1、第1 1頁共 2323 頁2020 屆吉林省延邊州高三下學(xué)期 4 月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知全集I 1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A 3,4,5,6，集合B 5,6,7,8，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A A.3,4,7,8B B.3,4,5,6,7,8C C.1,2,9D D.5,6【答案】A A【解析】由圖象可知陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為（AUB）ICI（AI B），根據(jù)集合的運(yùn)算，即可求解. .【詳解】由題意，全集I 1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A 3,4,5,6，集合B 5,6,7,8,可得AUB 3,4,5,6,7,8, AI B 5,6,所以C

2、|(AI B) 1,2,3,4,7,8,9,由圖象可得陰影部分表示的集合為（AUB）I C|（AI B） 3,4,7,8. .故選：A.A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合基本概念及運(yùn)算，其中解答中利用圖象先確定集合關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力 122 2 .復(fù)數(shù)1 i的實(shí)部為a，虛部為b，則a b（）1 iA A .3B B.2C C. 2 2D D. 3 3【答案】B B【解析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得a,b的值，即可求解，得到答案第2 2頁共 2323 頁【詳解】第3 3頁共 2323 頁121 i1115由題意，復(fù)數(shù)1 i2ii2i -i,1 i1 i 1i222

3、2十,151 5所以a -,b，則a b2. .222 2故選：B.B.【點(diǎn)睛】A A.81B B.9C C. 9 9D D . 8181【答案】D D【解析】利用兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得x,y的值，即可得到答案 【詳解】rrr由題意，向量a x,1,b 2,y,c 4,2,r rx 1因?yàn)閍/c，可得，解得x 2,42rrrr r r“r r22又由aba,所以abaaa b212 2 1 y 0,解得y 9,所以yx（ 9）281. .故選：D.D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的平行與垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力 4 4 .九章算術(shù)

4、.均輸中有如下問題：今有五人分十錢，令上二人所得與下三人等，上下人差均等，問各得幾何.”其意思為 已知甲？乙? ?丙 ? ?丁? ?戊五人分 1010 錢，甲？乙兩人所得與丙 ? ??。课烊怂孟嗤?，且甲？乙？丙? ?丁？戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？” （錢”是古代的一種重量單位）.這個(gè)問題中，乙所得為（）A A .錢B B.7錢C C .8錢D D .錢333 33【答案】B B【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列an，公差為d,根據(jù)題意列出方程，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算, 確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力其中解答中

5、熟記復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)X,17rCy第4 4頁共 2323 頁【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列an，公差為d,由題意可得a1a3a3a4a5,a1a3a3a4a510,所以231d3a19d,2a1d 5，解得a18,d133所以a281 7-錢33 3故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用， 其中解答中認(rèn)真審題,合理利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程求得a1,d是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力 5 5 要得到y(tǒng)sin 2x的圖象，只需將3ycos2x的圖象（）A A .向左平移55個(gè)單位長(zhǎng)度B B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度12

6、6C C.向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度D D.5向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度126【答案】C C【解析】 根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求解【詳解】5將函數(shù)y cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,12象 故選：C.C.【點(diǎn)睛】記三角函數(shù)的圖象變換規(guī)則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力由題可得y5cos2(x ) cos(2 x12)sin(2 x65)-si n(2x即只需將y cos2x的圖象向右平移512個(gè)單位長(zhǎng)即可得到y(tǒng) sin2x1的圖本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，其中解答中熟第5 5頁共 2323 頁6 6 .命題對(duì)x 1,2,ax2x a11A

7、 A.aB B.a220”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）C C -a 2D D -ai i第6 6頁共 2323 頁的取值范圍是解答的關(guān)鍵， 著重考查了轉(zhuǎn)化思想， 以及推理與計(jì)算能力 7 7.在正方體ABCD AiBICIDI中，點(diǎn)E? ?F? ?G分別為棱AiDi、AiA、AiBi的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：EF BiC:BCi平面EFG;異面直線FG,BQ所成角的大小為一；AiC平面EFG.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）4A A .B B.C C .D D .【答案】D D【解析】根據(jù)題意畫出圖形，利用空間中的直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關(guān)系，逐一判定，即可求解 【詳解】如圖所示

