1、.平新喬微觀經濟學十八講第2講 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)跨考網(wǎng)獨家整理最全經濟學考研真題，經濟學考研課后習題解析資料庫，您可以在這里查閱歷年經濟學考研真題，經濟學考研課后習題，經濟學考研參考書等內容，更有跨考考研歷年輔導的經濟學學哥學姐的經濟學考研經驗，從前輩中獲得的經驗對初學者來說是寶貴的財富，這或許能幫你少走彎路，躲開一些陷阱。以下內容為跨考網(wǎng)獨家整理，如您還需更多考研資料，可選擇經濟學一對一在線咨詢進行咨詢。1設一個消費者的直接效用函數(shù)為。求該消費者的間接效用函數(shù)。并且運用羅爾恒等式去計算其關于兩種物品的需求函數(shù)。并驗證：這樣得到的需求函數(shù)與從直接效用函數(shù)推得的需求函數(shù)是相同的。解：（1）

2、當時，消費者的效用最大化問題為：構造拉格朗日函數(shù)：對、和分別求偏導得： 從式和式中消去后得： 再把式代入式中得： 從而解得馬歇爾需求函數(shù)為： 由式可知：當時，消費者同時消費商品1和商品2。將商品1和商品2的馬歇爾需求函數(shù)代入效用函數(shù)中得到間接效用函數(shù)：當時，消費者只消費商品1，為角點解的情況。從而解得馬歇爾需求函數(shù)為： 將商品1和商品2的馬歇爾需求函數(shù)代入效用函數(shù)中得到間接效用函數(shù)：（2）當時，此時的間接效用函數(shù)為：將間接效用函數(shù)分別對、和求偏導得： 由羅爾恒等式，得到： 當時，間接效用函數(shù)為，將間接效用函數(shù)分別對、和求偏導得： 由羅爾恒等式，得到： （3）比較可知，通過效用最大化的方法和羅爾

3、恒等式的方法得出的需求函數(shù)相同。2某個消費者的效用函數(shù)是，商品1和2的價格分別是和，此消費者的收入為，求馬歇爾需求函數(shù)和支出函數(shù)。解：（1）消費者的效用最大化問題為：構造該問題的拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)對、和分別求偏導得： 從式和式中消去后得： 把式代入式中得： 把式代入式中得： 式和式就是商品1和2的馬歇爾需求函數(shù)。將馬歇爾需求函數(shù)代入直接效用函數(shù)中，可得間接效用函數(shù)：由于支出函數(shù)與間接效用函數(shù)互為反函數(shù)，得支出函數(shù)為：3試根據(jù)間接效用函數(shù)求出相應的馬歇爾需求函數(shù)，這里表示收入。解：由間接效用函數(shù)可得：，。根據(jù)羅爾恒等式可知商品1和商品2的馬歇爾需求函數(shù)分別為（其中或2）：4考慮一退休老人

4、，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三城市中選擇居住地。假定他的選擇決策只依賴于其效用函數(shù)，這里。已知北京的物價為，上海的物價為，并且，但，。又知廣州的物價為。若該退休老人是理智的，他會選擇哪個城市去生活？解：老人的效用最大化問題為：構造該問題的拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)對、和分別求偏導得： 由三式求解，可得：，。將上述兩式代入目標式中就得到了老人的間接效用函數(shù)：于是他在北京、上海、廣州三地的效用分別為： 因為，所以。又因為，由于已知，所以該不等式的等號并不成立，則有。綜合上述分析可知：若該退休老人是理性的，則他會選擇在北京或上海生活，但不會選擇去廣州生活。5（1）設，這里，求與該效用函數(shù)

5、相對應的支出函數(shù)。（2）又設，這里，求與該效用函數(shù)相對應的支出函數(shù)。（3）證明：，其中。答：（1）消費者的支出最小化問題為：構造該問題的拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)對、和分別求偏導得： 由上述三式解得：，。把兩式代入目標函數(shù)式中，就得到了消費者的支出函數(shù)：（2）消費者的支出最小化問題為：構造該問題的拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)對、和分別求偏導得： 由三式可解得：，。把上述兩式代入目標函數(shù)式中，就得到了消費者的支出函數(shù)：（3）證明：根據(jù)（1）與（2）的結果，可得。6設某消費者的間接效用函數(shù)為，這里。什么是該消費者對物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)？答：根據(jù)間接效用函數(shù)與支出函數(shù)是反函數(shù)的關系，由于消費者的間接

