1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章 平穩(wěn)過程1指出下面所給的習(xí)題中，哪些是平穩(wěn)過程，哪些不是平穩(wěn)過程？（1）設(shè)隨機(jī)過程，t>0，其中具有在區(qū)間中的均勻分布解： 該隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望為 該隨機(jī)過程不是平穩(wěn)過程。（2）設(shè)隨機(jī)過程在每一時(shí)刻的狀態(tài)只取0或1數(shù)值，而在不同時(shí)刻的狀態(tài)是相互獨(dú)立的，且對任意固定的t有其中解： 該隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望為（常數(shù)）該隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為： 結(jié)果與t無關(guān) 該隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。（3）設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，其中的分布列為1-1，j=1,2,P定義 ，試對隨機(jī)序列，討論其平穩(wěn)性。解： （常數(shù)）又因?yàn)殡S機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)。 m為自然數(shù) 即 該隨機(jī)過程不是平穩(wěn)

2、過程。（4）設(shè)隨機(jī)過程，其中為正常數(shù)，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且A服從在區(qū)間0，1上均勻分布，而服從在區(qū)間0，2上的均勻分布。解： （常數(shù)）而自相關(guān)函數(shù)為： 該隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。（5）設(shè)隨機(jī)過程，其中在區(qū)間中服從均勻分布。解：隨機(jī)變量的概率密度為 不是常數(shù) 該隨機(jī)過程不是平穩(wěn)過程。（6）設(shè)有隨機(jī)過程，而隨機(jī)向量的協(xié)旗陣為解： 當(dāng)時(shí)不是常數(shù) 該隨機(jī)過程不是平穩(wěn)隨機(jī)過程。（7）設(shè)有隨機(jī)過程，其中X，Y，Z是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，各自的數(shù)學(xué)期望為0，方差為1。解： （常數(shù)）自相關(guān)函數(shù) 該隨機(jī)過程不是平穩(wěn)隨機(jī)過程。（8）設(shè)有隨機(jī)過程（隨機(jī)變量），則。解： （常數(shù)） 該隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。2設(shè)隨機(jī)

3、過程，其中U是在0，2上均勻分布的隨機(jī)變量。試證（1）若，而，而是平穩(wěn)過程；（2）若，而，而不是平穩(wěn)過程。證明：（1） 該隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望為（常數(shù)） 是平穩(wěn)隨機(jī)過程。（2） 的數(shù)學(xué)期望為 不是常數(shù) 不是平穩(wěn)過程。3設(shè)隨機(jī)過程其中是常數(shù)，A與是獨(dú)立隨機(jī)變量。服從在區(qū)間（0，2）中的均勻分布。A服從瑞利分布，其密度為設(shè)隨機(jī)過程，其中B與C是相互獨(dú)立正態(tài)變量，且都具有分布N（0，）。（1）試證是平穩(wěn)過程證明：對于隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望為 （常數(shù)）自相關(guān)函數(shù) 該隨機(jī)過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程。（2）用本章例4說明Y(t)是平穩(wěn)過程證明： 根據(jù)例4，隨機(jī)過程Y(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。4設(shè)S(t)是周期為T的周期函數(shù)

4、，而是在區(qū)間（0，T）上的均勻分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)過程稱為隨機(jī)相位周期過程。試問X(t)是否為平穩(wěn)過程，又問它是否具有各態(tài)歷經(jīng)性解： （周期函數(shù)性質(zhì)） 常數(shù) 又 的周期也為T。 是平穩(wěn)隨機(jī)過程。再討論隨機(jī)過程X(t)的各態(tài)歷經(jīng)性 5設(shè)是隨機(jī)相位周期過程，它的一個(gè)樣本函數(shù)如下圖所示。周期和振幅都是常數(shù)，相位是區(qū)間（0，）上的均勻分布，求解：根據(jù)上圖，得則 6隨機(jī)過程其中A和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，而在區(qū)間（0，2）上均勻分布，試問X(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性解： （常數(shù)）=該平穩(wěn)過程具有數(shù)學(xué)期望各態(tài)歷經(jīng)性。下面討論相應(yīng)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性。令 （固定）由于A與相互獨(dú)立，則有 令則有 該平穩(wěn)過程不具備自相

5、關(guān)函數(shù)各態(tài)經(jīng)性7隨機(jī)過程 其中A和B號均值為零不相關(guān)的隨機(jī)變量，且。試證明X（t）具有數(shù)學(xué)期望各態(tài)歷經(jīng)性，而無相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性。解：（常數(shù)）= 該隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 現(xiàn)證數(shù)學(xué)期望各態(tài)歷經(jīng)性 當(dāng)時(shí)該平衡過程具有數(shù)學(xué)期望各態(tài)歷經(jīng)性 （利用均方極限的性質(zhì)4）即自相關(guān)函數(shù)無各態(tài)歷經(jīng)性8設(shè)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)，其中A，a都是正常數(shù)；而，試問對數(shù)學(xué)期望 是否具存各態(tài)歷經(jīng)性。解： （Lhospital法則）即平穩(wěn)隨機(jī)過程具有 平穩(wěn)隨機(jī)過程關(guān)于數(shù)學(xué)期望具有各態(tài)歷經(jīng)性。9設(shè)和是相互獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過程，證明也是平穩(wěn)隨機(jī)過程。證明： （常數(shù)） 與無關(guān) 隨機(jī)過程 也是平穩(wěn)隨機(jī)過程。10設(shè)平穩(wěn)過程和相互獨(dú)立。令，

