1、1 1終端函數(shù)約束的兩個(gè)物理背景終端函數(shù)約束的兩個(gè)物理背景0),()(),),(),()(. .),(),(),(min000ffttffuttxNxtxttutxftxtsdtttutxttxJf將約束優(yōu)化問題化為無(wú)約束優(yōu)化問題（引入拉格朗日算子）將約束優(yōu)化問題化為無(wú)約束優(yōu)化問題（引入拉格朗日算子）fttTTffTffudttxttutxfttutxttxNttxJ0)(),(),(),(),(),(),(min2 2連續(xù)系統(tǒng)終端函數(shù)約束情況的泛函求極值問連續(xù)系統(tǒng)終端函數(shù)約束情況的泛函求極值問題題t0,tft0,tf固定時(shí)固定時(shí)連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況令令Hamilton函數(shù)函數(shù)ft

2、ttutxHT),(),(),(則泛函求極值問題寫為則泛函求極值問題寫為ffttTffTffttTTffTffudttxttttutxHttxNttxdttxttutxfttutxttxNttxJ00)()(),(),(),(),(),()(),(),(),(),(),(),(min連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況0J首先對(duì)上式右邊第一項(xiàng)、第二項(xiàng)取一次變分首先對(duì)上式右邊第一項(xiàng)、第二項(xiàng)取一次變分),(ffttxftTfxx)(),(ffTttxN的一次變分的一次變分ftTTfxNx)( 泛函極值存在必要條件泛函極值存在必要條件0JfttTffTffudttxttttutxHttxNttxJ0)(

3、)(),(),(),(),(),(min的一次變分的一次變分連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況然后求取積分項(xiàng)然后求取積分項(xiàng)fttTdttxttttutxH0)()(),(),(),(連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況fffttTttTtTfdtuHudttxHxtx00)()()()()(的一次變分的一次變分直接應(yīng)用直接應(yīng)用第一節(jié)的結(jié)論第一節(jié)的結(jié)論，積分項(xiàng)的一次變分為，積分項(xiàng)的一次變分為 10)(y),(y,(minyxxdxxxxFJ0)y()()y(100 xxyTttyyTFdxFdxdFf 10) ()(xxyTyTdxFyFyJ 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)fttTffTffudttxtttutxH

4、ttxNttxJ0)(),(),(),(),(),(min的一次變分為各部分一次變分之和的一次變分為各部分一次變分之和 ffffttTTtTftTTftTfdtuHutxHxtxxNxxxJ0)()()()()()()(連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況整理，合并同類項(xiàng)，得到整理，合并同類項(xiàng)，得到ffttTTtTTfdtuHutxHxtxNxxJ0)()()()()(連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況借用第一章中的推論借用第一章中的推論1 1與推論與推論2 2連續(xù)系統(tǒng)終時(shí)不指定情況下泛函極值存在的必要條件為連續(xù)系統(tǒng)終時(shí)不指定情況下泛函極值存在的必要條件為0)()(ftTTftxNxx0)()()(

5、uHutxHxTT0J泛函極值存在必要條件泛函極值存在必要條件連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況0)()(ftTTftxNxxftTfxNxt)(0)()()(uHutxHxTT0,)(uHxHt連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況端函數(shù)）（終（狀態(tài)方程）（耦合方程）伴隨方程）（橫截條件）0),()(,),(0)()(00fftTfttxNxtxHtuxfxuHxHtxNxtf連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終端函數(shù)約束情況0)0(,0)0(,0)0(,33232121 xuxxxxxxx1)1()1(2221 xx 10221mindtuJu使該系統(tǒng)由上述初態(tài)轉(zhuǎn)移到終端函數(shù) ，目標(biāo)為 。列出兩點(diǎn)邊值問題。dtxt

6、uxtxxtxtu2111x1xJ1033232121222211u )()()()()()(min令)()()()(21332212tutxtxtuH 則)()()()(21332212tutxtxtuH 231210 xH3300 uuuH 011x211x210 xN32211tTf)()()()()(由 得：協(xié)態(tài)方程協(xié)態(tài)方程耦合方程耦合方程橫截條件橫截條件0)0(,0)0(,0)0(,33232121 xuxxxxxxx1)1()1(2221 xx狀態(tài)方程終端約束共六個(gè)微分方程，一個(gè)代數(shù)方程，三個(gè)初值條件，四個(gè)共六個(gè)微分方程，一個(gè)代數(shù)方程，三個(gè)初值條件，四個(gè)終值條件終值條件1 1終時(shí)不

