1、文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.習題1.1解答1 .將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A,B,C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件AB,C中的樣本點。解：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）A（正，正），（正，反）；B（正，正），（反，反）C（正，正），（正，反），（反，正）2 .在擲兩顆骰子的試驗中，事件A,B,C,D分別表示“點數(shù)之和為偶數(shù)”，“點數(shù)之和小于5”，“點數(shù)相等”，“至少有一顆骰子的點數(shù)為3”。試寫出樣本空間及事件AB,AB,AC,BC,ABCD中的樣本點。解：(1,1),(1,2),(

2、1,6),(2,1),(2,2),(2,6),(6,1),(6,2),(6,6)；AB(1,1),(1,3),(2,2),(3,1);AB(1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；AC;BC(1,1),(2,2)；ABCD(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)A,B,C表示以下事件：(1)(3)(5)(7)(9)只訂閱日報； 只訂一種報； 至少訂閱一種報； 至多訂閱一種報； 三種報紙不全訂閱3 .以A,B,C分別表示某城市居民訂閱日報、晚報和體育報。試用（2）只訂日報和晚報；（4）正好

3、訂兩種報；（6）不訂閱任何報；（8）三種報紙都訂閱;解：(1)ABC;(2)ABC;(3)ABCABCABC;4 4)ABCABCABC;(5)ABC;(6)ABC;(7)ABCABCABCABC或AbACBC(8)ABC;(9)ABC4 .甲、乙、丙三人各射擊一次，事件Ai,A2,A3分別表示甲、乙、丙射中。試說明下列事件所表示的結果：A2,A2A3,A1A2,A1A2,A1A2A3,AA2A2A3A1A3.解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。5 .設事件A,B,C滿足ABC,試把

4、下列事件表示為一些互不相容的事件的和:ABC,ABC,BAC.解：如圖：6 .若事件A,B,C滿足ACBC,試問AB是否成立？舉例說明。11文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.解：不一定成立。例如：A那么，ACBC,但A7.對于事件A,B,C,試問A解：不一定成立。那么A(BC)例如：AB。(BC)3,4,5,B(AB)4,5,6C是否成立？舉例說明。,C6,7,8.設P(A)解:(1)(2)(3)(1)ABP(BA)P(BA)P(BA)9.已知P(A)3,但是(AB)C3,6,7。P(B)1,試就以下三種情況分別求P(BA)：(2)AB,(3)P(AB)P(BP(BP(BP(B)

5、A,B,C全不發(fā)生的概率。解:=1P(ABC)P(A)P(B)11110.AB)P(B)P(AB)A)AB)P(B)P(B)P(C)4,1P(A)6P(AB)P(AC)P(BC)3O812,P(AB)0求事件P(C)0-16P(AB)-016每個路口有紅、綠、黃三色指示燈,車經(jīng)過三個路口，試求下列事件的概率:“全綠”C“全黃”；DP(ABC)P(AC)P(BC)38P(ABC)假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎A“三個都是紅燈”=“全紅”；B“無紅”；E“無綠”；F“三次顏色相同”；解:G“顏色全不相同”；“顏色不全相同”。P(A)P(B)P(C)P(F)1廚P(D)P(E)8277'

6、;P(H)2727271P(F)；P(G)3!3311.設一批產(chǎn)品共種情況：一次拿3件;次)，試求:100件，其中98件正品,每次拿1件，取后放回拿(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;2件次品，從中任意抽取3件(分三3次；每次拿1件，取后不放回拿3(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：C2C1(1)P0.0588；(2)C1300每次拿一件，取后放回，拿3次：C2c98C1300CC80.0594；2982(1)P9831003每次拿一件，取后不放回,0.0576；(2)98330.0588;10033次:(1)P298971009998(989796110099980

7、.0588；0.059412.從0,1,2,9中任意選出3個不同的數(shù)字，試求下列事件的概率:A三個數(shù)字中不含解：0與5,A2三個數(shù)字中不含0或5。P(A)POC；C302C3715；c；C3014、/c8一或P(A2)1315C；0141513.從0,1,2,9中任意選出4個不同的數(shù)字,計算它們能組成一個4位偶數(shù)的概率。解：P5P934P82419014.一個宿舍中住有6位同學，計算下列事件的概率:(1)6人中至少有1人生日在10月份;(2)6人中恰有4人生日在10月份;(3)解：6人中恰有4人生日在同一月份;(1)P1161260.41；(2)P»0.00061；12(3)PC11