6、試求的自相關(guān)函數(shù)。解： 都是平穩(wěn)過程 （常數(shù)），（常數(shù)） 11平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為度求均方值解：根據(jù)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)有13設(shè)有隨機(jī)過程其中是相互獨(dú)立隨機(jī)變量，而A的均值為2，旗為4；在（-）上服從均勻分布；在（-5，5）上服從均勻分布，試求的自相關(guān)函數(shù)，并問是否平穩(wěn)以及是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解：（常數(shù)） 該隨機(jī)過程具有平穩(wěn)性。又該平穩(wěn)過程關(guān)于數(shù)學(xué)期望具有各態(tài)歷經(jīng)性。又該隨機(jī)過程不具有相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性。14：設(shè)有隨機(jī)過程其中平穩(wěn)過程和僅隨機(jī)變量V三者相互獨(dú)立，且，又EV=2，DV=9試求Z（t）的數(shù)學(xué)期望， 和相關(guān)函數(shù)。解： 15：設(shè)X（t）是雷達(dá)的發(fā)射信號，遇到目標(biāo)的回波信號為，是信號

7、返回時(shí)間，回波信號必然伴有噪聲，記為N（t），于是接收機(jī)收到的全信號為假定X（t）和N（t）平穩(wěn)相關(guān)。（1）求互相函數(shù)；（2）若N（t）的數(shù)學(xué)期望為零，且與X（t）相互獨(dú)立，求。解：（1）先求互相關(guān)函數(shù)（2）X（t）與N（t）相互獨(dú)立，且16：設(shè)有兩個(gè)平穩(wěn)過程其中為常數(shù)，而是在（0，2）上均勻分布的隨機(jī)變量，試求與。解： 17設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)過程，且，試問是否為平穩(wěn)過程？又是否均方連續(xù).解：（常數(shù)） 這與t無關(guān) 該隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程又因?yàn)樵邳c(diǎn)不連續(xù)，根據(jù)定理不均勻連續(xù)。18設(shè)是平穩(wěn)過程（1）若存在T>0 使得 ，則對固定的t有 （提示：）證明：根據(jù)概率論中的契比雪夫不等式有 是平穩(wěn)

8、過程 故 存在T>0， 使得，則對上式T>0. 證畢（2）若可導(dǎo)，則證明： （3）若可導(dǎo)，則是平穩(wěn)過程，且它的相關(guān)函數(shù)證明： 是平穩(wěn)過程，故 （常數(shù)），而 （常數(shù)）又 19設(shè)和是平穩(wěn)相關(guān)隨機(jī)過程。若和滿足微分方程其中a是非零常數(shù)，則它們的數(shù)學(xué)期望滿足：證明：兩邊同時(shí)取數(shù)學(xué)期望有：即 因?yàn)椋瞧胶怆S機(jī)過程，則（常數(shù)），（常數(shù)） 即20設(shè)是平穩(wěn)過程，且，試求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.解： 21設(shè)復(fù)隨機(jī)過程其中是在上均勻分布的隨機(jī)變量，而常數(shù)，試求的相關(guān)函數(shù)，并討論其平穩(wěn)性。解： =（常數(shù)）隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程。22設(shè)X（t）是數(shù)學(xué)期望為零的平穩(wěn)正態(tài)過程，又，求證證明：顯然= 其中= 令=

9、上面的證明同時(shí)也說明是平穩(wěn)隨機(jī)過程。證畢23（1）下列函數(shù)哪些是功率譜密度，哪些不是？為什么？ 解：根據(jù)功率譜密度的性質(zhì)，功率譜密度是實(shí)的，非負(fù)的偶函數(shù)，所以，不是功率譜密度，而是功率譜密度。（2）對上面的正確功率譜密度表達(dá)式計(jì)算自相關(guān)函數(shù)和均方值解： 自相關(guān)函數(shù)為而均方值為24已知平均過程的功率譜密度為求的均方值解： 25試說明下圖所示函數(shù)不可能是某個(gè)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)。解：如果自相關(guān)函數(shù)在連續(xù)，則它必在T上連續(xù)，但在該題中自相關(guān)函數(shù)在連續(xù)，但它并不在（-，+）上連續(xù)。故該圖所示的函數(shù)不可能是某個(gè)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)。26已知下列平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)，試求的功率譜密度。（1）解： 同理 （

