1、【小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路大全】式題的巧解妙算 一1. 特殊數(shù)題 (1)21 12 當被減數(shù)和減數(shù)個位和十位上的數(shù)字(零除外 )交叉相等時，其差為被減數(shù)與減數(shù)十位數(shù)字的差乘以9 。因為這樣的兩位數(shù)減法，最低起點是21 12，差為9，即(2 1) X 9。減數(shù)增加1，其差也就相應(yīng)地增加了一個9，故31 13 = (3 1) X 9 = 18。減數(shù)從12 89，都可類推。被減數(shù)和減數(shù)同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍，常數(shù)9也相應(yīng)地擴大(或縮小)相同的倍數(shù)，其差不變。如210 120 = (2 1) X 90 = 90,0.65 0.56 = (6 5) X 0.09 = 0.09。(2) 31 X51個

2、位數(shù)字都是 1 ，十位數(shù)字的和小于 10 的兩位數(shù)相乘，其積的前兩位是十位數(shù)字的積，后兩位是十位數(shù)字的 和同 1 連在一起的數(shù)。假設(shè)十位數(shù)字的和滿 10，進 1。如證明：(10a + 1)(10b + 1)=100ab + 10a + 10b + 1=100ab + 10(a + b) + 1(3) 26 X 86 42 X 62個位數(shù)字相同，十位數(shù)字和是 10 的兩位數(shù)相乘，十位數(shù)字的積與個位數(shù)字的和為積的前兩位數(shù)，后兩位是個 位數(shù)的積。假設(shè)個位數(shù)的積是一位數(shù)，前面補 0。證明： (10a c)(10b c)=100ab + 10c(a + b) + cc=100(ab + c) + cc

3、(a + b = 10)。(4) 17 X19十幾乘以十幾，任意一乘數(shù)與另一乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以10，加個位數(shù)的積。原式=(17 + 9) X 10 + 7X 9 = 323證明： (10a)(10b)=100 + 10a + 10b + ab=(10 + a) + b X 10 + ab。(5) 63 X69十位數(shù)字相同，個位數(shù)字不同的兩位數(shù)相乘，用一個乘數(shù)與另個乘數(shù)的個位數(shù)之和乘以十位數(shù)字，再乘以10，加個位數(shù)的積。原式= (63+9)X6X10+3X9 =72X60+27=4347。證明： (10a + c)(10a + d)= 100aa + 10ac + 10ad + cd = 10

4、a(10a + c) + d + cd 。(6) 83 X87十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為 10，用十位數(shù)字加 1 的和乘以十位數(shù)字的積為前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的 積。如證明： (10a + c)(10a + d) =100aa + 10a(c + d)+ cd = 100a(a + 1)+ cd(c +d= 10)。(7) 38 >22十位數(shù)字的差是 1 ，個位數(shù)字的和是 10 且乘數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)相乘，積為被乘數(shù)的十位 數(shù)與個位數(shù)的平方差。原式=(30 + 8) > (30 8)=302 82 = 836。(8) 88 > 37被乘數(shù)首尾相同，乘數(shù)首尾

5、的和是 10 的兩位數(shù)相乘，乘數(shù)十位數(shù)字與 1 的和乘以被乘數(shù)的相同數(shù)字，是積的 前兩位數(shù)，后兩位是個位數(shù)的積。(9) 36 >15乘數(shù)是 15 的兩位數(shù)相乘。被乘數(shù)是偶數(shù)時，積為被乘數(shù)與其一半的和乘以 10 ；是奇數(shù)時，積為被乘數(shù)加上它本身減去 1 后的一半，和 的后面添個 5。=54 > 10 = 540。55> 15(10) 125 >101三位數(shù)乘以 101 ，積為被乘數(shù)與它的百位數(shù)字的和，接寫它的后兩位數(shù)。125 1 = 126 。原式= 12625 。再如 348 > 101 ，因為 348 3= 351 ，原式= 35148 。(11) 84 >

6、;49一個數(shù)乘以 49，把這個數(shù)乘以 100，除以 2，再減去這個數(shù)。原式=8400 - 2 84=420084=4116 。(12) 85 >99兩位數(shù)乘以9、99、999、。在被乘數(shù)的后面添上和乘數(shù)中9的個數(shù)一樣多的0、再減去被乘數(shù)。原式= 8500 85= 8415不難看出這類題的積：最高位上的兩位數(shù) (或一位數(shù) )，是被乘數(shù)與 1 的差；最低位上的兩位數(shù)，是 100 與被乘數(shù)的差；中間數(shù)字是 9，其個數(shù)是乘數(shù)中 9 的個數(shù)與 2 的差。證明：設(shè)任意兩位數(shù)的個位數(shù)字為b、十位數(shù)字為a(a豐0)，那么如果被乘數(shù)的個位數(shù)是 1，例如31 > 999在 999 前面添 30 為 3

7、0999 ，再減去 30，結(jié)果為 30969 。71 > 9999 = 709999 70= 709929 。這是因為任何一個末位為1的兩位自然數(shù)都可表示為 (10a + 1)的形式，由9組成的自然數(shù)可表示為(10n 1)的形式，其積為(10a1)(10n 1)=10n 1a(10n 1)10a。(13) 1 W9這是一道頗為繁復(fù)的計算題。根據(jù)“如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大 (或縮小 )假設(shè)干倍，商反而縮小 (或擴大 )相同倍和“商不變性質(zhì)，可很 方便算出結(jié)果。十1.9，把1.9看作2，計算程序：2 = 0.05。2把商向右移動一位，寫到被除數(shù)里，繼續(xù)除如此除到循環(huán)為止。仔細分析這個算式：a

