指指標(biāo)值越接近某固定區(qū)間（包括落入該區(qū)間）越好的屬性，偏離型屬性是指指標(biāo)值越偏離某固定值c (k) 越好的屬性，而偏離區(qū)間型屬性是指指標(biāo)值越偏離某區(qū)間越好的屬性。記 為因素集的下標(biāo)集合 為指標(biāo)集的下標(biāo)集合，分別表示效益型、成本型、固定型、區(qū)間型、偏離型和偏離區(qū)間型指標(biāo)的下標(biāo)集合，則有 關(guān)聯(lián)分析中常用的一組數(shù)據(jù)變換可歸納為：其中 其中 2.2 點(diǎn)關(guān)聯(lián)度定義3設(shè)為灰關(guān)聯(lián)因子集,為參考序列,為比較序列, 分別為與的第個(gè)點(diǎn)的數(shù),即若 其中為絕對差，為兩極最小差，為兩極最大差，為分辨系數(shù)，且，(注：上述定理中的值在實(shí)際計(jì)算中一般取0.5)。為k點(diǎn)權(quán)重

12、，滿足 。則稱為和的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)，稱為對的灰關(guān)聯(lián)度。 一般地，若，則說明與的相關(guān)程度比與的相關(guān)程度要高，或者理解為對的影響程度比對的影響程度要大。2.3 灰關(guān)聯(lián)分析方法灰色關(guān)聯(lián)分析方法，一般包括下列的計(jì)算和分析步驟：(1) 確定參考序列和比較序列；(2) 作原始數(shù)據(jù)變換；(3) 求絕對差序列；(3) 計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)；(4) 計(jì)算關(guān)聯(lián)度；(5) 排關(guān)聯(lián)序；(6) 列關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行優(yōu)勢分析。應(yīng)用實(shí)例1 以呼和浩特市19992003年大氣污染監(jiān)測數(shù)據(jù)為例,用灰色關(guān)聯(lián)度方法分析影響呼和浩特市大氣污染的各主要因素的污染水平。各因素的統(tǒng)計(jì)值見表1。表1 1999-2003年城市大氣污染監(jiān)測數(shù)據(jù)因素1999200

13、0200120022003大氣污染值（g/m3）0.7320.6460.6360.5980.627NOx （g/m3）0.0380.0310.0420.0360.043TSP（g/m3）0.5070.4510.4480.4110.122SO2（g/m3）0.0480.0340.0300.0300.031工業(yè)總產(chǎn)值（億元）183.25207.28240.98290.80370.00基建投資（億元）24.0344.9862.7983.44127.22機(jī)動(dòng)車數(shù)量（輛）855087431385966100554109804煤炭用量（萬噸）175.87175.72183.69277.11521.26沙塵

14、天數(shù)（天）10131311（1）將城市區(qū)域大氣污染值作為參考序列，其它各因素作為比較因素序列，對各因素初值化處理，得各標(biāo)準(zhǔn)化序列 得到無量綱序列表2 表2 各因素?cái)?shù)據(jù)序列無量綱因素19992000200120022003大氣污染值（g/m3）10.8830.8690.8170.857NOx （g/m3）10.8161.1050.9471.132TSP（g/m3）10.8900.8840.8110.241SO2（g/m3）10.7080.6250.6250.646工業(yè)總產(chǎn)值（億元）11.1311.3151.5872.019基建投資（億元）11.8722.6133.4725.294機(jī)動(dòng)車數(shù)量（輛）