10、2）解： （3）解：=（4） 其中a>0解：=而 27：已知下列平穩(wěn)過程的功率譜密度，試分別求的自相關(guān)函數(shù) （1） 解：（2）解： （3）解：=（4）解：論 則 當(dāng)時(shí) 由于是偶函數(shù) （5）其中 解： （6） 解： = 28：記隨機(jī)過程 其中是平穩(wěn)過程，為區(qū)間（0，2）上均勻分布的隨機(jī)變量，為常數(shù)，且和是相互獨(dú)立的，論的自相關(guān)函數(shù)為，功率譜密度為試證：（1）是平穩(wěn)過程且它的自相關(guān)函數(shù)（2）的功率譜密度為證明：（1）先證是平衡過程 （常數(shù)） 是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且（2） （利用Fourier變換的性質(zhì)）29：如下圖所示系統(tǒng)中，若輸入的平穩(wěn)過程，輸出為 ，試求的譜功率為 解 = (利用Fourie

11、r變換的性質(zhì))30：設(shè)平穩(wěn)過程為 其中a是常數(shù)，是在（0，2）均勻分布的隨機(jī)變量，是具有分布密度為偶函數(shù)的隨機(jī)變量，且與相互獨(dú)立，試證的功率譜密度為：證明：根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義有： 31：若二個(gè)隨機(jī)過程 ， 其中A（t）和B（t）是相互獨(dú)立數(shù)字期望為零的平穩(wěn)過程，且有相同的自相應(yīng)函數(shù)。試證：是平穩(wěn)過程，而和都不是平穩(wěn)過程證明： 與有關(guān)，不是平穩(wěn)過程同理可證也不是平穩(wěn)過程。理證是平穩(wěn)過程。因?yàn)椋ǔ?shù)）=（與t無關(guān)）是平穩(wěn)隨機(jī)過程。32設(shè)平穩(wěn)過程和是平穩(wěn)相關(guān)的，試證：證明：，33設(shè)和是兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)過程，數(shù)字期望分別為都不為零，定義，試求互譜密度和。解：向=34設(shè)復(fù)隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，試證：（1）自

12、相關(guān)函數(shù)滿足。（2）的譜功率是實(shí)函數(shù)。證明：（1）式成立。又=即是實(shí)函數(shù)。35如果一個(gè)均值為零的平穩(wěn)過程（-<t<+）輸入到脈沖響應(yīng)為（>0）的線性濾波器，試證明它的輸出功率譜密度為解：根據(jù)平穩(wěn)過程的輸入譜密度和輸出譜密度之間的關(guān)系有其中=。1/3436將自相關(guān)函數(shù)為的白噪聲電壓輸入到如下圖所示的二級R-C電路系統(tǒng)。X(t)Y(t)（1）求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。（2）求輸出電壓的均方值。解：（1）由電學(xué)知識可知輸出電壓所滿足的微分方程為：兩邊取雙邊拉普拉氏變換有：傳遞函數(shù)滿足：=當(dāng)t0（2）根據(jù)定義有：=37在如下圖所示的R-C電路系統(tǒng)中，如果輸入電壓為其中在（0，1）區(qū)間上服

13、從均勻分布，在（0，2）上服從均勻分布，且與相互獨(dú)立。試分別同時(shí)間域法和頻率域法求輸出電壓的自相關(guān)函數(shù)。解：way1：采用時(shí)間域法。因?yàn)樵搯栴}的輸出電壓滿足的微分方程為令則有在上面的方程兩邊取雙邊Laplace變換有：則而脈沖響應(yīng)函數(shù)為再求的自相關(guān)函數(shù)。= =（當(dāng)時(shí)）由于為偶函數(shù)，故對任意的有way2:采用頻域法求解=而=38在如下圖所示的R-L電路系統(tǒng)中，輸入電壓是譜密度為S0的噪聲，試同頻率分析法求系統(tǒng)的輸出電壓的自相關(guān)函數(shù)。解：由電路知識有輸入電壓和輸出電壓滿足如下方程：兩邊對t求導(dǎo)有：取雙邊Laplace變換有：= 39：沒有一系統(tǒng)，如下圖所示，X（t）是輸入，Z（t）是輸出，試求：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）當(dāng)系統(tǒng)的輸入是譜密自噪度為S0的聲時(shí)，輸出Z（t）的均方解：（1）該系統(tǒng)滿足下面的方程 兩邊對t求導(dǎo)有 兩對兩邊作雙邊拉普拉氏變換有 其中、X（p）分別為Z（t）和X（t）的雙邊Laplace變換結(jié)果 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(2)求的均方值注意：40：一個(gè)平衡過程X（t）通過一個(gè)微分分器，其輸出過程為，試求：（1）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)；（2）輸入與輸出的互譜密度，（3）輸出的功率譜密度。解：（1）對的兩邊作雙邊La