8、2C641121260.007315.從一副撲克牌(52張)任取3張(不重復)，計算取出的3張牌中至少有2張花色相同的概率。解：13121P一3413390.602或P1C52C31114C13C13C13C520.602習題1.2解答1.假設一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,從中任取一件，結果不1,2,3P(Ai A3)P(AA) P(Ai)P(A3)P(A3)0.60.9是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令a"取到的是i等品”，i從中任取2件，已知所取2件產(chǎn)品中有1件不合2.設10件產(chǎn)品中有4件不合格品,格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令a"

9、兩件中至少有一件不合格“兩件都不合格”P(B)_1 p(A)P(AB)P(B|A)P(A)3.為了防止意外,在礦內同時裝有兩種報警系統(tǒng)I和IIO兩種報警系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)I和II有效的概率分別0.92和0.93,在系統(tǒng)I失靈的條件下，系統(tǒng)II仍有效的概率為0.85,求(1)兩種報警系統(tǒng)I和II都有效的概率；(2)系統(tǒng)II失靈而系統(tǒng)I有效的概率；(3)在系統(tǒng)II失靈的條件下，系統(tǒng)I仍有效的概率。解：令A "系統(tǒng)(I)有效”“系統(tǒng)(n)有效”則 P(A) 0.92, P(B)P(AB)P(B0.93, P(B | A) 0.85AB) P(B) P(AB)(2)P(BA)P(B)P(A

10、P(A)P(B|A) 0.93 (1 0.92) 0.85 0.862AB)P(A) P(AB) 0.92 0.862 0.058(3)p(a|b)P(AB)P(B)0.0580.82861 0.93P(B|A) P(B|A) 0 P(A)又 P(B| A)4.設0P(A)1,證明事件A與B獨立的充要條件是證：:A與B獨立，A與B也獨立。P(B),P(B|A)P(B)P(B|A)_10p(A)1迪P(B|A)年P(A)P(A)而由題設P(B|A) P(B|A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)即1P(A)P(AB)P(A)P(B)P(AB)B發(fā)生的概率都P(AB)P(A)P(B),故A與B獨

11、立。5.設事件A與B相互獨立，兩個事件只有A發(fā)生的概率與只有是工，求P(A)和P(B).4_1解：P(AB)P(AB)一,又A與B獨立41P(AB)P(A)P(B)1P(A)P(B)41P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(B)421P(A)P(B),P(A)P(A)-4r1即P(A)P(B)一26 .證明若P(A)>0,P(B)>0,則有(1)當A與B獨立時，A與B相容；(2)當A與B不相容時，A與B不獨立。證明：P(A)0,P(B)0(1)因為A與B獨立，所以P(AB)P(A)P(B)0,A與B相容。(2)因為P(AB)0,而P(A)P(B)0,P(AB)P(A)P(B),A

12、與B不獨立。7 .已知事件A,B,C相互獨立，求證AB與C也獨立。證明：因為A、B、C相互獨立，P(AB)CP(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(AB)P(C)P(AB)P(C)AB與C獨立。8 .甲、乙、丙三機床獨立工作，在同一段時間內它們不需要工人照顧的概率分別為0.7,0.8和0.9,求在這段時間內，最多只有一臺機床需要工人照顧的概率。解：令A1,A2,A3分別表示甲、乙、丙三機床不需要工人照顧，那么P(Ai)07P(A2)0.8,P(A3)0.9令B表示最多有一臺機床需要工人照顧，那么P(B)P(A1A