7、指定情況的兩個(gè)物理背景終時(shí)不指定情況的兩個(gè)物理背景衛(wèi)星發(fā)射從停泊軌道到過(guò)渡軌道衛(wèi)星發(fā)射從停泊軌道到過(guò)渡軌道宇航飛船從地球軌道到火星軌道宇航飛船從地球軌道到火星軌道連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終時(shí)不指定情況0),()(),),(),()(. .),(),(),(min000ffttffuttxNxtxttutxftxtsdtttutxttxJf將約束優(yōu)化問題化為無(wú)約束優(yōu)化問題（引入拉格朗日算子）將約束優(yōu)化問題化為無(wú)約束優(yōu)化問題（引入拉格朗日算子）fttTTffTffudttxttutxfttutxttxNttxJ0)(),(),(),(),(),(),(min連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終時(shí)不指定情況2 2連續(xù)系統(tǒng)終時(shí)

8、不指定情況的泛函求極值問題連續(xù)系統(tǒng)終時(shí)不指定情況的泛函求極值問題令令Hamilton函數(shù)函數(shù)ftttutxHT),(),(),(則泛函求極值問題寫為則泛函求極值問題寫為ffttTffTffttTTffTffudttxttttutxHttxNttxdttxttutxfttutxttxNttxJ00)()(),(),(),(),(),()(),(),(),(),(),(),(min連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終時(shí)不指定情況0J首先對(duì)上式右邊第一項(xiàng)、第二項(xiàng)取一次變分首先對(duì)上式右邊第一項(xiàng)、第二項(xiàng)取一次變分),(ffttxfftTfttxxf)(),(ffTttxN的一次變分的一次變分ffTtTTfttNxNxf)

9、( 泛函極值存在必要條件泛函極值存在必要條件0JfttTffTffudttxttttutxHttxNttxJ0)()(),(),(),(),(),(min的一次變分的一次變分連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終時(shí)不指定情況10),(minxxydxyyxFJ其中：其中：),(00yx固定固定1x不指定101111)()() (xxyyTxyTxyTdxFdxdFyFyxFyFJ然后求取積分項(xiàng)的一次變分然后求取積分項(xiàng)的一次變分fttTdttxttttutxH0)()(),(),(),(泛函的一次變分為：泛函的一次變分為：連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制終時(shí)不指定情況（采用類比推廣的方法）（采用類比推廣的方法）第一次類比推廣第一次

10、類比推廣第一章中端點(diǎn)不固定情況泛函求極值第一章中端點(diǎn)不固定情況泛函求極值若有泛函求極值若有泛函求極值fttudtttutxtutxFJ0),(),(),(),(min其中：其中：),(00 xt固定固定ft不指定不指定 10),(minxxydxyyxFJ其中：其中：),(00yx固定固定1x不指定10),(minxxydxyyxFJ101111)()() (xxyyTxyTxyTdxFdxdFyFyxFyFJfffffttuuTttxxTtuTftxTfftuTxTdtFdtdFudtFdtdFxFuFxtFuFxFJ00)()()()()(fttudtttutxtutxFJ0),(),()

11、,(),(minfffffttuuTttxxTtuTftxTfftuTxTdtFdtdFudtFdtdFxFuFxtFuFxF00)()()()()(fttdtttutxtutxF0),(),(),(),(fttTdttxtttutxH0)(),(),(),(ffffttTttTtTfftTTdtuHudttxHxtxttxttxtH00)()()()()()()()()( 第二次類比推廣第二次類比推廣兩式的一次變分如下兩式的一次變分如下ffffttTttTtTfftTTdtuHudttxHxtxttxttxtH00)()()()()()()()()( 終時(shí)不指定情況目標(biāo)泛函中積分項(xiàng)的一次變分

12、為終時(shí)不指定情況目標(biāo)泛函中積分項(xiàng)的一次變分為fffttTTtTfftdtuHutxHxtxtH0)()()()()(ffttTTtTffffffdtuHutxHxtxttttutxH0)()()()()(),(),(),(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)fttTffTffudttxtttutxHttxNttxJ0)(),(),(),(),(),(min的一次變分為各部分一次變分之和的一次變分為各部分一次變分之和 ffffttTTtTffffffffTtTTffftTfdtuHutxHxtxttttutxHttNxNxttxxJ0)()()()()(),(),(),()()(整理，合并同類項(xiàng)，得到整理，合并同類

13、項(xiàng)，得到ffttTTffTffffftTTfdtuHutxHxttNttttutxHtxNxxJ0)()()(),(),(),()()(借用第一章中的推論借用第一章中的推論1 1與推論與推論2 2連續(xù)系統(tǒng)終時(shí)不指定情況下泛函極值存在的必要條件為連續(xù)系統(tǒng)終時(shí)不指定情況下泛函極值存在的必要條件為0)()(ftTTftxNxx0),(),(),(ffTfffffttNttttutxH0)()()(uHutxHxTT0J泛函極值存在必要條件泛函極值存在必要條件0)()( ftTTftxNxx ftTfxNxt)(0),(),(),(ffTfffffttNttttutxH0),(),(),(fTffff