8、 0.1 = 0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數(shù)里，除以1.9。這樣我們又可把除數(shù)看作2繼續(xù)除，依此類推。除數(shù)末位是 9，都可用此法計算。例如1 - 3計算。1- 40計算。數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力 含估算能力 的強弱，直接影響到人們的生活節(jié)奏和工作、學(xué)習(xí)、科研效率。已經(jīng)引起世界有 關(guān)專家、學(xué)者的重視，是個亟待研究的課題。美國數(shù)學(xué)督導(dǎo)委員會，提出的 12 種面向全體學(xué)生的根本數(shù)學(xué)能力中，第 6 種能力即估算：“學(xué)生應(yīng)會通過心 算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。當解題或購物中需要計算時，估算可以用于考查合理性。檢驗預(yù)測或作 出決定1最高位估算只計算式中幾個運算數(shù)字的最高位的結(jié)果，估算整個算式的

9、值大概在什么范圍。例1 113750443169最高位之和 1 53= 3，結(jié)果在 3000 左右。如果因為無視小數(shù)點而算成 560 ，依據(jù)“一個不等于零的數(shù)乘以真分數(shù)，積必小于被乘數(shù)估算，錯誤立即暴 露。X整體思考。 50,而 50 X 50 X 1.5 = 75,又 51.9 > 50 , 1.51 > 1.5 ,X 1.51 > 75。另外 9X1=9，所以原式結(jié)果大致是 75 多一點，三位小數(shù)的末位數(shù)字是 9。例 4 3279 - 79把 3279 和 79，看作 3200 和 80。準確商接近 40 ，假設(shè)相差較大，那么是錯的。2最低位估算例如， 6403 2321

10、578328=13，原式和的末位必是 3。3規(guī)律估算和大于每一個加數(shù)；兩個真分數(shù) 或純小數(shù) 的和小于 2；一個真分數(shù)與一個帶分數(shù) 或一個純小數(shù)與一個帶小數(shù) 的和大于這個帶分數(shù) 或帶小數(shù) ，且小于這個帶分數(shù) 或 帶小數(shù) 的整數(shù)局部與 2 的和；2；兩個帶分數(shù) 或帶小數(shù) 的和總是大于兩個帶分數(shù) 或帶小數(shù) 整數(shù)局部的和，且小于這兩個整數(shù)局部的和加上奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)；差總是小于被減數(shù)；整數(shù)與帶分數(shù) 或帶小數(shù) 的差小于整數(shù)與帶分數(shù) 或帶小數(shù) 的整數(shù)局部的差； 帶分數(shù) 或帶小數(shù) ，與整數(shù)的差大 于帶分數(shù) 或帶小數(shù) 的整數(shù)局部與整數(shù)的差。帶分數(shù) 或帶小數(shù) 與真分數(shù) 或純小

11、數(shù) 的差小于這個帶分數(shù) 或帶小數(shù) ，且大于帶分數(shù) 或帶小數(shù) 減去 1 的差；帶分數(shù)與帶分數(shù) 或帶小數(shù)與帶小數(shù) 的差小于被減數(shù)與減數(shù)的整數(shù)局部的差，且大于這個差減去1 ；如果兩個因數(shù)都小于 1，那么積小于任意一個因數(shù)；假設(shè)兩個因數(shù)都大于 1，那么積大于任意一個因數(shù)；帶分數(shù)與帶分數(shù) 或帶小數(shù)與帶小數(shù) 的積大于兩個因數(shù)的整數(shù)局部的積，且小于這兩個整數(shù)局部分別加1 后相乘的積； 例如，A v AB v B。奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；假設(shè)除數(shù)v 1，那么商被除數(shù)；假設(shè)除數(shù)1，那么商v被除數(shù)； 假設(shè)被除數(shù)除數(shù)，那么商 1；假設(shè)被除數(shù)v除數(shù)，那么商v1。4位數(shù)估算整數(shù)減去小數(shù)，差的小數(shù)位數(shù)等于減數(shù)

12、的小數(shù)位數(shù)；例如，320 0.68 ，差為兩位小數(shù)。最高位的乘積滿十的兩個整數(shù)相乘的積的位數(shù)，等于這兩個數(shù)的位數(shù)和； 例如， 451 X 7103最高位的積4 X 7 = 28，滿10，結(jié)果是3 + 4= 7位數(shù)。在整除的情況下，被除數(shù)的前幾位不夠除，商的位數(shù) 等于被除數(shù)的位數(shù)減去除數(shù)的位數(shù)；例如，147342 - 2714不夠 27除，商是 42=2位數(shù)。 被除數(shù)的前幾位夠除，商的位數(shù)等于被除數(shù)的位數(shù)與除數(shù)位數(shù)的差加上1。例如，30226 - 238302 夠 238 除，商是 531=3位數(shù)。5取整估算把接近整數(shù)或整十、整百、的數(shù)，看作整數(shù)，或整十、整百的數(shù)估算。疋2 + 1，和定小于3。

