1、競賽考題分類匯編(二)方程和不等式1已知為整數(shù)，方程的兩根都大于1且小于0，求和的值。2某班參加一次智力競賽，共三題，每題或者得滿分或者得0分。其中題滿分20分，題、題滿分分別為25分。競賽結果，每個學生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的有15人，答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為29，答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為25，答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為20，問這個班的平均成績是多少分？3已知關于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有_個。  4某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了6.4，使得利潤率增加了8個百分點，那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤

2、率是_。（注：×100）5設是不小于的實數(shù)，使得關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。6求所有的正整數(shù)a，b，c，使得關于x的方程， 的所有的根都是正整數(shù)。7試確定一切有理數(shù)r，使得關于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整數(shù)根。8設m是整數(shù)，且方程3x2mx2=0的兩根都大于而小于，則m=_。9滿足等式x2003的正整數(shù)對的個數(shù)是。A.1B.2C.3D.410已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一個實數(shù)根，則ab的取值范圍為（ ）(A) (B) (C) (D) 11. 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整

3、數(shù)，求整數(shù)n的值。-18，-8，0，1012. x。13. a、b、c為實數(shù)，ac0，且，證明：一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根。14. 如果方程的兩根之差是1，那么p的值為（ ）（）2（）4（）（）15. 如果不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個不等式組的整數(shù)a、b的有序數(shù)對（a、b）共有（ ）（）17個（）64個（）72個（）81個16. 已知方程（其中a是非負整數(shù)），至少有一個整數(shù)根，那么a=_。17. 在本埠投寄平信，每封信質量不超過20g時付郵費0.80元，超過20g而不超過40g時付郵費1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費0.80元（信的質量在100g以

4、內(nèi)）。如果所寄一封信的質量為72.5g，那么應付郵費 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元18. 已知實數(shù)，且滿足，.則的值為（ ）.（A）23 （B） （C） （D）19. 如果x和y是非零實數(shù)，使得和，那么x+y等于（ ）. （A）3 （B） （C） （D）20. 實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，則z的最大值是 .21. 已知a，b是實數(shù)，關于x，y的方程組有整數(shù)解，求a，b滿足的關系式.22. 已知p，q都是質數(shù)，且使得關于x的二次方程x2(8p10q)x5pq=0至少有一個正整數(shù)根，求所有的質數(shù)對(p，q).23. 8人乘速

5、度相同的兩輛小汽車同時趕往火車站，每輛車乘4人(不包括司機)。其中一輛小汽車在距離火車站15km地方出現(xiàn)故障，此時距停止檢票的時間還有42分鐘。這時惟一可用的交通工具是另一輛小汽車，已知包括司機在內(nèi)這輛車限乘5人，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。試設計兩種方案，通過計算說明這8個人能夠在停止檢票前趕到火車站。24. 正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿ABCDEA方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分那么出發(fā)后經(jīng)過 分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上25. 某商店出售A、B、C三種生日賀卡，已知A

6、種賀卡每張0.5元，B種賀卡每張1元，C種賀卡每張2.5元營業(yè)員統(tǒng)計3月份的經(jīng)營情況如下：三種賀卡共售出150張，營業(yè)收入合計180元則該商店3月份售出的C種賀卡至少有 張答案：1  解：根據(jù)函數(shù)的圖象和題設條件知：當時，；當時，。拋物線頂點的橫坐標滿足，。，即，由、得，若，則由、得且，得；若，則且，無整數(shù)解；若，則且，無整數(shù)解；若，則且，無整數(shù)解；故所求的值為2解：設分別表示答對題、題、題的人數(shù)，則有，答對一題的人數(shù)為371×32×154，全班人數(shù)為141520，平均成績?yōu)椤?5。當時，；當時，易知是方程的一個整數(shù)根，再由且是整數(shù)，知，；由、得符合條件的整數(shù)有5

7、個。4答：17。設原進價為元，銷售價為元，那么按原進價銷售的利潤率為×100，原進價降低6.4后，在銷售時的利潤率為×100，依題意得：×1008×100，解得1.17，故這種商品原來的利潤率為×10017。5解：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，。根據(jù)題設，有。（1）因為，即。由于，故。（2）。設上是遞減的，所以當時，取最大值10。故的最大值為10。7（1）若r=0，x=，原方程無整數(shù)根 （2）當r0時，x1+x2= x1x2= 消去r得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7 由x1、x2是整數(shù)得：r=，

8、r=184；由題設可知，解得。故9(B)；由已知等式可得而，所以，。故又因為2003為質數(shù)，必有或12解：分子有理化得：x0，兩邊平方化簡得：再平方化簡得：13. 解：設一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根.17. D因為20×3<72.5<20×4，所以根據(jù)題意，可知需付郵費0.8×4=3.2（元）18. 答：選（B） a、b是關于x的方程的兩個根，整理此方程，得， ， ，.故a、b均為負數(shù). 因此.19. 答：選（D）將代入，得.（1）當x>0時，方程無實根；（2）當x<0時，得方程解得，正根舍去，從而.于是.故.因此，結論（D）是在正確的.20. 答：解： ， x、y是關于t的一元二次方程的兩實根. ，即，. ，當時，.故z的最大值為.21. 解：將代入，消去a、b，得 ， （5分）.若x+1=0，即，則上式左邊為0，右邊為不可能. 所以x+10，于是.因為x、y都是整數(shù)，所以，即或0，進而y=8或0. 故 或 （10分）當時，代入得，；當時，代入得，.綜上所述，a、b滿足關系式是，或者，a是任意實數(shù).（15分）22. 23. 24. 答：104解：設甲走完x條邊時，甲、乙兩人第