13、2A3A1A2A3AA2A3A1A2A3)P(AA2A3)P(A1A2A3)P(AA2A3)P(AA2A3)0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.1p(0 p 1),(稱為元件的可0.9029 .如果構成系統(tǒng)的每個元件能正常工作的概率為靠性)，假設各元件能否正常工作是相互獨立的，計算下面各系統(tǒng)的可靠性。系統(tǒng)I解:A12n+2“系統(tǒng)作B2P(Ai)那么P(A)“第i個元件正卻而卜iP,A1,A2, A2n 相互獨立。4,?,n+2, 2nn2n2nP (A1A2An)(An1 An 2A2n )(A1A2nP(A) i 1 2Pn P2nAn)2nP(A)P(B)

14、 P(A1 Anni n 1Pn(21)(A2(An 1An 2A2n)P(AAzAzn)2nP(A)i 1Pn)An 2)(AnA2n )P(AAni)2P P2 Pn(2 P)n注：利用第7題的方法可以證明(Ai An i )與(Aj An j ) i j時獨立。張，求P(A)P(Ani)P(A)P(Ai)10 .10張獎券中含有4張中獎的獎券，每人購買(1)前三人中恰有一人中獎的概率；(2)第二人中獎的概率。解：令Ai"第i個人中獎”，i1,2,3P(AA2A3A1A2A3AA2A)P(AA2A3)P(A1A2A3)P(A,A2A3)P(A)P(A21 A)P(A3 1AA2)

15、P(A)P(A2| A)P(A31A1A2)6 5 _6 5 4 6_ 410 9 8 10 9 8 10 9P(Ai)P(A2 |A)P(A3 1AA2)12c：cC30(2)P(A2)P(Ai)P(A2 | Ai)p(Ai)p(A2 I A)10 9 10 9511.在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出95%的真實患者，但也有可能將 10%的人誤診。根據(jù)以往的記錄，每 10 000人中有4人患有肝癌,試求:(1)某人經(jīng)此檢驗法診斷患有肝癌的概率；(2)已知某人經(jīng)此檢驗法檢驗患有肝癌，而他確實是肝癌患者的概率。 解：令B"被檢驗者患有肝癌”，A“用該檢驗法診斷被檢驗

16、者患有肝癌”那么，P(A|B) 0,95,P(A| B) 0,10, P(B) 0.0004(1) P(A) P(B)P(A|B) P(b)P(A| B) 0.0004 0.95 0.9996 0.1 0.10034(2) P(B| A)P(B)P(A | B)P(B)P(A| B) P(b)P(A| B)0.0004 0.950.0004 0.95 0.9996 0.10.003812 . 一大批產(chǎn)品的優(yōu)質品率為 30%,每次任取1件，連續(xù)抽取5次，計算下列事件的概率：(1)取到的5件產(chǎn)品中恰有2件是優(yōu)質品;(2)在取到的5件產(chǎn)品中已發(fā)現(xiàn)有 1件是優(yōu)質品，這5件中恰有2件是優(yōu)質品解：令Bi&

17、quot;5件中有i件優(yōu)質品”，i 0,1,2,3,4,5(1) P(B2) c；(0.3)2(0,7)3 0.30875_(2) P(B2 I Bi) P(B2|B0)i 1P(B2B0)P(b0)P(B2)1 P(B。)0.3087_51 (0.7)0.37113.每箱產(chǎn)品有10件，其次品數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中任取1件，如果檢驗是次品，則認為該箱產(chǎn)品不合格而拒收。假設由于檢驗有誤，1件正品被誤檢是次品的概率是2%,1件次品被誤判是正品的概率是5%,試計算:(1)抽取的1件產(chǎn)品為正品的概率;(2)該箱產(chǎn)品通過驗收的概率。解：令A“抽取一件產(chǎn)品為正品”Ai“箱中有i件次品”，i

18、0,1,2B“該箱產(chǎn)品通過驗收”22110i(1) P(A)P(A)P(A|Ai)0.9i0i0310(2) P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.90.980.10.050.88714 .假設一廠家生產(chǎn)的儀器，以概率0.70可以直接出廠，以概率0.30需進一步調試，經(jīng)調試后以概率0.80可以出廠，并以概率0.20定為不合格品不能出廠?，F(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n2)臺儀器(假設各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立)，求：(1)全部能出廠的概率；(2)其中恰有2件不能出廠的概率；(3)其中至少有2件不能出廠的概率。解：令A“儀器需進一步調試”；B“儀器能出廠”A“儀器能直接出廠”；AB“儀器經(jīng)調試