14、ftNttttutxH0)()()(uHutxHxTT0,)(uHxHt 端函數(shù)）端函數(shù)）（終（終（狀態(tài)方程）（狀態(tài)方程）（耦合方程）（耦合方程）伴隨方程）伴隨方程）（橫截條件）（橫截條件）0),()(,),(0)(0),(),(),()(00fffTffffftTfttxNxtxHtuxfxuHxHttNttttutxHxNxtf 5 5例題例題泛函求極值泛函求極值任意任意不指定不指定 )(, 0)(0)0(,1)0(,2.,21min212212102ffftfutxtxxuxxxxtstdtutJf解：令解：令Hamilton函數(shù)為函數(shù)為協(xié)態(tài)方程為協(xié)態(tài)方程為uxuH2212221 121

15、221120 xHxH橫截條件橫截條件0)(, 0)(0)0(, 1)0(22222121 ftffxNxttxxx 耦合方程為耦合方程為02 002 uuH0)()(0 fttTTtxNxx 01)()()()(2)(212212 ffffftuttxttu 0),(),(),( fTffffftNttttutxH 解耦合方程得解耦合方程得 212111212211220ctccxHxH 2122ctcu 解協(xié)態(tài)方程解協(xié)態(tài)方程 得得 ,2221uxxx 代入狀態(tài)方程代入狀態(tài)方程 并積分并積分 4322313221213221212232)(2)(2)()2()()(ctctctcdtctct

16、cdttxtxctctcdtctcdttutx 4322313221213221212232)(2)(2)()2()()(ctctctcdtctctcdttxtxctctcdtctcdttutx 0)0(, 1)0(21 xx代入條件代入條件 1, 043 cc得得 01)()()()(2)(212212 ffffftuttxttu 根據(jù)橫截條件根據(jù)橫截條件11c 32212)(ctctctx 01)(22221 fftctcc0)(2 ft 2 u01)()(221 fftxt 132)(22311 tctctx01)(22221 fftctcc0)(1 ftx01322231 fftctc

17、02)(212 ctctff 69. 0,41. 1,03. 112 cctf41. 169. 0)(141. 146. 0)(41. 137. 12)( 2223121 ttxtttxtctctu S1=dsolve(Dx1=2*x2,Dx2=-lambda2,Dlambda1=0,Dlambda2=-2*lambda1,. x1(0)=1,x2(0)=0,x1(tf)=0,lambda2(tf)=0) % 解解 TPBVP t=tf; % 字符傳遞字符傳遞 eq=2*(S1.lambda1)*(subs(S1.x2)+1; S2=solve(eq,tf) % 解符號(hào)代數(shù)方程解符號(hào)代數(shù)方程,

18、默認(rèn)默認(rèn)eq=0 tf=S2(1) % 從從S2中取出第中取出第1行第行第1列列 clear t % 撤消字符傳遞撤消字符傳遞 x1=subs(S1.x1) % 代入代入tf值值,x1為符號(hào)變量為符號(hào)變量 x2=subs(S1.x2) % 代入代入tf值值,x2為符號(hào)變量為符號(hào)變量 lambda1=subs(S1.lambda1) % 代入代入tf值值,lambda1為符號(hào)變量為符號(hào)變量lambda2=subs(S1.lambda2) % 代入代入tf值值,lambda2為符號(hào)變量為符號(hào)變量 1 1、積分約束、積分約束 ffttttffuconstKdtttutxwxtxttutxftxtsd

19、tttutxttxJ00),(),()(),),(),()(.),(),(),(min00 式中式中 對(duì)對(duì)x x及及t t的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，;,mnRuRx w固定固定和和f0tt fttconstKdtttutxw0),(),(Ktxtxttutxwtxfnn )(0)(),),(),()(101n1則則令令因此因此 KtxtxttutxwtxxtxttutxftxtsdtttutxttxJfnnnttffuf)(, 0)(),),(),()()(),),(),()(.),(),(),(min1011000 2、狀態(tài)和控制的等式約束、狀態(tài)和控制的等式約束 0),(),()(),),

20、(),()(.),(),(),(min000ttutxwxtxttutxftxtsdtttutxttxJfttffu 式中式中 對(duì)對(duì)x x及及t t的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，;,mnRuRx w固定固定和和f0ttdtttutxwttxttutxftttutxttxJTTttffuf),(),()()(),(),()(),(),(),(min0 3、狀態(tài)和控制的不等式約束、狀態(tài)和控制的不等式約束 0),(),()(),),(),()(.),(),(),(min000ttutxsxtxttutxftxtsdtttutxttxJfttffu 式中式中 對(duì)對(duì)x x及及t t的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，;,mnRuR