13、12 X 10 X 10,積接近 100。應(yīng)用交換律、結(jié)合律，把能湊整的數(shù)先并起來或去括號。= 12.96 3.34 6.66= 33= 0例 3 15.74 (8.52 3.74)例 4 1600 - (400 - 7)=1600 - 400 X 7=4 X 7=28根據(jù)乘法分配律，可逆聯(lián)想。= (3.256.75) X 0.4=10X=4X10X1=875= 8 7= 16. 擴 縮 式XX 36X (6436)X 100 = 40例 2 16X457. 分 解 式例如， 14X 7242X 76= 14X 3X 2442X 76= 42X (2476)=42X 100= 42008. 約

14、 分 式= 3X 7X 2= 42例 2 169 - 4 - 7 X 28 - 13=19889. 拆 分 式10. 拆 積 式例如，32 XX 25=8 XX (4 X 25)=10 X 100 = 100011. 換 和 式X8=(0.125 + 0.0007) X 8=(8.37 + 0.32) (5.68 + 0.32)12. 換 差 式13. 換 乘 式例1 123234345456567678=(123 + 678) X 3=801 X 3 = 2403例2(6.72 6.726.726.72)X25X (4 X 25) = 672例 3 45000 - 8 - 125=45000

15、 - (8 X 125)=45000 - 1000 = 45-25-X 4X 25)-80例 5 33333 X 33333=11111 X 99999=11111 X (100000 1)=1111100000 11111=1111088889綜合應(yīng)用，例如=1000 + 7 = 1007=(11.75 + 1.25 4.15 0.85) X 125.25(轉(zhuǎn))=(11.75 + 1.25) (4.15 + 0.85) X 125.25(合)=8 X=8 X (125 + 0.25)(拆)=8X1258X0.25=100214. 換 除 式例如， 5600 - (25 X 7)=5600 -

16、 7 - 25=800 - 25 = 3215. 直 接 除例 1 7 45 236=9 X 3 = 27如果兩個分數(shù)的分子相同，且等于分母之和或差 ，那么這兩個分數(shù)的和 或差 等于它們的積。知，兩個分數(shù)的分子都是1，分母是連續(xù)自然數(shù)，其差等于其積?？梢?，各分數(shù)的分子都是1。第一個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母加1。第二個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母與第一個減數(shù)的分母的積加1，第n個減數(shù)的分母等于被減數(shù)的分母與第一、二、第 n-1個減數(shù)的分母的連乘積加上1。n為不小于2的自然數(shù)其差等于其積一個整數(shù)與一個整數(shù)局部和分子都是 1，分母比整數(shù) 另個乘數(shù) 小 1 例如， 25 X 123678448=123

17、678448 X 100 - 4十4=3091961200=1986 662 = 13243510 - 15=(3510 1170) - 10 = 234-4 - 6 X 24 - 27觀察其特點，例如， 372 499=372 + 500 1 = 871例如， 476 302=476 + 300 + 2 = 778應(yīng)用“被減數(shù)、減數(shù)同時增加或減少相同的數(shù)，其差不變的性質(zhì)，使原來減去一個帶分數(shù)或帶小數(shù)，變成減 去整數(shù)。=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)例如，1992 X 27.5 + 1982 X=1992 X 27.5 + (1992-10) X=1992 X 27.5 + 1

18、992 XX=1992 X (27.5 + 72.5)-725=199200-725=198475或原式 =(1982 10)X 27.51982X觀察整數(shù)和分數(shù)局部，顯然原式 =3 。例如，(1 + 2 + 3 + + 99) + (4 + 8 + 12 + + 396)=(1 + 2 + 3 + + 99) + 4(1+2+3 + 99)=5(1 + 2+3 + 99)有的學(xué)生通分時用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57 和 76 為互質(zhì)數(shù)。判斷兩個數(shù)是否互質(zhì)，不必用2、3、5、逐個試除。把其中一個分解質(zhì)因數(shù)，看另一個數(shù)能否被這里的某個質(zhì)因數(shù)整除即可。57=3X 19，如果 57 和

19、76 有公有的質(zhì)因數(shù)，只可能是 3 或 19。用 3、 19 試除，57， 76= 19X 3X 4= 228。26 = 2 X 13, 65和91是13的倍數(shù)。 最小公分母為13 X 2 X 5 X 7 = 910。教材中講分解質(zhì)因數(shù)，主要是為了求幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，給通分和約分打根底。其實，分解質(zhì) 因數(shù)在解題中很有用處。提供新解法，啟迪創(chuàng)造思維。例 1 184X75原式=2 X 2 X 46 X 3 X 5 X 5=46 X 3X 2X 52 =138X 100=13800 。38. “1 、 1 法一個整數(shù)減去一個帶分數(shù)，可用這個整數(shù)減去比減數(shù)的整數(shù)局部多1 的數(shù)，再從 1

20、中減去分數(shù)局部。為便于記憶，稱“ 1 、 1 法。39. “1 , 9 , 9 10法一個整數(shù)減去一個小數(shù) 末位不為 0，可先減去比小數(shù)高位多 1 的數(shù)， 再從 9 中減去其它位數(shù)， 最后從 10 中減 去末位數(shù)。例 1 650 X 74 - 65=(650 - 65) X 74=10 X 74 = 740例 2 176 X 98 - 49=176 X (98 - 49)=176 X 2 = 352例 3 7 - 13 X 52 - 4例 4 102 XX 99X 8=102 X 99 1X 99=99 X (100 + 1 )=9900 + 99 = 999941.用 數(shù) 據(jù)熟記一些特殊數(shù)據(jù)