8、，對(duì)于中，連接ADi，則EF /BCi，而BCiDC，則EF BiC，所以是正確的；對(duì)于中，因?yàn)镋F /BCi,EF平面EFG,BCi平面EFG，所以BCi/平面EFG，所以是正確的；對(duì)于中，F(xiàn)G /A0，所以ABiC為異面直線FG和B.C所成角，連接AC，可得【答案】C C【解析】根據(jù)命題為真命題求出命題的等價(jià)條件, 即可求解. .結(jié)合充分不必要條件的定義進(jìn)行判斷,【詳1,2，ax2x a 0”等價(jià)于x 1,2 ,axx21令f x又由當(dāng)要使得故選：C.C.【點(diǎn)本題主要考查了充分條件和必要條件的判定及應(yīng)用,其中解答中根據(jù)恒成立求得實(shí)數(shù)a由題意，命題対x則a1成立的一個(gè)充分不必要條件是a 2.

9、 .2詔，第7 7頁共 2323 頁AB1C為等邊三角形，所以ABIC-，即異面直線所成的角為3，所以不正確;對(duì)于中，ACIEF , ACIEG,EF I EG E，所以ACI平面EFG，所以是正 確的. .故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中的直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記空間中的線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力. .圓C的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(4或k 033或k3 14形為正方形，進(jìn)一步用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解【詳解】圓C的兩條切線互相垂直，如圖所示，根據(jù)過點(diǎn) P P 的圓C的兩

10、條切線互相垂直，可得四邊形APBC為正方形,所以PC . ( 2)2( 2)22，“ c、，k 2 428 8.已知圓C: x 12，若直線ykx 4上總存在D D.k3 1【答案】A【解析】直接利用直線和圓的位置關(guān)系,由于存在點(diǎn) P P 使圓的兩條切線垂直， 得到四邊由題意，圓C : x2y 22,若直線ykx 4上總存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P的第8 8頁共 2323 頁所以只需圓心(1, 2)到直線ykx4的距離d2,4第9 9頁共 2323 頁解得k或k 0. .3故選：A.A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 9 9.

11、 20132013 年 5 5 月，華人數(shù)學(xué)家張益唐教授發(fā)表論文素?cái)?shù)間的有界距離，破解了 孿生素?cái)?shù)猜想”這一世紀(jì)難題，證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式孿生素?cái)?shù)就是指相差2 2 的1B B.5【答案】B B件，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解【詳解】2由題意，從 6 6 對(duì)數(shù)據(jù)中選出兩對(duì)，共有C615種不同的選法,其中符合題意取出 4 4 個(gè)素?cái)?shù)的和大于 100100 的有29,31 和41,43,17,19和41,43,11,13和41,43,共有 3 3 種不同的選法，所以取出 4 4 個(gè)素?cái)?shù)的和大于 100100 的概率為-1. .15155 5故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型

12、的概率計(jì)算公式的應(yīng)用，其中解答中列舉出所求事件所包含的素?cái)?shù)對(duì)，最小的 6 6 對(duì)孿生素?cái)?shù)是 3,53,5 ,5,7,11,13,17,19,29,31,41,43.現(xiàn)從這 6 6 對(duì)孿生素?cái)?shù)中取 2 2 對(duì)進(jìn)行研究,則取出的 4 4 個(gè)素?cái)?shù)的和大于 100100 的概率為（）【解析】根據(jù)題意先找出符合題意的所有基本事件,再找出所求事件中所包含的基本事22第1010頁共 2323 頁基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力22第1111頁共 2323 頁作正三角形 MFMF1F F2，若邊MF!的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A.A. -B B.2.3 1C C.4

