1、 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；1、已知函數(shù). () 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程; () 證明: 曲線y = f (x) 與曲線有唯一公共點.答案解:() f (x)的反函數(shù),則y=g(x)過點(1,0)的切線斜率k=.過點(1,0)的切線方程為:y = x+ 1() 證明曲線y=f(x)與曲線有唯一公共點

2、,過程如下.因此,所以,曲線y=f(x)與曲線只有唯一公共點(0,1).(證畢)2、已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)?shù)闹禃r,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.(1), 當(dāng)時,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值. 當(dāng)時,令,得,. ,;,. 所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 故在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上,當(dāng)時,函數(shù)無極小值; 當(dāng),在處取得極小值,無極大值. (2)當(dāng)時,. 直線:與曲線沒有公共點, 等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解,即關(guān)于的方程: (*) 在上沒有實數(shù)解. 當(dāng)時,方程(*)可化為,在上沒有實數(shù)解. 當(dāng)時,方程(*)化為. 令,則有. 令,得

3、, 當(dāng)變化時,的變化情況如下表:當(dāng)時,同時當(dāng)趨于時,趨于, 從而的取值圍為.所以當(dāng)時,方程(*)無實數(shù)解, 解得的取值圍是. 綜上,得的最大值為.3、已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 數(shù)的取值圍；（2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，數(shù)的取值圍解：（1）由題意在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立即恒成立，又，故的取值圍為（2）設(shè)，令得或由（1）知，當(dāng)時，在R上遞增，顯然不合題意當(dāng)時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即，解得綜上，所求的取值圍為4、已知函數(shù)是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間一1，1上的減函數(shù) (I)求a的值； (II

4、) 若在x一1，1上恒成立，求t的取值圍 ()討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)。解：（I）是奇函數(shù)，則恒成立.（II）又在1，1上單調(diào)遞減，令則. （III）由（I）知令，當(dāng)上為增函數(shù)；上為減函數(shù)，當(dāng)時，而，、在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，當(dāng)時，方程無解. 當(dāng)時，方程有一個根.當(dāng)時，方程有兩個根.5、.已知函數(shù)且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在（0，）的零點個數(shù)，并加以證明。（I）在上恒成立，且能取到等號在上恒成立，且能取到等號在上單調(diào)遞增（II）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增在上有唯一零點當(dāng)時，當(dāng)上單調(diào)遞減存在唯一使 得：在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減 得：時，時，在上有唯一零點 由得：函數(shù)在有兩個零點。6、已知函數(shù)在點處取得極小值4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，數(shù)的取值圍解：（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：，（2）設(shè)切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所數(shù)的圍為：7、已知（為常數(shù)）在時取得一個極值， （1）確定實數(shù)的取值圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)； （2）若經(jīng)過點A（2，c）（）可作曲線的三條切線，求的取值圍解：（1）函數(shù)在時取得一個極值，且，或時，或時，時，在上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)的的取值圍是（2）由（1）知設(shè)切點為，則切線的斜率，