1、第三十二講圓的定義與圓的對(duì)稱性【知識(shí)要點(diǎn)】1、圓的定義有以下兩種（1）在同一平面內(nèi)，一條線段 0P繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) 0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) P所經(jīng)過(guò) 的封閉曲線叫做圓定點(diǎn)0就是圓心，線段0P就是圓的半徑以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“O 0” ,讀作“圓0'.說(shuō)明：這是圓的描述性定定義，由定義可以看出：確定圓的兩個(gè)條件是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，圓的半徑確定圓的大小；要注意圓是指“圓周”，而非“圓面” （2 ）在同一個(gè)平面內(nèi)，圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做 半徑說(shuō)明：這是圓的點(diǎn)集定義，它包括兩個(gè)方面的含義：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（即圓心）的距離等于定長(zhǎng)（即半徑）；.到

2、定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上2、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外三種，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的大小關(guān)系決定的如果圓的半徑是r，這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離為d，那么點(diǎn)在圓外二d r ；點(diǎn)在圓上二 d = r ；點(diǎn)在圓內(nèi)二 d ： r3、圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線（通過(guò)折疊可發(fā)現(xiàn)此性質(zhì)）圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心（利用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到此性質(zhì) ） 圓具有旋轉(zhuǎn)不變性：一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能與原來(lái)的圖形重合 說(shuō)明：（1）中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合

3、，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。軸對(duì)稱圖形是指沿對(duì)稱軸對(duì)折后完全重合的圖形。（2）圓的對(duì)稱軸是直線，不能說(shuō)直徑是它的對(duì)稱軸，而應(yīng)說(shuō)直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸；圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條4、與圓有關(guān)的概念（1 ）連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做 弦經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑等于半徑的2倍（2） 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做 圓弧，簡(jiǎn)稱弧。弧用符號(hào)表示，以 A B為端點(diǎn)的弧記作AB,讀作“圓弧AB'或“弧AB'大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ㄓ萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧精選資料，歡迎下載等圓（3 ）圓心相同，半徑不同的兩個(gè)圓叫做|同心圓；圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做在同圓或

4、等圓中，能夠重合的弧叫做等弧提示：同圓是指同一個(gè)圓；等圓、同心圓是指兩個(gè)圓的關(guān)系，等圓是指能夠重合，圓心 不同的兩個(gè)圓 等弧必須是同圓或等圓中的弧，因?yàn)橹挥性谕瑘A或等圓中，兩條弧才可能互相重合，長(zhǎng) 度相等的弧不一定是等?。? ）頂點(diǎn)在圓心的角叫做|圓心角從圓心到弦的距離叫做|弦心距5、垂徑定理及其推論垂徑定理垂直與弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧如圖所示， CD是直徑,CD丄AB AE=BE, AC = BC , AD =BD若一條直線過(guò)圓心，垂直于一條弦，則此直線平分此弦平分此弦所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧推論|: （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并 且平分弦所對(duì)的兩條??；（2）弦的垂

5、直平分線經(jīng)過(guò)圓 心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 提示：（1）對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果以 過(guò)圓心垂直于弦平分弦平分弦所 對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的劣弧 這五個(gè)條件中任何兩個(gè)作為題設(shè)，那么其它三個(gè)就是結(jié)論rdAC（2）在應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu) 造如圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定 理有r2 =d2（a）2根據(jù)此公式，在a,r,d三個(gè)量中,2知道任何兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量6、圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓

6、心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組相等，那 么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等說(shuō)明：（1）注意在“同圓或等圓中”這個(gè)條件（2）注意理解“所對(duì)應(yīng)”的含義【典型例題】例1、下列語(yǔ)句中不正確的是（）直徑是弦；弧是半圓；經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一頂點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條弦；長(zhǎng)度相等的弧是等弧A. B. C. D.例2、由一已知點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離為5,最小距離為1,則圓的半徑為（）A、2 或 3 B 、3 C 、4 D 、2 或 4例3、在平面內(nèi)，O O的半徑為5cm,點(diǎn)P到圓心0的距離為3cm,則點(diǎn)P與O O的位置關(guān)玄阜系是 例 4、在 ABC中，/ACB=90 ,AC=2cm,BC=4cm,CM是 AB邊上

7、的中線，以點(diǎn) C 為圓心，J5cm為半徑作圓，則ABC M四點(diǎn)在圓外的有 ,在圓上的有 在圓內(nèi)的有.ODL AB,OE± AC垂足分別為 D、E,例5、在O 0中，AB AC為互相垂直且相等的兩條弦,若AC=2cm則O 0的半徑為 cm例6、如下圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O, E、F、G H分別為邊 AB BCCD DA的中點(diǎn)，那么 E、F、G H是否在同一個(gè)圓上?例7、如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）, OP的半徑為5,且OP與x軸交于點(diǎn)A B,與y軸交于點(diǎn)C、D,試求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo).例8海軍部隊(duì)在燈塔 A的周圍進(jìn)行爆破作業(yè)，A的周圍3km的水域?yàn)槲ｋU(xiǎn)水域，有

8、一漁船誤入離燈塔2km的某處B,為了盡快駛離危險(xiǎn)區(qū)域，該船應(yīng)按什么方向航行？請(qǐng)給予證例9、矩形的四個(gè)頂點(diǎn)是否能在同一個(gè)圓上，若在同一個(gè)圓上，請(qǐng)你指出來(lái)并加以證明例10、已知O O的直徑為10cm,弦AB=6cm求圓心 O到弦AB的距離.例11、在直徑為650mm的圓柱形油槽中裝入一些油后,求油的最大深度【經(jīng)典練習(xí)】1 .下列命題中錯(cuò)誤的命題有（）（1）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3） ?梯形的對(duì)角線互相平分；（4）圓的對(duì)稱軸是直徑.A . 1個(gè) B . 2個(gè)C . 3個(gè) D . 4個(gè)2點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,4）,貝U點(diǎn)B在以A為圓心,6為半徑的圓的

9、 3.已知O O的半徑為6cm,P為線段OA的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在O O上，則OA的長(zhǎng)（）A.等于6cm B. 等于12cm;C. 小于6cm D. 大于12cm4 .半徑為5的OO內(nèi)有一點(diǎn)P,且OP=4則過(guò)點(diǎn)P的最短弦長(zhǎng)是 ，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng) 5 .如圖1,已知O O的半徑為5,弦AB=8,P是弦AB上任意一點(diǎn)，則OP?的取值范圍是 （1）6 .如圖2, O O的直徑AB垂直于弦CD垂足為E,若/ COD=120 , OE=3厘米，貝U OD=?_cmcm.8.如圖3，同心圓中，大圓的弦 AB交小圓于C、D,已知 AB=4, CD=2 AB?的弦心距等于7. 如圖3, AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點(diǎn)，E是弧AC的中點(diǎn)，OE交弦AC于D,若AC=8cm DE=2cm貝U OD的長(zhǎng)為1,那么兩個(gè)同心圓的半徑之比為（A. 3: 2 B .、, 5 : 2 CB9. 如圖4, AB是O O的直徑，CD為弦，CDLAB于E,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.Z CO