13、 2,3D D.3 12【答案】D D【解析】先根據(jù)雙曲線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得三角形的高，得到點(diǎn)M M 的坐標(biāo),再求得點(diǎn) N N 的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程求得a,b,c的關(guān)系，即可求得雙曲線的離心率 【詳解】即等邊三角形 MFMF的邊長(zhǎng)為 2c2c，所以MF1F2的高為、3c，即M （0, . 3c）,整理可得b2c23a2c24a2b2,兩邊同除 a a4，可得e48e240,解得e24 2-3,又因?yàn)閑 1，所以e24 2.3，即e 3 1. .故選：D.D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求雙曲線的離心率（或范圍），常c見有兩種方法：求出a,c，代入公式e一

14、；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,ca的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e e 的方程，即可得 e e 的值（范圍）.1111.三棱錐P ABC內(nèi)接于半徑為 2 2 的球中，PA平面ABC，BAC -，2BC 2 &，則三棱錐P ABC的體積的最大值是（）又由b2c2a2，可得c4a2c23a2c22 244a c 4a,1010 .已知Fi,xF2是雙曲線ab2a 0,b0的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊2由題意，雙曲線篤a2y_1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（c,0）, F2（C,0），所以F1F22c,代入雙曲線的方程x22yb22c1，可得與a3c21,22第1212頁共 23

15、23 頁A A .4逅B B.22C C.4V2D D .4234第1313頁共 2323 頁【答案】C C【解析】利用已知條件求出三棱錐的高，然后求解三棱錐的體積的表達(dá)式，進(jìn)而求得體積的最大值，得到答案 【詳解】由題意，三棱錐P ABC內(nèi)接于半徑為 2 2 的球，PA平面ABC，BAC -，2BC 2 2，2 2 2 2可得棱錐的高為PA，則2R即16 8 PA,解得PA 2/2, ,則三棱錐的體積為11V242 AB2AC24血VAB AC PAAB AC, ,3 23323當(dāng)且僅當(dāng)AB AC 2時(shí)，三棱錐的體積取得最大值4. 2. .3故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱錐體積的求法

16、，幾何體外接球的性質(zhì)，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題 1212 .已知函數(shù)，若方程 f f (x x)=口有 4 4 個(gè)不同的實(shí)根 x xi, X X2,八丿-x-8x4-lb,x 3X X3, X X4,且 X X1 X X2VX X3VX X4,則(匕 + 丄)(X X3+X+X4)= =()A A . 6 6B B. 7 7C C. 8 8D D. 9 9【答案】C C【解析】畫出 f f (X X)的圖象，由對(duì)稱性可得 X X3+X+X4= 8 8 ,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得 X X1X X2= X X 什 X X2, 代入要求的式子，可得所求值.【詳解】作

17、出函數(shù) f f(X X)二川血 1 1 玄一 1 1 兒的圖象如圖，I艾亠8上 +IEf f (X X)= m m 有四個(gè)不同的實(shí)根 X X1, X X2, X X3, X X4且X X1 X X2 X X3 X X4, 可得 X X3+X+X4= 8 8,且 |log|log2( X X1- 1 1 ) | |= |og|og2(X X2- 1 1) | |,即為 loglog2(X X1- 1 1) +log+log2(X X2- 1 1)= 0 0,即有(X X1- 1 1) ( X X2- 1 1 ) = 1 1,即為 X X1X X2= X X1+X+X2,第1414頁共 2323

18、頁可得(_L_L j_j_ J J)( X X3+X+X4)= X X3+X+X4= 8 8 故選：c c.yJI.七“入/_ T01234- J-【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和應(yīng)用，考查圖象的對(duì)稱性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題56781313 .在1 X 1 X 1 X 1 X的展開式中，含X5的項(xiàng)的系數(shù)是_【答案】84【解析】利用二項(xiàng)式定理求得x5的系數(shù)的表達(dá)之，再利用組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解 【詳解】,卄、z5678由題意，在1 X 1X 1X1X的展開式中，含X5的項(xiàng)的系數(shù)為Cs(1)5C；( 1)5C；( 1)5Cs( 1)584. .故答案為：84. .【點(diǎn)睛】本題