15、10.8691.0051.1761.284煤炭用量（萬噸）10.9991.0441.5762.964沙塵天數(shù)（天）11.3001.3000.1000.100（2）根據(jù)上表求出差,得序列： 顯然 （3）由此計(jì)算出關(guān)聯(lián)系數(shù)如下：令，則有；（4）計(jì)算關(guān)聯(lián)度并進(jìn)行優(yōu)勢因素分析取，求得比較因素和參考因素的關(guān)聯(lián)度如下： ；以上八個(gè)比較因素中，為比較方便，把這八個(gè)因素分為直接因素（前三個(gè)）和間接因素（后五個(gè)）。從上述關(guān)聯(lián)度分析來看，直接因素中，各因素關(guān)聯(lián)度大小排序：，表明在城市大氣環(huán)境的影響因素中，是影響呼和浩特市空氣質(zhì)量的主要因素；在間接因素中，各因素關(guān)聯(lián)度大小排序：，機(jī)動(dòng)車數(shù)量為主要的間接影響因素。注：

16、以上的計(jì)算過程可以用運(yùn)用南京航天航空大學(xué)開發(fā)的灰色系統(tǒng)軟件進(jìn)行求解，下面就該軟件的具體使用方法作課堂演示。把處理后的表2中的數(shù)據(jù)以下面的格式把變換后的數(shù)據(jù)代入軟件軟件中，可直接算出關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度。1,0.883,0.869,0.817,0.8571,0.816,1.105,0.947,1.1321,0.890,0.884,0.811,0.2411,0.708,0.625,0.625,0.6461,1.131,1.315,1.587,2.0191,1.872,2.613,3.472,5.2941,0.869,1.005,1.176,1.2841,0.999,1.044,1.576,2.9641

17、,1.300,1.300,0.100,0.100應(yīng)用實(shí)例2 影響深圳市大氣質(zhì)量的主要因素分析母序列，子序列及其主要數(shù)據(jù)見表3所示.表3 基本數(shù)據(jù)系列因素1989199019911992母因素y1 硫酸鹽化速率y2 降塵量y3 氮氧化物y4 總懸浮顆粒物y5 大氣含鉛量y6 二氧化硫0.157.920.0650.1980.0870.160.216.700.0760.1190.0930.0090.247.930.1080.1610.1260.0190.309.340.1190.1950.1950.016子因素x1 城市機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x2 城市道路總長度x3 燃料消耗量x4 總?cè)丝跀?shù)x5 基建總投資x6

18、 工業(yè)總產(chǎn)值8.29257205.8102.6943.5101.410.13275234.7100.9849.5161.312.31288279.8119.8166.6219.315.15299387.3122.02108.4306.3解 先計(jì)算母序列對子序列的關(guān)聯(lián)度. (1) 原始數(shù)據(jù)作初值化變換(變換后序列的記號(hào)不妨仍記為原來的符號(hào)): (2) 計(jì)算絕對差: 顯然 (3) 計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度: 取 00同理,可求出其它母序列對子序列的關(guān)聯(lián)度, 將所有關(guān)聯(lián)度排成關(guān)聯(lián)度矩陣得（4）優(yōu)勢因素分析 1) 子因素對母因素影響優(yōu)勢分析。分析發(fā)現(xiàn)，單項(xiàng)子因素對單項(xiàng)母因素得影響, 以人口的變化對降塵量的

19、影響最大, 其次是機(jī)動(dòng)車輛的增長對氮氧化物的影響, 而工業(yè)總產(chǎn)值對總懸浮顆粒物的影響最小, 其次是這一子因素對降塵量、二氧化硫、大氣含鉛量的影響。2）多因素綜合分析。分析發(fā)現(xiàn)，除工業(yè)總產(chǎn)值的變化對大氣質(zhì)量影響的極弱外，其余因素均有明顯影響，但以燃料的消耗量和車輛增長率的影響最突出。3）城市發(fā)展對城市氮氧化物和降塵量的影響較明顯，對硫酸鹽化速率的影響最小，另外對總懸浮顆粒物的含量的影響也不明顯。3 灰色GM(1,1)預(yù)測建模3.1 灰色GM(1,1)預(yù)測建模原理灰色理論認(rèn)為一切隨機(jī)量都是在一定范圍內(nèi)、一定時(shí)間段上變化的灰色量及灰色過程.數(shù)據(jù)處理不去尋找其統(tǒng)計(jì)規(guī)律和概率分布，而是對原始數(shù)據(jù)作一定處

