1、湖南省長(zhǎng)沙市一中2011屆高三第六次月考數(shù)學(xué)（理）試題長(zhǎng)沙市一中高三理科數(shù)學(xué)備課組組稿命題人：胡雪文審題人：李湘斌(考試范圍：集合與邏輯、算法、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列、推理與證明、不等式、計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理、概率與統(tǒng)計(jì)、直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體、空間向量)本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共8頁(yè)。時(shí)量120分鐘。滿分150分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若Mx|x1|<2，Nx|x(x3)<0，則MNA.x|0<x<3 B.x|1<x<2 C.x|1&l

2、t;x<3 D.x|1<x<02.已知函數(shù)f(x)sin(2x)，若存在(0，)，使得f(x)f(x3)恒成立，則的值是A. B. C. D.3.已知，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，又知m，且n，n，則“nm”是“n且n”的A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.6名同學(xué)安排到3個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍兩人，其中甲必須在一號(hào)宿舍，乙和丙均不能到三號(hào)宿舍，則不同的安排方法種數(shù)為A.6 B.9 C.12 D.185.若f(x)f1(x)，fn(x)fn1f(x)(n2，nN*)，則f(1)f(2)f(n)f1(1)f2(1)fn(1)A

3、.n B. C. D.16.已知m是一個(gè)給定的正整數(shù)，如果兩個(gè)整數(shù)a，b被m除得的余數(shù)相同，則稱a與b對(duì)模m同余，記作ab(modm)，例如：513(mod4).若22010r(mod7)，則r可以為A.2008 B.2009 C.2010 D.20117.在ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，則PBC與ABC的面積之比是A. B. C. D.8.若函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x2)f(x)，且x(1,1時(shí)，f(x)1x2，函數(shù)g(x)，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,10內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.12 B.14 C.13 D.8二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題

4、卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.9.已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a的值是.10.若x1，x2，x3，x2009，x2010的方差是2，則3(x11),3(x21)，3(x20091),3(x20101)的方差是.11.已知某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則在下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形為(填你認(rèn)為正確的圖序號(hào))12.已知函數(shù)f(x)x2ax2b.若a，b都是區(qū)間0,4內(nèi)的數(shù)，則使f(1)>0成立的概率是.13.某機(jī)構(gòu)對(duì)小學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)的情況進(jìn)行調(diào)查，設(shè)每個(gè)學(xué)生平均每天作業(yè)的時(shí)間為x(單位：分鐘)，且xN(60,100)，已知P(x50)0.159.現(xiàn)有1000名小學(xué)生接受了此項(xiàng)調(diào)查，

5、下圖是此次調(diào)查中某一項(xiàng)的流程圖，則輸出的結(jié)果大約是.14.已知關(guān)于x的方程9x(4a)·3x40有兩個(gè)實(shí)數(shù)解x1，x2，則的最小值是.15.對(duì)有10個(gè)元素的總體1,2,3，10進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體A1,2,3,4和B5,6,7,8,9,10，再?gòu)腁和B中分別隨機(jī)抽取2個(gè)元素和3個(gè)元素組成樣本，用Pij表示元素i和j同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率，則P15，所有Pij(1i<j10)的和等于.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.(本小題滿分12分)已知向量m(sin，1)，n(cos，cos2)，f(x)m·n.(1)

6、若f(x)1，求cos(x)的值；(2)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c且滿足acosCcb，求函數(shù)f(B)的取值范圍.17.(本小題滿分12分)在高三年級(jí)某班組織的歡慶元旦活動(dòng)中，有一項(xiàng)游戲規(guī)則如下：參與者最多有5次抽題并答題的機(jī)會(huì).如果累計(jì)答對(duì)2道題，立即結(jié)束游戲，并獲得紀(jì)念品；如果5次機(jī)會(huì)用完仍未累計(jì)答對(duì)2道題，也結(jié)束游戲，并不能獲得紀(jì)念品.已知某參與者答對(duì)每道題答對(duì)的概率都是，且每道題答對(duì)與否互不影響.18.(本小題滿分12分)如圖，在體積為1的三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC，ACAA11，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：CA1C1P；(2)

7、當(dāng)AP為何值時(shí)，二面角C1PB1A1的大小為？19.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)x2axlnx(aR).(1)求函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值的充要條件；(2)當(dāng)函數(shù)f(x)在，2上單調(diào)時(shí)，求a的取值范圍.20.(本小題滿分13分)某旅游景區(qū)的觀景臺(tái)P位于高(山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO)為2km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且PAB為等腰三角形.山坡面與山腳所在水平面M所成的二面角為(0°90°)，且sin.現(xiàn)從山腳的水平公路AB某處C0開始修建一條盤山公路，該公路的第一段、第二段、第三段，第n1段依次為C0