21、，可使計算簡捷、迅速。例 1 由 37 X 3 = 111知 37 X 6 = 111 X 2= 22237 X 15 = 37 X 3 X 5 = 555例 3 1000 以內(nèi)不包括整十、整百 只含因數(shù) 2 或 5 的 2、4、8、16、32、64、128、256、512； 5、25、125、625。這些數(shù)作分母的分數(shù)才能化成有限小數(shù)，不需試除。例 4 特殊分數(shù)化小數(shù)分母是 5、20、25、50 的最簡分數(shù)，在化為小數(shù)時，把分子相應(yīng)地擴大2、5、4、2 倍，再縮小 10、100 倍。分母是 8 的最簡分數(shù)，分子是 1、3，小數(shù)的第一位也是 1、3。分母是 9 的最簡分數(shù)，循環(huán)節(jié)的數(shù)字和分子的

22、數(shù)字相同。例5 19 n1X 3.14 = 3.14 6 X2X 3.14 = 6.28 7 X3X 3.14 = 9.42 8 X4X 3.14 = 12.56 9 X5X 熟記這些數(shù)值，可口算。X13=10 n +3 nX 89=90 n - nnX變?yōu)檎麛?shù)，三位數(shù)前面補 0 改為四位數(shù)，這樣不會把數(shù)位搞錯，將結(jié)果左端的 0去掉，點上小數(shù)點得 4.9612。也可從高位算起。仔細審題，知第二個括號里的結(jié)果為 0，此題得 0。所以可直接得 0。X 0.9 - 3.8 2.8除數(shù)為 1 ，那么商就是被除數(shù)。43. 想 變 式44. 用 規(guī) 律例1 682 702 兩個連續(xù)奇 偶數(shù)的平方和，等于這

23、兩個數(shù)之積的2 倍加 4 的和。原式=68 X 70 X 2 + 4=9520 + 4 = 9524。例 2 522 512 = 52 + 51 = 103 兩個連續(xù)自然數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和。例3 18X1920 任意三個連續(xù)自然數(shù)，最小數(shù)與中間數(shù)的乘積加上最大數(shù)的和，等于最大數(shù)與中間數(shù)的乘積減去最小數(shù)。原式=20 X 19 18 = 362。例4 16X1715X18四個連續(xù)自然數(shù)，中間兩個的積比首尾兩個的積多 2 。原式=2。 證明：設(shè)任意四個連續(xù)自然數(shù)分別為a 1 、a、a1 、a2，那么 aa1a1a 2 = a2+a-a2-a 2= 2。例 5 一個從第一位開始有規(guī)律循環(huán)的多

24、位數(shù)包括整數(shù)局部是 0 的純循環(huán)小數(shù) ，乘以一個與其循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的數(shù)，其規(guī)律適用于一些題的簡算。ABAB XCD=ABX 100ABX CD=AB X 100 X CD + AB X CD=(CD X 100 + CD) X AB=CDCD X AB如：125 X 5 X 1616 X 78= 125X 5X 7878X 16= (125 X 8)X (5X 2)X 7878= 78780000在根底題上深化。例如，觀察 ( 1 )的解題過程， 逆用各步的結(jié)構(gòu)特點，46. 巧 歸 納例如，1 + 2 + + 100 + 99 + + 11100的和為5050，再加一倍為 10100 ,減去多

25、加的 100為10000。但速度太慢。 有相同的行數(shù)和列數(shù)，用點或圈列成正方形的數(shù)，叫作正方形數(shù)。由圖知1232+1 = 32，1234+5 4+3 21 = 52。不難發(fā)現(xiàn)，和為最大加數(shù)的平方。顯然，5+ 6 + + 29 + 30 + 29 + + 6 + 5= 302 42-4 =900164=880?！拘W(xué)數(shù)學(xué)解題思路大全】巧想妙算文字題一1.想 數(shù) 碼例如， 1989 年“從小愛數(shù)學(xué)邀請賽試題 6：兩個四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)的每一個數(shù)碼都不小于5，第二個四位數(shù)僅僅是第一個四位數(shù)的數(shù)碼調(diào)換了位置。某同學(xué)的答數(shù)是16246。試問該同學(xué)的答數(shù)正確嗎？ (如果正確，請你寫出這個四位數(shù)；如果

26、不正確，請說明理由 )。思路一：易知兩個四位數(shù)的四個數(shù)碼之和相等，奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)，這兩個四位數(shù)相加的 和必為偶數(shù)。相應(yīng)位數(shù)兩數(shù)碼之和，個、十、百、千位分別是1 7 、 1 3 、 1 1 、 1 5 。所以該同學(xué)的加法做錯了。正確答案是思路二：每個數(shù)碼都不小于 5，百位上兩數(shù)碼之和的 11 只有一種拆法 56，另一個 5只可能與 8組成 13， 6 只可能與 9 組成 15。這樣個位上的兩個數(shù)碼，89= 16 是不可能的。不要把“數(shù)碼調(diào)換了位置誤解為“數(shù)碼順序顛倒了位置。例 1 比擬 1222 X 1222 和 1221 X 1223 的大小。由兩式的尾數(shù) 2X 2 = 4,