20、理后，使其成為有規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型.這里采用基于累加生成數(shù)列的GM(1,1)模型，建模原理如下.1) 對原始數(shù)據(jù)作一次累加設(shè)原始灰色數(shù)據(jù)為 ，記為 對其作一次累加，得到， 其中 ，累加數(shù)列克服了原始數(shù)列的波動(dòng)性和隨機(jī)性，轉(zhuǎn)化為規(guī)律性較強(qiáng)的遞增數(shù)列，為建立微分方程形式的預(yù)測模型作好準(zhǔn)備.2) 建立GM(1,1)模型 (1)微分方程(1)就是灰色預(yù)測模型GM(1,1)，其中為常數(shù)，可通過最小二乘法擬合得到：其中， 微分方程(1)的解（稱為時(shí)間響應(yīng)函數(shù)）為 (2)(2)式就是數(shù)列的預(yù)測公式，由于(2)式是對一次累加生成數(shù)列的預(yù)測值，可通過(3)式求得原始數(shù)列的還原預(yù)測值 (3

21、)3.2 灰預(yù)測步驟 Step 1: 級(jí)比檢驗(yàn)、建?？尚行苑治?對于給定序列，能否建立精度較高的GM（1，1）預(yù)測模型，一般可用的級(jí)比的大小與所屬區(qū)間，即其覆蓋來判斷。命題1(事前檢驗(yàn)準(zhǔn)則) 設(shè)，且級(jí)比為則當(dāng) 時(shí)，序列可作GM（1，1）建模。實(shí)際上上述級(jí)比的覆蓋稱為序列的可容覆蓋，當(dāng)時(shí)，的可容覆蓋分別為：Step 2 : 數(shù)據(jù)變換處理數(shù)據(jù)變換處理的原則是經(jīng)過處理后的序列級(jí)比落在可容覆蓋中，從而對于級(jí)比不合格的序列，可保證經(jīng)過選擇數(shù)據(jù)變換處理后能夠進(jìn)行GM（1，1）建模。通常的數(shù)據(jù)變換有：平移變換、對數(shù)變換、方根變換。Step 3 : GM（1，1）建模建模過程參見2中的灰色GM(1,1)預(yù)測建

22、模原理.Step 4 : 模型檢驗(yàn)（1）事中檢驗(yàn)檢驗(yàn)GM（1，1）模型的精度，通常采用殘差檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)、級(jí)比偏差（指數(shù)律差異值）檢驗(yàn)。設(shè)原始序列的點(diǎn)（或時(shí)刻）的實(shí)際值為，由所得灰色模型的計(jì)算值為，則稱為點(diǎn)（或時(shí)刻）的殘差。1） 殘差檢驗(yàn)這是一種逐點(diǎn)檢驗(yàn)方法，定義相對誤差、平均相對誤差與精度如下： =對于，一般要求，最好；對于，一般要求，最好。2） 后驗(yàn)差檢驗(yàn)設(shè)為原始序列，為模型序列，為殘差序列，則的均值與方差分別為： 的均值與方差分別為： 后驗(yàn)差比值與小誤差頻率 分別為：3） 級(jí)比偏差（指數(shù)律差異值）檢驗(yàn)對于給定的序列及其模型序列，序列級(jí)比與模型級(jí)比分別則級(jí)比偏差（指數(shù)律差異值）為命題2 若為指定實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱的GM（1，1）模型具有指數(shù)符合率。按、的大小，可將預(yù)測精度分為好、合格、勉強(qiáng)、不合格四類，各類的指標(biāo)值見下表4表4 模型檢驗(yàn)分類表相對誤差精 度后驗(yàn)差比值小誤差頻率級(jí)比偏差一級(jí)1%99%0.350.951%二