19、主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及組合數(shù)的計(jì)算，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. .a61414.在等比數(shù)列an中，若a5a74印a?，則_a2【答案】4 4【解析】 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題設(shè)條件，求得數(shù)列的公比，代入即可求得結(jié)果【詳解】玄5玄74由題意，等比數(shù)列an中，若a5a74冃a3，可得q 4,a1a3第1515頁共 2323 頁又由a6a25aq 4 / q 4. .dq故答案為：4. .【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力1515 若函數(shù)f X與g X滿足：存在實(shí)數(shù)t，使得【詳解】所

20、以kxln x 1有解，即h :x1xxln x 11有解，x令h xxln x 1，則h x1 In x2xx設(shè)x1 In x12,則x14 0,所以x在（0,xxx因?yàn)?1 In11 0,所以當(dāng)x1時(shí)，hx 0，當(dāng)0 x 1時(shí)，hx 0,所以h x在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減， 在區(qū)間（1,）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1，函數(shù)h xminh(1)2所以k2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是2,). .故答案為:2,)）上單調(diào)遞增,t g t，則稱函數(shù)g x友導(dǎo)”函數(shù)已知函數(shù)g X23為函數(shù)f x x Inx x的導(dǎo)”函則k的取值范【答2,；【解首先求出g x的導(dǎo)數(shù),由題意可知kx2x In x x有解，即k x

21、ln1有解，令h xxx In x 1求得h x的最值，即可求解. .由題意，函數(shù)x Ikx2x23，可得gkx 1,因?yàn)楹瘮?shù)Inx x的友導(dǎo)”函數(shù),第1616頁共 2323 頁本題主要考查了函數(shù)的新定義，以及利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中合理構(gòu)造新函數(shù)，數(shù)列應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，【點(diǎn)睛】著重考查了分離參數(shù)第1717頁共 2323 頁思想，構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力 1616數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美？寓意美好的曲線，曲線C：X2y2l|xy就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：1曲線C恰好經(jīng)過 6 6 個(gè)整點(diǎn)（即橫？縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；2曲線C上存在到原點(diǎn)的距離

22、超過、2的點(diǎn)；3曲線C所圍成的 心形”區(qū)域的面積小于 3 3.其中，所有錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是 _.【答案】【解析】 將x換成x方程不變，得到圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，分類討論，逐一判定，即可求解 【詳解】將x換成x方程不變，所以圖形關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)x 0時(shí)，方程變換為y2xy由x24（x21） 0,解得x所以x只能去整數(shù)1,當(dāng)x 1時(shí)，（1,0）,（1,1）,根據(jù)對(duì)稱性可得曲線還經(jīng)過（1,0），（ 1,1）,所以曲線一共經(jīng)過 6 6 個(gè)整點(diǎn)，所以是正確的；2 2當(dāng)x 0時(shí)，由x2y21 xy，可得x2y21 xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取2等號(hào)，當(dāng)x 0時(shí)，代入可得1， 即曲線經(jīng)過點(diǎn) （0,10,1）

23、 ， （0 0， 1 1） ,0或y 1，即曲線經(jīng)過第1818頁共 2323 頁所以x2y22，所以,x2y22,即曲線C上y軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過2,根據(jù)對(duì)稱性可得：曲線 C C 上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，所以不正確；如圖所示，在x軸上圖形的面積大于矩形ABCD的面積：S 1 22，x軸下方的1面積大于等腰三角形ABE的面積：S22 2 1 1,所以曲線 C C 所圍成的 心形”區(qū)域的面積大于2 13，所以不正確的 故選： 1y1L*y【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，以及曲線與方程的應(yīng)用， 其中解答中合理利用圖形的對(duì)稱性，逐一判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想

24、，以及推理與運(yùn)算能力 三、解答題1717 .在銳角ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且43asin BcosB b cosAsinBc.2(1) 若2a 3c 6，求邊b的大?。?(2)若cos AcosC且 b b 2 2 3 3，求ABC的面積.4【答案】(1 1) -、7(2 2)3 3【解析】(1)1)利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)整理得sinBsinC丄3sinC,2求得sin B的值，進(jìn)而得到cosB的值，最后利用余弦定理，即可求解. .3(2 2)根據(jù)題設(shè)條件，求得sin Asi nC,再利用正弦定理，求得b2ac，得到第1919頁共 2323 頁4ac 1