19、后能出廠”顯然BAAB,那么P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)PA)P(B|A)0.30.80.24所以P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令Bi“n件中恰有i件儀器能出廠”，i0,1,n(1) P(Bn)(0.94)n(2) P(Bn2)Cn2(0.94)n2(0.06)2C：(0.94)n2(0.06)2(3) P(Bk)1P(Bn1)P(Bn)1C：0.06(0.94)n1(0.94)15 .進行一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率均為p,試求以下事件的概率：(1)直到第r次才成功；(2)第r次成功之前恰失敗k次；(3)在n次中取得r(1rn)次成功；(4)直到第n次

20、才取得r(1rn)次成功。解：r1(1) Pp(1p)r1(2) PC；小(1p)k(3)PC；pr(1p)nr(4)PC"pr(1p)nr16.對飛機進行3次獨立射擊，第一次射擊命中率為0.4,第二次為0.5,第三次為0.7.擊中飛機一次而飛機被擊落的概率為0.2,擊中飛機二次而飛機被擊落的概率解:為0.6,若被擊中三次，則飛機必被擊落。求射擊三次飛機未被擊落的概率。令Ai“恰有i次擊中飛機”，i0,1,2,3B“飛機被擊落”顯然：P(Ao)P(A)(1 0.4)(1 0.5)(10.4 (10.360.5) (10.7) 0.090.7) (1 0.4) 0.5 (1 0.7)

21、(1 0.4) (1 0.5) 0.7P(A2)0.40.5(1 0.7)0.4 (10.5) 0.7(1 0.4) 0.5 0.7P(A3)0.410.4而 P(B | A0)所以0.50,0.7 0.14P(B | A1)0.2,P(B|A2)0.6,P(B| A3)P(B)3P(Ai)P(B|AJi 00.458 ;P(B) 1P(B)1 0.4580.5421.設X為隨機變量，且習題1.3解答P(X k) 2k (k1,2,，則(1)判斷上面的式子是否為X的概率分布;解:(2)若是,試求P(X為偶數(shù))和P(X 5).令P(Xk)Pk1,2,(1)顯然0 pkpkk 1k 112k所以P

22、(Xk)且12112k,k1,2,為一概率分布。(2) P(X為偶數(shù)P2kk 1 22k1414P(X 5)Pk2.設隨機變量x的概率分布為 P(X k)116(，(k1,2,)，且文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持圖 1.3.811文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.解:c e k 1 k!1,e o k!1,(1 e的。求某學生靠猜測能答對至少4道題的概率是多少？1解：因為學生靠猜測答對每道題的概率為p 1,4的獨立重復試驗。P(X 4) C；(；)4 3 C；(55(：)0ln 2P(X 1)e0!3.設一次試驗成功的概率為p(0p1),不斷進行重復

23、試驗，直到首次成功為止。用隨機變量X表示試驗的次數(shù)，求X的概率分布。解：P(Xk)p(1p)k1,k1,2,4.設自動生產(chǎn)線在調整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,當生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調整，X代表在兩次調整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求(1)X的概率分布；P(X5)。解：(1) P(Xk)(1p)kp(0.9)k0.1,k0,1,2,k5(2) P(X5)P(Xk)(0.9)0.1(0.9)k5k55 .一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中有1個答案是正確“、口人1所以這是一個n5,p41646 .為了保證設備正常工作，需要配備適當數(shù)量的維修人員。根據(jù)經(jīng)驗每臺設備發(fā)生故障的概

24、率為0.01,各臺設備工作情況相互獨立。(1)若由1人負責維修20臺設備，求設備發(fā)生故障后不能及時維修的概率；(2)設有設備100臺，1臺發(fā)生故障由1人處理，問至少需配備多少維修人員，才能保證設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率不超過0.01?解：2019(1) 1(0.99)200.01(0.99)0.0175(按Poisson(泊松)分布近似)(2) n100,np1000.011(按Poisson(泊松)分布近似)100100kk1kk100k1eP(XN1)C100(0.01)(0.99)0.01kN1kN1k!查表得N47 .設隨機變量X服從參數(shù)為的Poisson(泊松)分布，且P(X0