27、1 X 3 = 3，且4 >3。知 1222 X 1222 > 1221 X 1223例2 二數(shù)和是 382，甲數(shù)的末位數(shù)是 8，假設(shè)將 8去掉，兩數(shù)相同。求這兩個數(shù)。由題意知兩數(shù)的尾數(shù)和是 12 ，乙數(shù)的末位和甲數(shù)的十位數(shù)字都是 4。由兩數(shù)十位數(shù)字之和是 8-1= 7,知乙數(shù)的十位和甲數(shù)的百位數(shù)字都是3。甲數(shù)是 348，乙數(shù)是 34。例 3 請將下式中的字母換成適當?shù)臄?shù)字,使算式成立。由 3 和 a5 乘積的尾數(shù)是 1 ,知 a5 只能是 7；由3和a4乘積的尾數(shù)是7 2 = 5，知a4是5 ;不難推出原式為142857 X 3= 428571 。例如，從110的十個數(shù)中，每次取

28、兩個數(shù)，要使其和大于10,有多少種取法?思路一：較大數(shù)不可能取 5 或比 5 小的數(shù)。取6有65；取7有74, 75, 76；取10有九種 10 + 1 , 10 + 2,10 + 9。共為 1 + 3 + 5 + 7 + 9= 25種。9的有 9思路二：兩數(shù)不能相同。較小數(shù)為 1 的只有一種取法 110；為 2的有 29, 210； 較小數(shù)為 10。共有取法 123454321=25種這是從較小數(shù)想起，當然也可從9或8、7、開始。思路三：兩數(shù)和最大的是19。兩數(shù)和大于10的是11、12、19。和是 11 的有五種 110, 29, 38, 47, 56；和是 1119的取法 54433221

29、1=25種。用最大與最小數(shù)之積作內(nèi)項 或外項 的積,剩的相乘為外項 或內(nèi)項 的積,由比例根本性質(zhì)知交換所得比例式各項的位置,可很快列出全部的八個比例式。例如,思考題：在五個 0.5 中間加上怎樣的運算符號和括號,等式就成立?其結(jié)果是 0, 0.5, 1 , 1.5, 2。從得數(shù)出發(fā),想：兩個相同數(shù)的差,等于 0； 一個數(shù)加上或減去 0,仍等于這個數(shù)； 一個因數(shù)是 0,積就等于 0； 0 除以一個數(shù) 不是 0,商等于 0； 兩個相同數(shù)的商為 1；1除以0.5，商等于2 ;解法很多,只舉幾種：0.50.5XXX 0.5=00.50.50.50.5X0.5=00.50.50.5X0.50.5=00.

30、50.50.50.5X0.5=00.50.5XX0.50.5X(0.5 + 0.5) X(0.5 0.5) X 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1-0.5 + (0.5 0.5) X 0.5 = 1(0.5 0.5) - 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1(0.5 + 0.5) - 0.5 (0.5 + 0.5) = 1(0.50.5)X-0.5 + 0.5 0.5 = 2(0.5 + 0.5) - 0.5 + 0.5 0.5 = 2(0.5 + 0.5 + 0.5 0.5) - 0.5 = 2(0.5 + 0.5) X 0.5 + 0.5 - 0.5 = 26.想平均數(shù)思路一：由“任

31、意三個連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)是中間的數(shù)。設(shè)第一個數(shù)為“ 1 ，那么中間數(shù)占知這三個數(shù)是 14、15、16。二、一個數(shù)分別為16 1 = 15 ,15 1 = 14 或 16 2 = 14。假設(shè)先求第一個數(shù)，那么思路三：設(shè)第三個數(shù)為“1，那么第二、三個數(shù)，知是 15、16。思路四：第一、三個數(shù)的比是7 : 8，第一個數(shù)是2十(8 7) X 7= 14。假設(shè)先求第三個數(shù)，那么2 - (8 7) X 8 = 16。例 1 思考題：在 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號 使所得的結(jié)果都等于 100。例如123456789=1001

32、23456789=100你還能想出不同的添法嗎？ 123456789=45。假設(shè)去掉 7 和 8 間的“，式左為123456789，比原式和增大了 78 (78)= 63，即123456789= 4563 = 108 。為使其和等于 100 ，式左必須減去 8。加 4 改為減 4，即可 123456789=100?！皽p去4可變?yōu)椤皽p 1、減3，即 123456789=100二年級小學(xué)生沒學(xué)過負“ 1，不能 介紹。如果式左變?yōu)?2345 6789。 12(12)89(89)=81。即 123456789=4581=10026。學(xué)習(xí)文檔 僅供參考要將“變?yōu)椤暗臄?shù)和為13，在 3、4、5、6、7 中

33、有 67，346，因而有12 + 3 + 4 + 5 6 7+ 89 = 100 ,12 3 4 + 5 6 + 7+ 89 = 100 ,同理得12 + 3 4 + 5 + 67 + 8 + 9= 100 ,1+ 23 4 + 56 + 7+ 8 + 9= 100 ,123456789= 100，12345 67+ 89= 100，123+ 4 5+ 6789=100， 1234567+89=100。為了減少計算。應(yīng)注意：(1) 能否在 1、23、4、5、6、7、89 中間添上加、減 (不再去掉某兩數(shù)間的加號 )，結(jié)果為 100 呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)，4、6的和或差是偶數(shù)