25、2，利用三角形的面積公式，即可求解【詳解】/3第2020頁共 2323 頁()由題意，在ABC中，因?yàn)閍sin BcosB bcosAsinB c,2、1所以SABCacsin B2【點(diǎn)睛】余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解 是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題 1818已知ABC中，ABC 90,AC 2、6,BC 2.2，D,E分別是AC,AB的中點(diǎn)，將ABC沿DE翻折，得到如圖所示的四棱錐P BCDE，且PEB 120，設(shè)F為PC的中點(diǎn).由正弦定理，可得si n As in B c

26、osBsin B cos As inB2sinC,即sinBsin A cos B cos Asin B3sin C，即sin Bsin A2于sinC,又由AB C，所以sinsinC，所以sin BsinC-JsinC,2在銳角ABC中，可得B,C(0,)，所以sinC 0,cos B23所以sin B -,2由三角函數(shù)的基本關(guān)系式,可得廠1cosB 1 sin B一2又由已知得a 3，c2，所以b22 2a c 2accosB解得b ,7. .(2(2)由cos A C cosAcosCsin Asin CcosB1因?yàn)閏os A cosC，所以4sin Asi nCa a由正弦定理得s

27、insin A Ab bsinsin B B爲(wèi)，可得acsin Asin Cb2sin2B，ac所以34b23， 整理得b4ac，又因?yàn)?b b2 2 3 3，可得b212，即ac12，本題主要考查了正弦定理、如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E xyz.第2121頁共 2323 頁(2)求直線PD與平面PBC所成角的的正弦值.【答案】(1 1)證明見解析(2 2)丄66【解析】(1 1)取BC的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，得到四邊形BGDE是平行四邊形，得出DG/BE,DE/BC,從而DE BE,DE PE,證得DE平面PBE, BCBC 丄 平面PBE，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理， 證得 BCBC 丄平

28、面DFG,即可得到BC DF.(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED為x軸，EB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E xyz，求得向量PD和平面PBC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解【詳解】(1) 取BC的中點(diǎn)G，連接DG,FG，可得DE BG，且DE/BG,所以四邊形BGDE是平行四邊形，所以DG/BE,因?yàn)镈,E分別是AC,AB的中點(diǎn)，所以DE/BC,因?yàn)锳BC 90，所以DE BE,DE PE,又因?yàn)镻E BE E,且PE,BE平面PBE,所以DE平面PBE，所以 BCBC 丄平面PBE,因?yàn)镻B平面PBE，所以BC PB,因?yàn)镕,G分別為PC,BC的中點(diǎn)，故FG/PB,所以BC FG，

29、又BC BE,DG/BE，所以BC DG.又因?yàn)镕G I DG G，又FG,DG平面DFG，所以 BCBC 丄平面DFG,又由DF平面DFG，所以BC DF.JX-E J J(1)證明：BCDF;第2222頁共 2323 頁(2)由(1 1)知：DE平面PBE，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED為x軸，EB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E xyz.第2323頁共 2323 頁因?yàn)镻EB 120，可得PEH 30,在VABC中,ABC 90 ,AC 2、6,BC 2 2，可得AB ._BC 4，所以PE 2,ED . 2，所以點(diǎn)P到 z z 軸的距離為 1 1,可得P 0, 1, ,3，D . 2,0,

30、0，B 0,2,0，C 2一2,2,0即直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解1919 .某村為了脫貧致富， 引進(jìn)了兩種麻鴨品種，一種是旱養(yǎng)培育的品種，另一種是水養(yǎng) 培育的品種.為了了解養(yǎng)殖兩種麻鴨的經(jīng)濟(jì)效果情況，從中隨機(jī)抽取 500500 只麻鴨統(tǒng)計(jì)了它們一個(gè)季度的產(chǎn)蛋量（單位：個(gè)），制成了如圖的頻率分布直方圖，且已知麻鴨的產(chǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了線面位置關(guān)系的判定與證明,以及空間角的求解問題