8、C1，C1C2，C2C3，Cn1Cn(如圖所示)，且C0C1，C1C2，C2C3，Cn1Cn與AB所成的角均為，其中090°，sin.試問(wèn)：(1)每修建盤山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盤山公路至半山腰(高度為山高的一半)，在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建(與山坡面平行，離坡面高度忽略不計(jì))，問(wèn)盤山公路的長(zhǎng)度和索道的長(zhǎng)度各是多少？(2)若修建xkm盤山公路，其造價(jià)為 a萬(wàn)元.修建索道的造價(jià)為2a萬(wàn)元/km.問(wèn)修建盤山公路至多高時(shí)，再修建上山索道至觀景臺(tái)，總造價(jià)最少.21.(本小題滿分13分)已知正項(xiàng)數(shù)列an的首項(xiàng)a1，函數(shù)f(x)，g(x).(1)

9、若正項(xiàng)數(shù)列an滿足an1f(an)(nN*)，證明：是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若正項(xiàng)數(shù)列an滿足an1f(an)(nN*)，數(shù)列bn滿足bn，證明：b1b2bn<1；(3)若正項(xiàng)數(shù)列an滿足an1g(an)，求證：|an1an|·()n1.數(shù)學(xué)(理科)參考答案故在區(qū)間5,0上共有5個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)x(0,10時(shí)，結(jié)合圖象知共有9個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,10上共有14個(gè)零點(diǎn).二、填空題9.110.1811.12.13.15914.2解：原方程可化為(3x)2(4a)·3x40，3x1·3x24，x1x22log32，x1x2(

10、log32)2.22.15.10解：(1)由題意有：P15.(2)當(dāng)1i<j4時(shí)，Pij，這樣的Pij共有C個(gè)，故所有Pij(1i<j4)的和為·61；當(dāng)5i<j10時(shí)，Pij.這樣的Pij共有C15個(gè)，故所有Pij(5i<j10)的和為·153；當(dāng)1i4,5j10時(shí)，Pij，這樣的Pij共有4·624，所有Pij(1i4,5j10)的和為24·6，綜上所述，所有Pij(1i<j10)的和等于13610.三、解答題16.解：(1)f(x)m·nsincoscos2sincossin()，而f(x)1，sin().(

11、4分)又x2()，cos(x)cos2()12sin2().(6分)(2)acosCcb，a·cb，即b2c2a2bc，cosA.又A(0，)，A.(10分)又0<B<，<<，f(B)(1，).(12分)17.解：(1)設(shè)“參與者獲得紀(jì)念品”為事件A，則P(A)1P()1()5C()4().(4分)故該參與者獲得紀(jì)念品的概率為.(5分)(2)的可能取值為2,3,4,5，P(2)()2；P(3)C··；P(4)C()2；P(5)C()()3C()4.(8分)故的分布列為 2345P(10分)E2×3×4×5

12、15;.(12分)18.解：(1)證明：AA1底面ABC，AA1AC，AA1AB.又ABAC，以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系.又VABCA1B1C1AB×AC×AA11，AB2.(2分)設(shè)APm，則P(0，m,0)，而C1(1,0,1)，C(1,0,0)，A1(0,0,1)，(1,0,1)，(1，m，1)，·(1)×(1)0×m1×(1)0，CA1C1P.(6分)(2)設(shè)平面C1PB1的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則，即.令y1，則n(2,1，m2)，(9分)而平面A1B1P的一個(gè)法向量(

13、1,0,0)，依題意可知cos，m2(舍去)或m2.當(dāng)AP2時(shí)，二面角C1PB1A1的大小為.(12分)19.解：(1)f(x)2xa(x>0)，f(x)既有極大值又有極小值方程2x2ax10有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根x1，x2.(3分)，a>2，函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值的充要條件是a>2.(6分)(2)f(x)2xa，令g(x)2x，則g(x)2，g(x)在，)上遞減，在(，2上遞增.(8分)又g()3，g(2)，g()2，g(x)max，g(x)min2.(10分)若f(x)在，2單調(diào)遞增，則f(x)0即ag(x)，a.若f(x)在，2單調(diào)遞減，則f(x)0，即ag(x

14、)，a2.所以f(x)在，2上單調(diào)時(shí)，則a2或a.(13分)20.解：(1)在盤山公路C0C1上任選一點(diǎn)D，作DE平面M交平面M于E，過(guò)E作EFAB交AB于F，連結(jié)DF，易知DFC0F.sinDFE，sinDC0F.DFC0D，DEDF，DEC0D，所以盤山公路長(zhǎng)度是山高的10倍，索道長(zhǎng)是山高的倍，所以每修建盤山公路1000米，垂直高度升高100米.從山腳至半山腰，盤山公路為10km.從半山腰至山頂，索道長(zhǎng)2.5km.(6分)(2)設(shè)盤山公路修至山高x(0x2)km，則盤山公路長(zhǎng)為10xkm，索道長(zhǎng)(2x)km.設(shè)總造價(jià)為y萬(wàn)元，則ya(2x)·2a(105x)a10a.令y5a0，則x1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，y0，函數(shù)y單調(diào)遞減；當(dāng)x(1,2)時(shí)，y>0，函數(shù)y單調(diào)遞增，x1，y有最小值，即修建盤山公路至山高1km時(shí)，總造價(jià)最小，最小值為15a萬(wàn)元.(13分)21.證明：