1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案第五章 向量與空間解析幾何授課序號(hào)01教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第五章 第一節(jié) 向量及其運(yùn)算課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)數(shù)量積、向量積、垂直與平行教學(xué)難點(diǎn)向量積參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解空間直角坐標(biāo)系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積)，掌握兩個(gè)向量垂直、平行的條件，掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式

2、進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：1、 空間直角坐標(biāo)系：過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn)，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以為原點(diǎn)且具有相同的長(zhǎng)度單位，這三條數(shù)軸分別稱為軸（橫軸）、軸（縱軸）、軸（豎軸）、統(tǒng)稱坐標(biāo)軸. 其正向符合右手規(guī)則. 這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)、為空間兩個(gè)點(diǎn)，通過(guò)、各作三個(gè)分別垂直于三條坐標(biāo)軸的平面，這六個(gè)平面組成一個(gè)以、為對(duì)角線的長(zhǎng)方體，由此可得，即.2、向量的夾角將向量、的始點(diǎn)重合，在兩向量的所在平面上，若一個(gè)向量逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)角度后可與另一個(gè)向量正向重合，見(jiàn)圖5-8， 則稱為向量、的夾角，記作，即，3、向量的運(yùn)算以共起點(diǎn)向量、為平行四邊形相鄰兩邊

3、，以向量的起點(diǎn)作為起點(diǎn)的其對(duì)角線表示的向量為兩個(gè)向量的和，記為, 見(jiàn)圖5-14. 以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的對(duì)角線向量為向量的差. 記為. 設(shè)是一個(gè)數(shù)，向量與數(shù)的乘積規(guī)定為當(dāng)時(shí)，表示一向量，其大小，方向與同向；當(dāng)時(shí)，是零向量；當(dāng)時(shí)，表示一向量，其大小，方向與反向. 特別地，當(dāng)時(shí)，.4、向量的模、方向角設(shè)為任意一個(gè)向量，又設(shè)、為與三坐標(biāo)軸正向之間的夾角（），見(jiàn)圖5-22，,分別為向量的方向角. 由于向量坐標(biāo)就是向量在坐標(biāo)軸上的投影，故有，其中、稱為向量的方向余弦，通常用它表示向量的方向.由模的定義，可知向量的模為.或，由此可得，即任一向量的方向余弦的平方和為.5、數(shù)量積 給定向量與，

4、我們做這樣的運(yùn)算： 與及它們的夾角與的余弦的乘積，稱為向量與的數(shù)量積.記為，即 . （1）；（2）； （3）若，則.6、向量積 若由向量與所確定的一個(gè)向量滿足下列條件：（1）的方向既垂直于又垂直于, 的指向按右手規(guī)則從轉(zhuǎn)向來(lái)確定（2）的模 ，(其中為與的夾角)，則稱向量為向量與的向量積（或稱外積、叉積），記為.7、 向量的混合積定義3 設(shè)三向量，先作向量積，再作數(shù)量積，記作，稱為三個(gè)向量，的混合積. 設(shè)， ，二、定理與性質(zhì)：定理1 向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦，即.定理2 兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在軸上的投影的和. 定理3：.三、主要例題：例 1 證明以點(diǎn)、

5、及為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.例2 在軸上求與兩點(diǎn)和等距離的點(diǎn).例3 設(shè)、為軸上坐標(biāo)為，的任意兩點(diǎn)，又為與軸正向一致的單位向量（見(jiàn)圖5-18），則有.例4設(shè)和為空間兩點(diǎn)，而在直線上的點(diǎn)分有向線段為兩個(gè)有向線段與，使它們的模的比等于某數(shù)，即，求分點(diǎn)的坐標(biāo)，和. 例5 設(shè) 求 在y軸上的分向量.例6 設(shè)兩已知點(diǎn)和，分別寫出向量、的坐標(biāo)表達(dá)式和向表達(dá)式，計(jì)算它們的模、方向余弦、方向角、單位向量. 例7 求平行于向量的單位向量.例8 已知向量的模為 向量與軸和軸的夾角分別為和, 如果的坐標(biāo)為(1, 0, 3), 求的坐標(biāo).例9 利用向量證明不等式:其中為任意常數(shù),并指出等號(hào)成立的條件.例10 已知 求

6、(1) (2) 與的夾角; (3) 與上的投影.例11 已知，試求.例12 液體流過(guò)平面上面積為的一個(gè)區(qū)域，液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為（常向量），設(shè)為垂直于的單位向量，計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向所指一方的液體的重量（液體的比重為）.例13 求與都垂直的單位向量.例14 在頂點(diǎn)為和的三角形中, 求邊上的高.例15 設(shè)向量?jī)蓛纱怪? 符合右手規(guī)則, 且 計(jì)算例16 設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.例17 已知, 計(jì)算例18 已知空間內(nèi)不在同一平面上的四點(diǎn)求四面體的體積.例19 已知, 求一單位向量 使, 且與此同時(shí)共面.授課序號(hào)02教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第五章