25、)1,求(1) ；(2)P(X1).01解：P(X0)e-,0!2P(X1)1P(X1)1P(X0)1111111n21(1ln2)2228 .設書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從Poisson(泊松)分布。經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率。解： P(X 1) P(Xi2),即一e 1!一 e2!P (X0)P (e 2)42e8e9 .在長度為的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)服從參數(shù)為的Poisson分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計)，求(1)某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)

26、某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率；9.在長度為t的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為-A的Poisson(泊松)分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計).求(1)某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率；解：3(1) t3,P(X2一5(2) t5,P(X20)1)51 P(X 0) 1 e W10.已知X的概率分布為:-2-101232a3aaa2a試求(1)a；(2)YX21的概率分布。解：1(1) 2a3aaa2a110一1a-。101x21(2)f(x)-x601212X1,0)

27、x0,3)其它(3)P(2X2)11(x)dx12211x)dx62111212.設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為試確定常數(shù)a并求P(X解：令f(x)dx6).a即sinxdx10cosx1,即cosa0,aP(X6)2sinxdxcosx|26,3213.乘以什么常數(shù)將使x變成概率密度函數(shù)？解：令x2cexdx(X試求14.解:f(x)2)21e4dx隨機變量XN(,2),其概率密度函數(shù)為f(x)2x1e-4x4二(2；若已知Cf(x)dxf(x)dx,求C.1e.64x46.23e(x2)22(3)2文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持若f(x)dxf(x)dx,由正

28、態(tài)分布的對稱性c可知c2.15 .設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為以Y表示對X的三次獨立重復試驗中“X-”出現(xiàn)的次數(shù)，試求概率P(Y2)._1解：P(X 1)12xdx-o4_ 2 1 2 3P(Y 2) 3 9964F(x) +13文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯116 .設隨機變量X服從1,5上的均勻分布，試求P(x1Xx2).如果(1)x11x25；(2)1x15x2.解：X的概率密度為(1) P(x1 X x2)(2) P(x1 X x2)f(x)x21dx14dx均44 , 1 x 50 , 其他*2 1)41-(5 x1)417. 設顧客排隊等待服務的時間X (以分計)

29、服從待服務，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要去等待服務1的指數(shù)分布。某顧客等55次，以Y表示一個月內他未等到服務而離開的次數(shù)，試求Y的概率分布和P(Y 1).解：P(X 10) 1 P(X 10) 1 1P(Y k) C；(e2)k(1 e2)5k,k100,1,2,3,4,5_2 5_P(Y 1) 1 (1 e )0.5167習題1.4解答1.已知隨機變量 X的概率分布為 P(X 1) 0.2, P(X 2) 0.3,P(X 3) 0.5 ,試求X的分布函數(shù)；P(0.5 X 2)；畫出F(x)的曲線。解：F(x)00.20.5,x 1,1x2,2x3P(0.5 X 2) 0.5F(x)曲

30、線：文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.2.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為試求：(1)X的概率分布；(2)P(X2|X1).解：(1) P(X 2|X1)P(X 1)2P(X 1)325文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word版本可編輯.3.從家到學校的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的概率是相互獨立的，且概率均是0.4,設X為途中遇到紅燈的次數(shù)，試求(DX的概率分布;(2) X的分布函數(shù)解:(1)P(Xk)C；(2)k(3)3k,k0,1,2,355列成表格4.F(x)解:F(x)027125811251171251x00x11x22x3x3試求習題1.3中第11題X的分布函數(shù)，并畫出12一x121x11x00x3x35.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為試求：(1)A,B的值；(2)P(1X解：(1)F()lim(ABe2x)1x又lim(ABe2x)F(0)0x0F(x)的曲線。1);(3)概率密度函數(shù)A1BA1f(x)(2)P(1X1)FF(1)(3)f(x)F'(x)2e2x6.試確定解：又又設X為連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為F(x)中的a,b,c