34、，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，結(jié)果不會是100。(2) 有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因為 1234 減去余下數(shù)字組成 (按順序 )的最大數(shù) 789 ，再減去余下的 56，差大于 100。例2求59199的奇數(shù)和。由從 1 開始的連續(xù) n 個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù) n 的平方1+ 3 + 5+ 7 + + (2n 1) = n2奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù) 2倍少1。用n表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為2n 1。例如，32對應(yīng)奇數(shù)2 X 32 1 = 63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在 100(2n 1 = 199 , n = 100)的位置 上。知1199的奇數(shù)和是 1002 = 10

35、000。此和包括 59 , 2n 1 = 57、n = 29、157的奇數(shù)和為 292 = 841。 所求為 10000 841 = 9159 ?；蛘?59=30X21， 302=900，10000 900 + 59 = 9159 。例 1 思考題：在 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 九個數(shù)字中，不改變它們的順序、在它們中間添上加、減兩種符號， 使所得的結(jié)果都等于 100。例如1+234+5+6+789=100123+4567+89=100你還能想出不同的添法嗎？1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。假設(shè)去掉 7和 8間的“+，式左為 1+2+3+4+5+6+78+9，

36、比原式和 增大了 78 (7+ 8)= 63，即1+2+3+4+5+6+78+9= 45 + 63 = 108 。為使其和等于 100 ，式左必須減去 8。加4改為減 4，即可 1+2+34+5+6+78+9=100。“減去 4 可變?yōu)椤皽p 1、減 3，即 1 + 2 3 + 4 + 5+ 6 + 78 + 9 = 1 00二年級小學(xué)生沒學(xué)過負數(shù)“1，不能介紹。如果式左變?yōu)?2 + 3 + 4+ 5+ 6 + 7+ 89 。 12(1+2)+89(8+9)=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。要將“+變?yōu)椤暗臄?shù)和為 13，在 3、 4、 5、 6、 7中有 6+

37、7， 3+4+6，因而有12+ 3+ 4+ 5 6 7+ 89=100，1234+56+7+89=100，同理得12+ 3 4+ 5+ 67+ 8+ 9=100， 1+234+56+7+8+9=100，1 + 2+ 34 5+ 67 8+ 9 = 100 ,123 4 5 6 7+ 8 9= 100 ,123 + 4 5 + 67 89 = 100 ,123456789=100。為了減少計算。應(yīng)注意：(1) 能否在 1 、23、4、5、6、7、89 中間添上加、減 (不再去掉某兩數(shù)間的加號 )，結(jié)果為 100 呢？1、23、5、7、89的和或差是奇數(shù)， 4、6的和或差是偶數(shù)，奇數(shù)±偶

38、數(shù)=奇數(shù)，結(jié)果不會是100。(2) 有一個是四位數(shù)，結(jié)果也不可能為100。因為 1234 減去余下數(shù)字組成 (按順序 )的最大數(shù) 789 ，再減去余下的 56，差大于 100。例2求59199的奇數(shù)和。由從 1 開始的連續(xù) n 個奇數(shù)和、等于奇數(shù)個數(shù) n 的平方1 + 3+ 5 + 7 + (2n 1) = n2奇數(shù)比它對應(yīng)的序數(shù) 2倍少 1。用 n 表示任意一個自然數(shù)，它對應(yīng)的奇數(shù)為 2n1。例如，32對應(yīng)奇數(shù)2 X 32 1 = 63。奇數(shù)199，從1起的連續(xù)奇數(shù)中排列在100(2n 1 = 199 , n = 100)的位置上。知1199的奇數(shù)和是 1002 = 10000。此和包括 5

39、9 , 2n 1= 57、n = 29、157的奇數(shù)和為 292 = 841。 所求為 10000 841 = 9159 ?；蛘?59=30X21， 302=900，1000090059=9159。任意兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積，等于這兩個自然數(shù)的積。證明：設(shè)M、N(都是自然數(shù))的最大公約數(shù)為 P,最小公倍數(shù)為 Q、且M、N不公有的因數(shù)各為a、b。那么 MX N= PX aX PX b。而 Q= PX aX b，所以 MX N= PX Q。例 1 甲乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是 7，最小公倍數(shù)是 105。甲數(shù)是 21，乙數(shù)是多少？例2 兩個互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是 155，求這兩個數(shù)。這兩個互

40、質(zhì)數(shù)的積為 1 X 155 = 155，還可分解為5 X 31。所求是 1 和 155 ， 5 和 31 。例3 兩數(shù)的最大公約數(shù)是 4，最小公倍數(shù)是 40，大數(shù)是數(shù)的 2.5倍，求各數(shù)。 由上述定理和題意知兩數(shù)的積，是小數(shù)平方的 2.5 倍。小數(shù)的平方為 4 X 40 - 2.5 = 64。小數(shù)是 8。大數(shù)是 8X2.5=20。算理： 4X 40=8X 20=8X (8X 2.5)= 82X 2.5。9.想 份 數(shù)例 1 四個比 1 大的整數(shù)的積是 144 ，寫出由這四個數(shù)組成的比例式。144 = 24 X 32=(22 X 3) X (2 X 3) X 2=(4 X 3) X (6 X 2

