1、 Matlab課題用matlab研究定點(diǎn)投籃命中率問題組長：易冬泉 組員：陳福林組員：龔向鵬1、 先只考慮球心對框心的點(diǎn)對點(diǎn)的投籃，合理假設(shè)，建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，用matlab解出出手速度和出手方向的范圍2、 然后考慮球的大小和框的大小進(jìn)行投籃，球入筐時(shí)可以偏離框心，在此基礎(chǔ)上建立模型，用matlab解出出手速度、角度及其最大偏值3、 最后針對實(shí)際情況，考慮空氣阻力，設(shè)阻力與速度成正比，比例系數(shù)不超過0.05，建立適當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ?，在用matlab解出出手速度和出手方向的范圍問題的求解：模塊1分析：不考慮籃球和籃筐的大小，不考慮空氣阻力大小的影響，從未出手時(shí)的球心P為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸為水平方向，y軸為

2、豎直方向，籃球在t=0時(shí)以出手速度v和出手角度投出，可視為質(zhì)點(diǎn)的斜拋運(yùn)動，其運(yùn)動方程為： 其中g(shù)是重力加速度，由此可得球心的運(yùn)動軌跡如下拋物線以x=L，y=H-h代入式，就得到了球心命中框心的條件可以看出，給定出手速度v和出手高度h，就有兩個(gè)滿足條件，而式有解的前提為：可解得：于是對于一定的出手高度h，使式等號成立的v為最小的出手速度球入籃筐處的入射角度為，可從下式得到：這里的導(dǎo)數(shù)由式計(jì)算代入后得對應(yīng)，有，設(shè)求解的代碼見附錄1表1 對于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度速度 高度 最大出手角1 最小出手角 對應(yīng)入框角1 對應(yīng)入框角28.0000 1.8000 62.4099 53.8

3、763 42.7925 20.92138.0000 1.8500 62.7779 54.8876 41.8430 20.49158.0000 1.9000 63.1174 55.8206 40.9188 20.14318.0000 1.9500 63.4330 56.6865 40.0156 19.86498.0000 2.0000 63.7281 57.4941 39.1300 19.64788.0000 2.0500 64.0054 58.2505 38.2594 19.48478.0000 2.1000 64.2670 58.9615 37.4017 19.36988.5000 1.80

4、00 67.6975 62.1726 37.5049 12.62508.5000 1.8500 67.8663 62.6922 36.7546 12.68708.5000 1.9000 68.0288 63.1884 36.0075 12.77538.5000 1.9500 68.1854 63.6632 35.2632 12.88828.5000 2.0000 68.3367 64.1179 34.5214 13.02408.5000 2.0500 68.4829 64.5541 33.7819 13.18118.5000 2.1000 68.6244 64.9729 33.0444 13.

5、35839.0000 1.8000 71.0697 67.1426 34.1327 7.65509.0000 1.8500 71.1736 67.4756 33.4473 7.90359.0000 1.9000 71.2749 67.7974 32.7614 8.16639.0000 1.9500 71.3736 68.1086 32.0750 8.44289.0000 2.0000 71.4700 68.4098 31.3881 8.73219.0000 2.0500 71.5641 68.7014 30.7006 9.03389.0000 2.1000 71.6561 68.9840 30

6、.0127 9.3472注：速度單位均為m/s，高度單位均為m，角度單位均為模塊2分析：BADO 圖2 圖3考慮籃球和籃筐的大小，如圖2，若入射角太小，則球無法入筐。由圖不難看出，球心命中筐心的條件為 （8）將=24.6cm，=45.0cm 代入得>。由此對表1進(jìn)行篩選，可得下表：表2.1 對于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度速度v高度h出手角度入射角度8.00001.800062.409942.79258.00001.850062.777941.84308.00001.900063.117440.91888.00001.950063.433040.01568.00002.0

7、00063.728139.13008.00002.050064.267037.40178.00002.100064.267037.40178.50001.800067.697537.50498.50001.850067.866336.75468.50001.900068.028836.00758.50001.950068.185435.26328.50002.000068.482935.26328.50002.050068.482933.78199.00001.800071.069734.13279.00001.850071.173633.4473由圖3看出，球入筐時(shí)球心可以偏前（偏后與偏前一

8、樣）的最大距離為 = （9） 在（2）式中，用代入，可得 （10）對求導(dǎo)并令，就有 （11）用近似代替左邊導(dǎo)數(shù)，即可得到出手角度的偏差與的以下關(guān)系 （12）由和已經(jīng)得到的也可以求得相對偏差。類似的，（10）式對求導(dǎo)并令，可得出手速度允許的最大偏差 （13）由（12）和（13）式的相對偏差為 （14）編程實(shí)現(xiàn)見附錄2計(jì)算結(jié)果表2.2：出手角度和出手速度最大偏差出手速度v高度h出手角度a偏差aa偏差vv相對偏差|aa/a|相對偏差|vv/v|8.00001.800062.4099-0.76520.05280.00660.01231.850062.7779-0.74920.05480.00690.0

9、1191.900063.1174-0.73490.05670.00710.01161.950063.4330-0.72190.05850.00730.01142.000063.7281-0.71000.06010.00750.01112.050064.0054-0.69890.06160.00770.01092.100064.2670-0.68870.06300.00790.01078.50001.800067.6975-0.56030.06940.00820.00831.850067.8663-0.55520.07050.00830.00821.900068.0288-0.55030.071