31、，意在考查學(xué)生的空間uuu則PB- uuu0,3,. 3，BC22,0,0，PD- 2,1, . 3，設(shè)平面PBC的法向量為nx,y,zv uuvn PB 3y J3z所以vuuivn BC 2.2x 0，解得3y，令y 1，可得n 0,1, . 3，0設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為r umr cosn,PDr uuurn PD ruuurn|PD_2_2、6;66，第2424頁共 2323 頁蛋量在85,105的頻率為 0.660.66.如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E xyz.第2525頁共 2323 頁2(2)已知本次產(chǎn)蛋量近似服從X N,(其中近似為樣本平均數(shù)，2似為樣本方差).若本村約有

32、 1000010000 只麻鴨，試估計(jì)產(chǎn)蛋量在110120110120 的麻鴨數(shù)量(以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的取值).(3) 若以正常產(chǎn)蛋 9090 個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，大于 9090 個(gè)認(rèn)為是良種，小于 9090 個(gè)認(rèn)為是次種根據(jù) 統(tǒng)計(jì)得出兩種培育方法的2 2列聯(lián)表如下，請(qǐng)完成表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并判斷是否有 99.5%99.5%的把握認(rèn)為產(chǎn)蛋量與培育方法有關(guān).良種次種總計(jì)旱養(yǎng)培育160160260260水養(yǎng)培育6060總計(jì)340340500500附：X : N ,2，則PX0.6827,P2 X20.9545,P3X30.9973n adbe2K2- ，其中n abed.abeda e b dP K

33、2k。0.1500.1500.1000.1000.0500.0500.0250.0250.0100.0100.0050.0050.0010.001k02.0722.0722.7062.7063.8413.8415.0245.0246.6356.6357.8797.87910.82810.828【答案】(1 1)a 0.042,b 0.02(2 2) 13591359 只(3 3)見解析，有 99.5%99.5%的把握認(rèn)為產(chǎn)蛋量與培育方法有關(guān).第2626頁共 2323 頁【解析】（1 1）利用頻率分布直方圖求出對(duì)應(yīng)的頻率值，進(jìn)而求得（2 2） 根據(jù)題意計(jì)算,2的值，利用正態(tài)分布的性質(zhì)，即可求解P

34、 110 X 120，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)的數(shù)值；（3 3） 根據(jù)題意補(bǔ)充2 2的列聯(lián)表，計(jì)算K2的值，對(duì)照臨界值表，即可得到結(jié)論 【詳解】（1 1）由頻率分布直方圖，可得產(chǎn)蛋量在85,105的頻率為 0.660.66,可得產(chǎn)蛋量在85,105的麻鴨數(shù)量為500 0.66330（只）所以產(chǎn)蛋量在75,85的麻鴨數(shù)量為0.006 10 50030（只）產(chǎn)蛋量在85,95的麻鴨數(shù)量為0.024 10 500120（只）產(chǎn)蛋量在115,125的麻鴨數(shù)量為0.008 10 50040（只）所以a 330 120500 10 0.042,（2 2）由平均數(shù)的計(jì)算公式，可得:丄丄P 100 2 10 X 100

35、2 102100 10 1(0.95440.6827)0.1359,2所以 1000010000 只麻鴨中估計(jì)產(chǎn)蛋量在 110120110120 的麻鴨數(shù)量為0.1359 10000 1359（只）（3 3）根據(jù)題意，得到2 2列聯(lián)表：良種次種總計(jì)旱養(yǎng)培育100100160160260260水養(yǎng)培育6060180180240240總計(jì)160160340340500500b 500 330 30 40500100.02. .a,b的值;5008030 90 120 100210 110 100 120 401002150030100802120100 902210 100 1002100 100

36、110240100 120100，即10,又由P 110 X 120P 100 10 X第2727頁共 2323 頁500 100 180 60 160260 240 160 340所以有 99.5%99.5%的把握認(rèn)為產(chǎn)蛋量與培育方法有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，以及正態(tài)分布曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及運(yùn)算能力a2020 .已知函數(shù)f x Inx x.x(1)若 a a 1 1，求曲線f x在點(diǎn)1,f 1處的切線方程；1x 2(2)對(duì)任意的x,xf x e x恒成立，請(qǐng)求出 a a 的取值范圍.2-1 1【答案】(1 1) y y