41、)可組成4 : 6 = 2 : 3等八個比例式。例 2 三個連續(xù)自然數(shù)的積是 4896 ，求這三個數(shù)。4896 = 25 X 32 X 17=24 X 17 X (2 X 32)=16 X 17 X 181728 = 26 X 33 = (22 X 3)3 = 123385 = 5 X 7 X 11例4 1992年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽(C)卷題3:找出1992的所有不同的質(zhì)因數(shù)，它們的和是多少？1992 = 2X 2 X 2X 3 X 832+ 3 + 83 = 88例 5 甲數(shù)比乙數(shù)大 9，兩數(shù)的積是 1620，求這兩個數(shù)。1620 = 22 X 34 X 5=(32 X 22) X (

42、32 X 5)甲數(shù)是 45，乙數(shù)是 36。例 6 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953 分成兩組，每組四個數(shù)且積相等，求這兩組數(shù)。八個數(shù)的積等于 2X 7X 2X 3X 5X 3X 11X 3X5X 5X 11X 13X 13X 13X 5X7X127X3X 13X 127。每組數(shù)的積為 2X 32X 52X 7X11 X 132X 127。兩組為例 7 600 有多少個約數(shù)？600 = 6 X 100 = 2X 3 X 2 X 2 X 5 X 5=23 X 3X 52只含因數(shù) 2、3、5、2X 3、2X 5、3X 5、2X 3X 5 的約數(shù)分別為:2、22、23；3

43、；5、52；2X 3、22X 3、23X 3；2X 5、22X 5、23X 5、2X 52、22X 52、23X 52；3X 5、 3X 52 ；2X 3X 5、22 X 3X 5、23X 3X 5、2X 3X 52、22X 3X 52、23X 3X 52。不含 2X 3X5 的因數(shù)的數(shù)只有 1。這八種情況約數(shù)的個數(shù)為；3+ 1 + 2+ 3 + 6 + 2+ 6 + 1 = 24。不難發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律:把給定數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，寫成冪指數(shù)形式，各指數(shù)分別加1 后相乘，其積就是所求約數(shù)的個數(shù)。(3 + 1) X (1 + 1) X (2 + 1) = 24。17. 想 法 那么用來說明運算規(guī)律 (或方法

44、 )的文字，叫做法那么。子比分母少 16。求這個分數(shù)？由“一個分數(shù)乘以 5，是分子乘以 5 分母不變，結(jié)果是分子的 5 倍比 3 倍比分母少 16 。知分子的 5 3 = 2倍是 2 + 16 = 18，分子為 18 - 2 = 9,分母為 9 X 5 2 = 43 或 9X 3 + 16 = 43。18. 想 公 式證明方法：以分母a，要加或減的數(shù)為2設(shè)分子加上或減去的數(shù)為x，分母應(yīng)加上或減去的數(shù)為y。19. 想 性 質(zhì)例 1 1992 年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題初賽 C 卷題 6：有甲、乙兩個多少倍？200 - 16 = 12.5倍。例 2 思考題：三個最簡真分數(shù)，它們的分子是連續(xù)自然數(shù)，分母

45、大于10，且它們最小公分母是 60 ；其中一個分數(shù)的值，等于另兩個分數(shù)的和。寫出這三個分數(shù)。由“分母都大于 10，且最小公分母是 60，知其分母只能是 12、15、20；12、15、30；12、15、60。 由“分子是連續(xù)自然數(shù)，知分子只能是小于 12 的自然數(shù)。滿足題意的三個分數(shù)是二第 400 個分數(shù)是幾分之幾？此題特點：2每組分子的排列：假設(shè)某一組分數(shù)的分母是自然數(shù)n,那么分子從1遞增到n,再遞減到1。分數(shù)的個數(shù)為 n + n 1 = 2n 1，即任何一組分數(shù)的個數(shù)總是奇數(shù)。3分母數(shù)與分數(shù)個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，正是自然數(shù)與奇數(shù)的對應(yīng)關(guān)系分母：1、2、3、4、5、分數(shù)個數(shù)：1、3、5、7、9、4每

46、組分數(shù)之前 包括這組本身 所有分數(shù)個數(shù)的和，等于這組的組號 這一組的分母 的平方。例如，第 3 組分數(shù)前 包括第 3 組所有分數(shù)個數(shù)的和是32=9。10 X 2 1 6=13 個 位置上。分別排在81 + 7 = 88個，81 + 13=94個的位置上?；蛘?102=100 ，100 12=88 。100 6 = 94，88 + 6 = 94。問題 二：由上述一串分數(shù)個數(shù)的和與組號的關(guān)系，將400 分成某數(shù)的平方，這個數(shù)就是第 400 個分數(shù)所在的 組數(shù) 400 = 202 ，分母也是它。第 400 個分數(shù)在第 20 組分數(shù)中， 400 是這 20 組分數(shù)的和且正好是 20 的平方無剩余，故可

47、斷定是最后一個， 即假設(shè)分解為某數(shù)的平方有剩余，例如，第 415 個和 385 個分數(shù)各是多少。逆向思考，上述的一串分數(shù)中，分母是 35 的排在第幾到第幾個？352 (35 X 2- 1) + 1=1225 69 + 1 = 1157。排在 1157 1225 個的位置上。例如，1989 年從小愛數(shù)學(xué)邀請賽試題： 接著 1989 后面寫一串數(shù)字， 寫下的每一個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的 乘積的個位數(shù)字。例如，8 X 9 = 72，在9后面寫2, 9 X 2 = 18，在2后面寫8,得到一串數(shù)：1989286 這串數(shù)字從 1 開始往右數(shù)，第 1989 個數(shù)字是什么？顯然，1989 后面的數(shù)總是不斷