6、效用函數(shù)為，從中反解出關于、和的表達式，并用替換，就得到了消費者的支出函數(shù)：根據(jù)謝潑特引理，可知物品1的希克斯需求函數(shù)為：7考慮含種商品的Cobb-Douglass效用函數(shù)，這里，。（1）求每種商品的馬歇爾需求函數(shù)。（2）求消費者的間接效用函數(shù)。（3）計算消費者的支出函數(shù)。（4）計算每種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù)。解：（1）消費者的效用最大化問題為：構造該問題的拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)對和分別求偏導數(shù)得： 從前個等式可知，對任意的和，都有如下關系成立：從而得到，對任意的都有：把這個等式代入式中，就有：即：從而解得商品的馬歇爾需求函數(shù)為：（2）把每個商品的馬歇爾需求函數(shù)代入效用函數(shù)中，就得到了消費者

7、的間接效用函數(shù)：（3）從間接效用函數(shù)中反解出關于、和的表達式，并用替換，就得到了消費者的支出函數(shù)：（4）把支出函數(shù)兩邊取對數(shù)，得：上式關于求導得：再根據(jù)謝潑特引理得到消費者對物品的希克斯需求函數(shù)為：8以柯布一道格拉斯效用函數(shù)為例說明求解效用最大化問題和求解支出最小化問題可以得到同一需求函數(shù)。答：（1）如果消費者的效用函數(shù)為柯布道格拉斯效用函數(shù)，那么他的效用最大化問題可以描述為：構造該問題的拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)對、和分別求偏導得： 從式和式中消去后得： 把式代入式中解得： 把式代入式中解得： 、兩式就是與柯布道格拉斯效用函數(shù)相對應的馬歇爾需求函數(shù)，把它們代入目標函數(shù)式中，就得到了間接效用函

8、數(shù)：（2）消費者的支出最小化問題為：構造該問題的拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)對、和分別求偏導得： 從式和式中消去后得： 把式代入式中解得商品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)為： 把式代入式中解得商品2的希克斯需求函數(shù)為： 把，兩式代入目標函數(shù)式中，就得到了消費者的支出函數(shù)：（3）下面來驗證問題的結論：對柯布道格拉斯效用函數(shù)而言，求解效用最大化問題和求解支出最小化問題可以得到同一需求函數(shù)。把間接效用函數(shù)的表達式代入商品1和2的?？怂剐枨蠛瘮?shù)中，就得到了它們的馬歇爾需求函數(shù)：把支出函數(shù)的表達式代入商品1和2的馬歇爾需求函數(shù)中，就得到了它們的?？怂剐枨蠛瘮?shù)：由此可知，對柯布道格拉斯效用函數(shù)而言，求解效用最大化問題和

9、求解支出最小化問題可以得到同一需求函數(shù)。9下列說法對嗎？為什么？函數(shù)可以作為某個消費者對某種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù)。答：函數(shù)不能作為某個消費者對某種商品的?？怂剐枨蠛瘮?shù)。理由如下：?？怂剐枨蠛瘮?shù)（用表示，其中下標表示第種商品）是指在消費者的效用保持不變的情況下，商品的價格和消費者對該商品的需求量之間的關系。特別地，希克斯需求函數(shù)具有以下性質：（1）關于價格是零次齊次的，即：對任意的，；（2）關于第種商品的價格單調遞減，即：；（3）對任意的和兩種商品，總是成立。對任意的，。故對于函數(shù)而言，由于不滿足上述三條性質中的前兩條，所以它不是?？怂剐枨蠛瘮?shù)。10下列函數(shù)能成為一個馬歇爾需求函數(shù)嗎？為什么？這

10、里，與為兩種商品，為收入。答：馬歇爾需求函數(shù)是指在消費者的收入保持不變和消費者追求效用最大化的條件下，商品的價格和消費者對該商品的需求量之間的關系。馬歇爾需求函數(shù)具有以下性質：（1）馬歇爾需求函數(shù)關于價格和收入是零次齊次的，即：對任意的，都有。（2）如果一種商品是正常品，即，那么該商品的馬歇爾需求函數(shù)關于商品的價格單調遞減，即。下面對函數(shù)分別驗證上述兩條性質：（1）；（2）由于，所以該商品是正常品。，但是只有在的條件下才能成立，否則商品的需求隨著價格的上升而增加，這就和第二條性質相矛盾。綜合上述分析可知該函數(shù)不是馬歇爾需求函數(shù)。以上內容為跨考網(wǎng)整理的經濟學考研課后習題答案解析的一部分，限于篇幅原因，如果同學還想獲得更多經