1、第四章 隨機模型§4.1 顱內(nèi)壓與血流速度的關(guān)系問題1)    問題的提出正常人顱內(nèi)有一定的壓力，稱為顱內(nèi)壓。顱高壓是神經(jīng)科的急危重癥，是神經(jīng)內(nèi)外科病人死亡的第一原因。因此顱內(nèi)壓值的測定對臨床治療的決策起至關(guān)重要的作用。目前，顱內(nèi)壓的定量測定均使用創(chuàng)傷性的方法。創(chuàng)傷性方法對患者的身體具有損害，且當(dāng)患者出現(xiàn)急性顱內(nèi)壓增高而需要盡快獲得實時的顱壓值時，創(chuàng)傷性的方法顯然不適宜。大量動物實驗及臨床腦血管造影觀察表明腦血循環(huán)和顱內(nèi)壓的改變關(guān)系密切。下表一數(shù)據(jù)來自北京市人民醫(yī)院神經(jīng)外科研究人員對5只兔子的實驗數(shù)據(jù)，其中ICP代表顱內(nèi)壓；V代表腦血流速度。試

2、根據(jù)此數(shù)據(jù)建立兔顱內(nèi)壓增高與腦血流速度的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。表一 急性ICP增高與對應(yīng)的V值 0.98 8321.96 7703.92 6174.90 268ICP(KPa)V(Hz/s)8.13 02） 問題的分析與假設(shè)顱內(nèi)壓與很多因素有關(guān)，血流速度是其中最重要的一個，簡化起見這里只考慮與血流速度的關(guān)系。本問題只給出了有限的實驗數(shù)據(jù)點，因此通?？梢韵氲接貌逯?、擬合或回歸的方法來求出顱內(nèi)壓與血流速度的關(guān)系?？紤]到顱內(nèi)壓與血流速度的隨機因素，這里選用回歸的方法來確定顱內(nèi)壓與血流速度的關(guān)系。注意到由于醫(yī)學(xué)上已有的關(guān)于顱內(nèi)壓和血流速度的定性關(guān)系較為豐富，建立基于微分方程的參數(shù)辨識模型也是可能的。因為所給

3、數(shù)據(jù)由實驗得到，難免有誤差，這里認(rèn)為它們是基本反映事實的，而不考慮實驗動物或?qū)嶒瀮x器本身不正常的特殊情況。3） 模型的建立與求解 將表一中的數(shù)據(jù)作圖，橫軸代表顱內(nèi)壓，縱軸代表血流速度，可以得到下面這張圖圖一 數(shù)據(jù)圖l 回歸模型根據(jù)回歸分析的使用經(jīng)驗可知，回歸分析常用于這樣的情況：雖然變量Y與變量X之間有一定的關(guān)系，但這種關(guān)系與通常的函數(shù)關(guān)系不同，Y的值不能由X的值精確確定。這里的顱內(nèi)壓與血流速度的關(guān)系即屬于這種情形。事實上影響或反映顱內(nèi)壓變化的因素很多，血流速度只是其中之一，只不過一般醫(yī)學(xué)界認(rèn)為它是一種主要因素，因此考慮它們二者的關(guān)系用回歸分析是可行的。設(shè)血流速度為V，顱內(nèi)壓為P，如果用直線回

4、歸方法，則有回歸式如下： V =+ e (1)其中，e 是隨機誤差，其數(shù)學(xué)期望為零。確定未知系數(shù)、的常用方法是最小二乘法，計算結(jié)果如下： = 987343 ， = -123.163利用Methematica 4.0 得到如下圖形，圖中的五個點是已知點:圖二 線性回歸觀察圖形可知，直線回歸效果并不是很好。根據(jù)散點圖嘗試采用指數(shù)回歸，可以獲得如下回歸式： （2）經(jīng)計算得到回歸方程對應(yīng)圖形如下: 圖二 指數(shù)回歸很明顯，從圖形上和從實際的誤差分析來看這個結(jié)果都要好得多。l      ICPV關(guān)系的Logistic模型這里用微分方程的方法建立另

5、外一個模型，以給出一個更好的結(jié)果。由已知的五個點的圖形可以假設(shè)所求函數(shù)的圖像應(yīng)為一個S型曲線，于是想到利用Logistic遞減模型。利用顱內(nèi)壓與血流速度的變化特點，可以建立顱內(nèi)壓血流速度的Logistic模型： （3）式中，r代表單位顱壓的變化引起的血流速度的變化率；V代表血流速度；P代表顱內(nèi)壓；代表平均正常血流速度；代表血流速度的變化?？梢钥闯?，右邊是一個小于0的數(shù)，說明在顱壓升高的過程中血流速度是不斷減小的。對等式（3）進(jìn)行變換得： ( 4 )從變換結(jié)果容易看出，血流速度V從減小到的過程中，不斷減小，并且當(dāng)達(dá)到時，達(dá)到最小值，即此時顱內(nèi)壓變化對血流速度的影響最大；當(dāng)血流速度由減小到0時，不斷增加，不斷趨近于0。令=832，對此模型進(jìn)行求解，得到： 其中C為積分常數(shù)。采用Newton-Gauss法，對該函數(shù)在已知數(shù)據(jù)點進(jìn)行最小二乘估計來確定模型參數(shù)r 、v，得結(jié)果為：r=1.74644，c= -7.84331。則函數(shù)最終關(guān)系確定為： （5）由此可得PV關(guān)系圖： 圖三 Logistic模型4）模型結(jié)果評價我們分別用不同的方法建立了兩個模型，其中第二個模型由于利用了顱內(nèi)壓變化對血流速度的一些結(jié)果，從而得到更符合實際的顱內(nèi)壓