37、 x x 1 1 (2 2)a e2 In 22【解析】(1 1 )求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng) a a 1 1 時(shí)，可求f (1)、f (1)，根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方 程。1X2(2 2)利用參變分類法，已知對(duì)任意的x,xf x e x恒成立，即2在給定的區(qū)間上的最小值。【詳解】1 1解：(1 1)因?yàn)?a a 1 1，所以f (x)21,f (1) 1,f (1)2,x x所以切線方程為 y y X X 1 1.x 21(2 2)不等式xf (x) exx2，對(duì)任意的x 2，恒成立，即a exxInx對(duì)任意的x1一,恒成立.2令v(x)exxlnx,則v (x)1exIn x 1，令(x) exIn

38、x 1，則(x) exx易知(x)在丄，上單調(diào)遞增,2所以K210.393 7.879，x1a exlnx對(duì)任意的x2恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)v(x) exxl nx1 1 - - 1 1因?yàn)?e2 2 0,(1) e10，且(X)的圖象在-,1-,1 上連續(xù)，1X1所以存在唯一的x0,1，使得(x0) 0，即e00,則x0ln x0.2X01當(dāng)X-,X0 時(shí)，(x)單調(diào)遞減；當(dāng)X (X0,)時(shí)，(X)單調(diào)遞增.2則(x)在X X0處取得最小值,且最小值為X)eln X01丄X1 X。2JX0X11 0,所以v (x)10，即v(x)在,2上單調(diào)遞增，1所以a e21. 1 ln2 2【點(diǎn)睛

39、】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及利用導(dǎo)數(shù)取函數(shù)的最值問題，屬于中檔題。2121.已知橢圓2 2xyC.21 aa310的右焦點(diǎn)22F在圓D : x 2y 1上，直線l: x my 3 m 0交橢圓于M,N兩點(diǎn).(1) 求橢圓C的方程；ujunLOT，亠(2) 若OM ON(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值;(3)設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為N(N1與點(diǎn)M不重合)， 且直線N1M與x軸交于點(diǎn)P, 試問VPMN的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理 由.2 2(1) zy123值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;uurON，列出方程，求得m的值，即可得到結(jié)論;(3(3)由橢圓的對(duì)稱性可得M為， ,N1

40、X2, y得出 MNMN 的直線方程，求得與x軸第 1919 頁共 2323 頁【答(3(3)存在，最大值為I.I.【解(1(1)由圓D: x1，令y0，求得c 3或c 1，進(jìn)而求得a2的(2)把直線 MNMN 的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合uuuuOM1第2929頁共 2323 頁的交點(diǎn)所以P，得到【詳解】(1)由題意，圓D:即圓又由FPD與x軸交點(diǎn)分別為b23，因?yàn)閍2又因?yàn)閍,10，所以(2(2)設(shè) M M聯(lián)立方程組所以y-iy2UJIW因?yàn)镺M代入可得所以mb2X1, y1，Nx2x12my2y33,0c2利用三角形的面積公式和基本不等式，即可求解y21,，1,

41、0，所以c，所以a212或a12，故橢圓方程是x2, y2，整理得14 y2解得x1,1. .6my 36mm24，則mx2(my13)(my23)236 12m22A -，m 4uurON，可得OM36 12m2m24uuuuuuirON3m24m為定值. .360，所以12m2m2(3(3)由橢圓的對(duì)稱性可得 M M 為，屮，y所以直線MN1的方程為 -y1y2y1X2x-|x2y20，可得xPy1X2人y1y2所以P(4,0)，得到FP1. .所以SABCFP* y22m 122m 4N1x2,2m%y2，解得y2，1143 y1y2* y24yy36m212m2412彳彳9m 12m第3030頁共 2323 頁29當(dāng)且僅當(dāng)m21 時(shí)，即m、2時(shí)取等號(hào)，所以VPMN的面積最大值為m 11.1.【點(diǎn)睛】本題