10、50.00840.00811.950068.1854-0.54560.07250.00850.00802.000068.3367-0.54110.07340.00860.00792.050068.4829-0.53670.07430.00870.00782.100068.6244-0.53240.07520.00880.00789.00001.800071.0697-0.45700.08030.00890.00641.850071.1736-0.45420.08110.00900.00641.900071.2749-0.45150.08180.00910.00631.950071.3736-0

11、.44890.08250.00920.00632.000071.4700-0.44630.08320.00920.00622.050071.5641-0.44370.08390.00930.00622.100071.6561-0.44130.08450.00940.0062模塊3分析：投球示意圖如圖分別為不考慮球和球框和考慮球和球框的大小的示意圖 由于阻力與速度成正比，故有： 水平方向由牛頓第二定律有： 聯(lián)立上面兩式，有： 初始條件： 水平方向速度的初條件：綜上（17）（19）式，即可建立二次微分方程，為解決這個(gè)方程，采用如下代碼：syms x y v t theta kx =v*t*cos(

12、theta) y=dsolve('m*D2x+k*Dx=0','x(0)=0','Dx(0)=v*cos(theta)','t')y =v*cos(theta)/k-v*cos(theta)/k*exp(-k*t)簡化為：simple(y)simplify:ans =(1-exp(-k*t)*m*v*cos(theta)/k即：對進(jìn)行泰勒展開為：a=taylor(exp(-k*t),3)a =1-k*t+1/2*k2*t2將a代入(1-exp(-k*t)*v*cos(theta)/k得：(1-a)*v*cos(theta)/kan

13、s =(k*t-1/2*k2*t2)*v*cos(theta)/k擴(kuò)展得到：expand(ans)ans =v*cos(theta)*t-1/2*v*cos(theta)*k*t2即水平位移為L，豎直位移為（H-h）；即有：求解程序見附錄3 其結(jié)果為（結(jié)合了第二問）：表3 有無阻力時(shí)對應(yīng)的出手角度比較速度v/m/s 高度h/m出手角度/°無阻力時(shí)出手角度/°88.50 91.800060.786962.40991.850061.218362.77791.900061.610063.11741.950061.969363.4330262.301763.72812.050062

14、.611364.00542.100062.901264.26701.800066.571867.69751.850066.751667.86631.900066.924368.02881.950067.090468.1854267.250468.33672.050067.404868.48292.100067.554068.62441.800070.119771.06971.850070.227771.17361.900070.332871.27491.950070.435371.3736270.535271.47002.050070.632771.56412.100070.727971.65

15、61結(jié)果分析：1、速度一定時(shí)，出手高度越大，出手角度應(yīng)越大，但隨著速度的增加，高度對角度的影響變小，這種情形在1度左右；出手高度一定時(shí)，速度越大，出手角度也應(yīng)越大，速度的影響在79度左右。（見表1）2、出手角度和出手速度的允許偏差 總的來看，允許偏差都比較??；進(jìn)一步分析可知，出手高度一定，速度越大，角度的允許偏差越小，速度的允許偏差越大，且對角度的要求比對速度的要求嚴(yán)格，出手速度一定，高度越大，雖然也是高度的允許偏差越小，速度的允許偏差越大，但這時(shí)角度和速度的要求都相對較低（見表2.2）3、 考慮空氣阻力的影響對同樣的出手速度和高度，考慮阻力影響時(shí)出手角度要大一些，約12度（見表3）附錄1、第

16、一問代碼：% 對于出手速度v=8.09.0m/s和出手高度h=1.82.1m,由(3)式% 計(jì)算出手角度a1,a2,由(7)式計(jì)算出入射角度b1,b2,結(jié)果見表1clear;clc;H=3.05;h=1.8:0.05:2.1;L=4.6;g=9.8;input('高度 出手角1 出手角2 入框角1 入框角2');% v=sqrt(g*(H-h+sqrt(L*L+(H-L)2);for v=8.0:0.5:9.0; for h=1.8:0.05:2.1; %求球在出手時(shí)球心的出射角 a=atan(v.2/(g*L).*(1+sqrt(1-2*g./v.2.*(H-h+g*L2./

17、(2.*v.2); b=atan(v.2/(g*L).*(1-sqrt(1-2*g./v.2.*(H-h+g*L2./(2.*v.2); a11=max(a,b);a21=min(a,b); a1=180.*a11/pi;a2=180.*a21/pi; %求球入框時(shí)的入射角 b11=atan(tan(a11)-2.*(H-h)/L); b21=atan(tan(a21)-2.*(H-h)/L); b1=180.*b11/pi;b2=180.*b21/pi; R = v' h' a1' b1' a2' b2' endEnd2、 第二問代碼：代碼：%

18、 求出手時(shí)最大偏移距離 %求出手時(shí)最大偏移角D=0.45;d=0.246;H=3.05;L=4.6;g=9.8;input('出手速度 高度 出手角度 偏差a 偏差v 相對偏差a 相對偏差v'); for v=8.0:0.5:9 for h=1.8:0.05:2.1a1=atan(v.*v./(g.*L).*(1+sqrt(1-2.*g./(v.*v).*(H-h+g.*L.*L./(2.*v.*v); a=180.*a1/pi; b11=atan(tan(a1)-2.*(H-h)/L); b=180.*b11/pi; xx=D/2-d/sin(b11)/2;%xx為 aa1=(g*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1).*xx./L./(v.*v-g.*L.*tan(a1);%aa為 aa=aa1*180/pi; vv=(g.*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1).*xx.*v/(g*L2);%vv為 A2=v' h' a' aa' vv' (abs(vv./v)'