1、第4講圓錐曲線中的最值、范圍及存在性問(wèn)題絳典型習(xí)題提數(shù)學(xué)素養(yǎng)1. (2019武漢市調(diào)研測(cè)試)已知橢圓r：錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=1(ab>0)的左頂點(diǎn)為M(2,0),離心率為錯(cuò)誤!.(1)求橢圓r的方程；(2)過(guò)點(diǎn)N(1,0)的直線l交橢圓r于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！取得最大值時(shí)，求MAB的面積.解：(1)由題意得a=2,錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，得c=錯(cuò)誤！，所以a2b2=2,即4b2=2,所以b2=2,所以橢圓r的方程為錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=1.(2)當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，不妨取N2,0),B(2,0),則點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，錯(cuò)誤！=0,所以錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=0。當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+

2、1,設(shè)A(X3,y3),B(x4,y4),22由錯(cuò)誤！，得(t+2)y+2ty3=0,顯然A>0,所以丫3+丫4=錯(cuò)誤！，丫3丫4=錯(cuò)誤！，所以錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=(x3+2)(x4+2)+y3y4(ty3+3)(ty4+3)+y3y4,一2(t+1)y3y4+3t(y3+y4)+9=(t2+1)錯(cuò)誤！+3t錯(cuò)誤！+9=錯(cuò)誤！+9=錯(cuò)誤！+9=錯(cuò)誤！W錯(cuò)誤！。所以錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！的最大值為錯(cuò)誤！，此時(shí)t=0,l：x=1,不妨取A錯(cuò)誤！，B音誤！，則|人口=錯(cuò)誤！，又|MN=3,所以MAB勺面積S=錯(cuò)誤！|AB|MN=錯(cuò)誤！x錯(cuò)誤！乂3=錯(cuò)誤！.2. (2019安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)已知A,B是x

3、軸正半軸上的兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),且IAB=a(a>0),過(guò)AB分別作x軸的垂線，與拋物線y2=2px(p0)在第一象限分別交于D,C兩點(diǎn).(1)若a=p,點(diǎn)A與拋物線y2=2px的焦點(diǎn)重合，求直線CD勺斜率；(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記OCD勺面積為S,梯形ABCD勺面積為S2,求錯(cuò)誤！的取值范圍.解：(1)由題意知A錯(cuò)誤！，則B錯(cuò)誤！，D音誤！，則Ct誤！，又a=p,所以kcD=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！一1.(2)設(shè)直線CD的方程為y=kx+b(k*0),C(xbyO,D(x2,y2),2由錯(cuò)誤！，得ky2py+2Pb=0,2所以=4p8pkb>0,得kb錯(cuò)誤！，又丫1+丫2=錯(cuò)誤！，y1y

4、2=錯(cuò)誤！，由丫1+丫2=錯(cuò)誤！0,丫42=錯(cuò)誤！0,可知k>0,b>0,因?yàn)閨CD=錯(cuò)誤!|Xi-x2I=a錯(cuò)誤！，點(diǎn)O到直線CD的距離=錯(cuò)誤！，1所以Si=-a錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！abo又S=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！TXiX2|=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！a=錯(cuò)誤！，所以錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，因?yàn)?kb錯(cuò)誤！，所以0<錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！.3. (2019洛陽(yáng)市統(tǒng)考)已知拋物線Cy2=2px(p>0),其焦點(diǎn)為F,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)AB,M為AB的中點(diǎn).(1)若p=2,M的坐標(biāo)為(1,1),求直線l的方程；2(2)若直線l過(guò)焦點(diǎn)F,AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,試問(wèn)：?是否為定

5、值？若為定值，試求出此定值；否則，說(shuō)明理由.解：(1)由題意知直線l的斜率存在且不為0,故設(shè)直線l的方程為x1=t(y1),即x=ty+1t,設(shè)A(Xi,y1)，B(X2,y2).2由專(zhuān)日證!,住py4ty4+4t=0,所以=16t2+1616t=16(t2t+1)0,yi+y2=4t,所以4t=2,即t=錯(cuò)誤！.所以直線l的方程為2xy1=0.(2)錯(cuò)誤！為定值2p,證明如下.因?yàn)閽佄锞€C：y2=2px(p0),所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為錯(cuò)誤！。由題意知直線l的斜率存在且不為0,因?yàn)橹本€l過(guò)焦點(diǎn)F,故設(shè)直線l的方程為x=ty+錯(cuò)誤！(tw0),設(shè)A(xi,y1),B(X2,y2).由錯(cuò)誤！，得y22

6、Ptyp2=0,2. 2一.2所以yi+y2=2pt,A=4pt+4p>0。22所以x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt+p,所以Mpt+錯(cuò)誤！，pt)所以MN勺方程為ypt=t(xpt2錯(cuò)誤！).令y=0,解得x=pt2+錯(cuò)誤！，N(pt2+錯(cuò)誤！,0),所以|MN2=p2+p2t2,IFN=pt2+錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=pt2+p,所以錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=2p。4.(2019湖南省湘東六校聯(lián)考)已知橢圓C：錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=1(ab>0)的離心率e=12,點(diǎn)A(b,0),B,F分別為橢圓的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且|BF|BA|=2*(1)求橢圓C的方程；(2)若過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢

7、圓C交于GH兩點(diǎn)(G在MH之間)，設(shè)直線l的斜率k>0,在x軸上是否存在點(diǎn)P(mi0),使得以PGPH為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由離心率e=錯(cuò)誤！得a=2c。由|BF|BA|=2錯(cuò)誤！，得a-錯(cuò)誤！=2錯(cuò)誤！，所以ab=2錯(cuò)誤！。a2b2=c2，由可得a2=4,b2=3,所以橢圓C的方程為錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=1。(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2(k0),由錯(cuò)誤！得，(3+4k2)x2+16kx+4=0，可知0,所以k>錯(cuò)誤！.設(shè)G(Xi,yO,H(x2,y2),則X1+X2=錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！=(x

8、+X22mk(x+X2)+4),錯(cuò)誤！=(x2xby2一y1)(X2Xi,k(X2Xi).因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以(錯(cuò)誤！+錯(cuò)誤！)錯(cuò)誤！=0,2所以(1+k)(xi+X2)+4k2my=0,得nn=一錯(cuò)誤！,即錯(cuò)誤！，因?yàn)閗>錯(cuò)誤！，所以一錯(cuò)誤！&n<0(當(dāng)且僅當(dāng)錯(cuò)誤！=4k時(shí)，等號(hào)成立)所以存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)mim的取值范圍為錯(cuò)誤！，0).尊敬的讀者：本文由我和我的同事在百忙中收集整編出來(lái)，本文檔在發(fā)布之前我們對(duì)內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有不盡如人意之處，如有疏漏之處請(qǐng)指正，希望本文能為您解開(kāi)疑惑，引發(fā)思考。文中部分文字受到網(wǎng)友的關(guān)懷和支持，在此表示感謝！在往后的日子希望與大家共同進(jìn)步，成長(zhǎng)。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeunsatisfactorypoints.Ifthereareomissions,pleasecorrectthem.Ihopethisarticleca