7、 第二節(jié) 第二節(jié) 平面及其方程課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)平面方程教學(xué)難點(diǎn)平面方程參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求掌握平面的方程及其求法，會(huì)利用平面的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：二、定理與性質(zhì)：1、平面的點(diǎn)法式方程 2、平面的一般方程 3、平面的截距式方程4、兩平面的夾角設(shè)平面的方程為，平面的方程為，.5、點(diǎn)到平面的距離設(shè)為平面外的一點(diǎn)， .三、主要例題：例1 求過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面的方程.例2

8、 求過(guò)點(diǎn)、及的平面的方程.例3 求通過(guò)軸和點(diǎn)的平面方程.例4 設(shè)一平面與、軸分別交于點(diǎn)、，求這個(gè)平面的方程.例5 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:(1) (2) 例6 求平面, 使其滿足:(1) 過(guò)軸;(2) 與平面夾角為.例7 一平面通過(guò)兩點(diǎn)和且垂直于平面，求該平面方程.例8 求兩平行平面：和： 之間的距離.例9 求平行于平面, 且與球面相切的平面的方程.授課序號(hào)03教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第五章 第三節(jié) 直線及其方程課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)直線方程教學(xué)難點(diǎn)線線關(guān)系、線面關(guān)系參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分

9、武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求掌握直線的方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：二、定理與性質(zhì)：1、空間直線一般方程2、對(duì)稱式方程及參數(shù)方程給定直線上的一點(diǎn)及一個(gè)方向向量，即有，若設(shè)，則有參數(shù)方程.3、兩直線的夾角兩直線的方向向量之間的夾角（通常取銳角）稱為兩直線的夾角，即或兩者中的銳角.設(shè)：，其中，：，其中，則；4、直線與平面的夾角設(shè)直線：，平面：，則，因此.5、平面束通過(guò)定直線的平面的全體稱為過(guò)該直線的平面束，有時(shí)候用平面束解題非常方便，現(xiàn)在我們來(lái)介紹它的方程.設(shè)直線：

10、，其中系數(shù)與不成比例，則過(guò)該直線的平面束方程為 三、主要例題：例1 （1）求過(guò)點(diǎn)且分別與兩個(gè)平面和平行的平面與的方程.（2）平面與的交線方程.例2 用點(diǎn)向式方程或參數(shù)方程表示直線.例3 求過(guò)點(diǎn)和的直線方程.例4 求直線：和直線：的夾角.例5 求過(guò)點(diǎn)且與兩平面和的交線平行于的直線方程.例6 求過(guò)點(diǎn)M(2, 1, 3)且與直線垂直相交的直線方程.例7 設(shè)直線平面求直線與平面的夾角.例8 過(guò)直線作平面, 使它垂直于平面例9 在一切過(guò)直線 的平面中找出平面, 使原點(diǎn)到它的距離最長(zhǎng).例10 一平面過(guò)直線且與平面成角，求該平面方程.授課序號(hào)04教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第五章 第四節(jié) 曲面與曲線課的類

11、型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)二次曲面的方程及其圖形教學(xué)難點(diǎn)交線的投影參考教材同濟(jì)版、人大版高等數(shù)學(xué)；同濟(jì)版微積分武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問(wèn)題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程，了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解曲面的交線在坐標(biāo)平面上的投影教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、基本概念：二、定理與性質(zhì)：1、曲面方程的概念 如果曲面，與三元方，程滿足下列關(guān)系：（1）曲面上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；（2）不

12、在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程，則稱為曲面的方程，而曲面稱為方程的圖形.2、旋轉(zhuǎn)曲面 一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，這條定直線就叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.設(shè)在坐標(biāo)面上有一已知曲線，將繞軸旋轉(zhuǎn)就得到一個(gè)以軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面S: .3、柱面平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線形成的軌跡叫做柱面. 其中定曲線稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線稱為柱面的母線.一般地，設(shè)有一柱面，準(zhǔn)線是面上的曲線，則其方程為 4、二次曲面我們將三元二次方程所表示的曲面就叫做二次曲面.1）、橢球面: 2）、二次錐面（橢圓錐面）由方程、所確定的曲面稱為二次錐面（橢圓錐面）.3）、拋物面由方程所確定的曲面稱為橢

13、圓拋物面.由方程所確定的曲面稱為雙曲拋物面（馬鞍面）.4）、雙曲面由方程,確定的曲面稱為單葉雙曲面.由方程,所確定的曲面稱為單葉雙曲面.5、空間曲線及其方程1）、空間曲線的一般方程空間曲線可看作是兩個(gè)相交曲面的交線，即若設(shè)二個(gè)相交曲面的方程分別是和，則就表示其交線的方程.2）、空間曲線的參數(shù)方程空間曲線也可以將其看作空間點(diǎn)移動(dòng)的軌跡而形成曲線的參數(shù)方程. 即有其中，是連續(xù)的.6、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線方程為 消去可得方程， 因此曲線在面上的投影曲線為三、主要例題：例1 建立球心在點(diǎn)，半徑為的球面的方程.例2 求與原點(diǎn)O及的距離之比為1:2的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.例3 求到兩定點(diǎn)和等距離的點(diǎn)的幾何軌跡.例4 方程表示什么樣的曲面？例5 方程的圖形是怎樣的?例6 直線繞另一條與相交的定直線旋轉(zhuǎn)一周, 所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為叫圓錐面. 兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面的頂點(diǎn), 兩直線的夾角稱為圓錐面的半頂角. 試建立