48、重復(fù)出現(xiàn) 286884 ，每 6 個一組。(1989 4) - 6 = 330 5最后一組數(shù)接著的五個數(shù)字是 28688 ，即第 1989 個數(shù)字是 8。21. 用 規(guī) 律例1第六冊P62第14題：選擇“ +、x、+ 中的符號，把下面各題連成算式，使它們的得數(shù)分別等于0、 1 、 2 、 3、 4、 5、 6、 7 、 8、 9。(1) 2 2 2 2 2 = 0(2) 2 2 2 2 2 = 1(10)2 2 2 2 2 = 9解這類題的規(guī)律是： 先想用兩、三個 2 列出，結(jié)果為 0、 1 、 2 的根本算式：2 2 = 0, 2 - 2 = 1;再聯(lián)想 2 2- 2 = 1 , 2X 2-

49、 2 = 2 , 2- 2+ 2 = 3 ,每題都有幾種選填方法，這里各介紹一種：2 十 2 + 2 十 2 2 = 02 十 2 X 2 2 十 2 = 12 2 + 2 十 2 X 2 = 22X 2 + 2十 2 2 = 32X 2 X 2 2 2 = 42 2 十 2+ 2 X 2 = 52+ 2 2+ 2 X 2 = 62X 2 X 2 2 - 2 = 72十 2 X 2X 2 X 2 = 82- 2 + 2X 2 X 2 = 9例 2 第六冊 P63 題 4：寫出奇妙的得數(shù)2+ 1 X 9 =3+ 12 X 9 =4123X 9= 51234X 9=612345 X 9=得數(shù)依次為

50、 11 、 111 、 1111 、 11111 、 111111 。此組算式的特點：第一個加數(shù)由 2 開始，每式依次增加 1。第二個加數(shù)由乘式組成，被乘數(shù)的位數(shù)依次為 1、 12、 123、 續(xù)寫下去7123456 X 9=11111118+ 1234567 X9=111111119+ 12345678 X 9= 11111111110+123456789 X 9=1111111111111234567900 XX很自然地想到，可推廣為(1)當 n=1 、 2 時，等式顯然成立。(2)設(shè) n=k 時，上式正確。當 n=k 1 時k + 1 + 123 k X 9=k + 1 + 123 (k

51、 1) X 10 + k X 9=k + 1 + 123 (k 1) X 9X 10 + 9k=k + 123 (k 1) X 9 X 10 + 1根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，由 ( 1 ) 、 (2 )可斷定對于任意的自然數(shù)n ，此等式都成立。例 3 牢記下面兩個規(guī)律，可隨口說出任意一個自然數(shù)作分母的，所有真分數(shù)的和。(1)奇數(shù)(除1外)作分母的所有真分數(shù)的和、是份母-1)十2。=(21 1) - 2=10。比5小，分母是 13的最簡分數(shù)有多少個。4、 5、764為64 (7 1) = 58(個)，去掉13的倍數(shù)13、26、39、52，余下的作分子得 54個最簡分數(shù)。 例 2 一個整數(shù)與 1 、 2

52、、 3，通過加減乘除 (可添加括號 )組成算式，假設(shè)結(jié)果為24 這個整數(shù)就是可用的。6、 7、 8、 9、 10 中，有幾個是可用的?？唇Y(jié)果，想條件，知都是可用的。4X (1 + 2+ 3) = 24(5 + 1 + 2) X 3 = 246X (3 + 2 1) = 247X 3 + 1 + 2 = 248X 3- (2 1) = 249X 3 1 2 = 2410 X 2 + 1 + 3 = 24無論某數(shù)是多少，原分數(shù)的分子與分母的和 7+ 11=18 是不變的。而新分數(shù)的分子與分母的和為1 + 2=3，要保持原和不變，必同時擴大18十3 = 6(倍)。某數(shù)為 7 6 = 1 或 12 1

53、1 = 1。算理，原式相當于求這個分數(shù)。分子與分母的差41 35 = 6是不變的。新分數(shù)的此差是8 7 = 1 ,要保持原差不變，新分數(shù)的分子和分母需同 時擴大6十1 = 6(倍)。某數(shù)為 42 35 = 7,或 48 41 = 7。與上例同理。23 11 = 12 , 3 1 = 2, 12 - 2= 6,某數(shù)為 11 6 = 5 或 23 18 = 5。分子加上 3 變成 1 ，說明原分數(shù)的分子比分母小 3。當分母加上 2 后，分子比分母應(yīng)小 32=5。對于任意分母大于 2 的同分母最簡真分數(shù)來說，其元素的個數(shù)一定是偶數(shù)，和為這個偶數(shù)的一半。分母減去所 有非最簡真分數(shù) (包括分子和分母相同的這個假分數(shù) )的個數(shù)，差就是這個偶數(shù)。例 1 求分母是 12 的所有最簡真分數(shù)的和。由12中2的倍數(shù)有6個，3的倍數(shù)有4個，(2 X 3)的倍數(shù)2個，知所求數(shù)是例 2 分母是 105 的，最簡真分數(shù)的和是多少？倍數(shù) 15 個, (3X 5)、(5X 7)、