1、異面直線所成角的幾種求時(shí)間：2021.03.01創(chuàng)作：歐陽語異面直線所成角的大小，是由空間一點(diǎn)分別 引它們的平行線所成的銳角（或直角）來定義 的。因此，通常我們要求異面直線所成的角會(huì) 要求學(xué)生通過平移直線，形成角，然后在某個(gè) 三角形中求出角的方法來得到異面直線所成角 的大小。在這一方法中，平移直線是求異面直 線所成角的關(guān)鍵，而如何平移直線要求學(xué)生有 良好的空間觀和作圖能力。一、向量法求異面直線所成的角例1:如圖，在正方體ABCD-AB|GD|中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面BCC|B|及CDDjC,的中心。求AE和BF所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直如可平移其中一條直線，也可平移兩

2、條直線豹棄7二;Bi1/個(gè)點(diǎn)上。作法：連結(jié)BjE,取BQ中點(diǎn)G及AQ中AH,連結(jié)GH,有GH/MjEo過F作CD的平行線RS,分別交CCP DD,于點(diǎn)R、S,連結(jié)SH,連結(jié)GSo由 B1H/CP/FS, BiH二FS,可得 B】F/SH。在厶GHS中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為肌V6GH=a （作直線GQ/BC交BB于點(diǎn)Q,連QH,可知 GQH為直角三角 形），V6HS二亍。（連A】S,可知 HAQ為直角三角形），丄/.CosZGHS=6 o所以直線A】E與直線B】F所成的角的余弦值為6O解法二：（向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體， 所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利 用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空

3、間中每一個(gè)向量，從而可以 用向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BB【 為z軸，設(shè)BC長(zhǎng)度為2。則點(diǎn)A.的坐標(biāo)為（0, 2, 2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（），1）,點(diǎn)B】的坐標(biāo)為（），（），2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 1, 1）；所以向量“的坐標(biāo)為（-1 , 2, 1），向量的坐標(biāo)為（2, 1, J）,所以這兩個(gè)向量的夾角B滿足cosEABF(l)x2 + 2xl + lx(l)=I 甌 I 丨喬丨二 J(一1)2 + (2)2 + (1)2 J(2)2 + (1)2 + (1)2 二_6 .所以直線A.E與直線B|F所成的角的余弦值£為&小結(jié)：上述解

4、法中，解法一要求有良好的作 圖能力，且能夠在作圖完畢后能夠看清楚圖形 中的各個(gè)三角形，然后在所需要的三角形中計(jì) 算出各條線段的長(zhǎng)度，從而完成解三角形得到 角的大小。而解法二不需要學(xué)生作圖，只需建 立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從 而得到所需向量的坐標(biāo)，求出兩個(gè)向量的夾 角，即所求的兩條直線所成的角。當(dāng)然，如果 題中給出的是一可以建立坐標(biāo)系的空間圖形， 比如剛才的正方體，或者說是長(zhǎng)方體，或者說 空間圖形中擁有三條直線兩兩垂直的性質(zhì)，我 們就可以建立空間直角坐標(biāo)系，從而利用向量 的坐標(biāo)表示來求兩個(gè)向量的夾角。如果沒有這 樣的性質(zhì)，我們也可以利用空間向量基本定 理，尋找空間的一組基底（即三個(gè)

5、不共面的向 量，且這三個(gè)向量?jī)蓛芍g的夾角咼已知 的），空間中任何一個(gè)向量都可以用這三個(gè)向 量的線性組合表示出來，因而也可以運(yùn)用向量 的數(shù)乘來求出空間中任意二個(gè)向量間的夾角。例2 :已知空間四邊形ABCD中， AB二BC二CD二DA二AC二BDp , M、N 分別為 BC和AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成的舒 a,求 cosot的值。B、解：由已知得，空間向量屈，忌，而不共 面，且兩兩之間的夾角均為60° o由向量的加法可 以得到£_丄AM = 2 （帀 + 花），NC= 2 AD+AC所以向量麗與向量疋的夾角B （即角oc或者oc的補(bǔ)角）滿足 cqsB=IAM|.|NCI ,

6、其中1AM-NC丄AM NC=2 (AB+AC ).("I AD+ AC )£2 ABAD + ABAC +£(_2 AD) AC + AC AC )£= 2a2 (4 + 24+1)二丄丄AM 2= 2 (ABAC) . 2 (AB-AC)(1+1 + 1)2a2=4 a2;丄_丄NC |2二(2 AD + AC )( "2 AD + AC )丄 _L2二 7+1一3 a2=4 a2o2所以 cosa= I cosA I = 3 o例3 :已知空間四邊形ABCD中，AB二CD=3，E. F分別是BC. AD上的點(diǎn)，F(xiàn)cE且 BE: EOAF:

7、 FD=1: 2，EF二求 AE 和解：取AC上點(diǎn)G，使AG: GC二1: 2OCD所成的角的大小。結(jié) EG. FG，可 知 EG/AB，F(xiàn)G/CD，3EG二2AB , 3FG 二 CD。由向量的 iEF = EG+GF = 3BA+3CD設(shè)向量頁和而的夾角為仏則由訝I(yíng)叫押）.（込押）二 4+l+4cosB=7，丄得cosB二亍，所以AB和CD所成的角為60°。二、利用模型求畀面直線所成的角引理：已知平面a的一條斜線a與平面a所 成的角為6,平面oc內(nèi)的一條直線b與斜線a所 成的角為B,與它的射彬 所成的角為。求 證：cosO= cos® cos02o證明：設(shè)PA是oc的斜

8、線，OA是PA在a上的射 影，OB/b,如圖所示。則ZPAO=61,/OAB=e2,過點(diǎn)（）在平面oc內(nèi)作（）B丄AB,垂足為B,連結(jié)PBo可知PBlABoOAABAB所以 cosOj= PA , cosB二 PA , cosA2= oa o 所以 cosA= cosB cos02o這一問題中，直線a和b可以是相交直 線，也可以是異面直線。我們不妨把叫做線 面角，B叫做線線角，包叫做線影角。很明顯， 線線角是這三個(gè)角中最大的一個(gè)角。我們可以 利用這個(gè)模型來求兩條異面直線a和b所成的 角，即引理中的角仏從引理中可以看出，我們 需要過a的一個(gè)平面cc,以及該平面的一條斜線 b以及b在cc內(nèi)的射影。

9、例4:如圖，MA丄平面ABCD,四邊形MABCD是正方形，且MA二AB=q,試求異直賓賽MB與AC所成的角。p解：由圖可知，直線MB在平面的射影為AB,直線MB與平面ABCD所成的角為45° ,直線AC與直線MB的射影AB所成的角為 45° ,所以直線AC與直MB所成的角為九滿足£cosA=cos45° cos45° =2 ,所以直線AC與MB所成的角為60° o例5:如圖，在立體圖形P-ABCD中，底面ABCD 咼一個(gè)直角梯形，/BAD二90° , AD/BC , AB=BC=a , AD=2a ,且 PA 丄底 ABCD, PD與底面成30°角，AE丄PD于 求異面直線AE與CD所成的角的大小。1解：過E作的平行線EF交AD于F, 由PA丄底面ABCD可知，直線AE在平面ABCD內(nèi)的射影為AD,直線AE與平面ABCD所成的角為/DAE,其 大小為60° ,射影AD與直線CD所成的角為/CDA,其大 小為45° ,所以直線與直線所成的角B滿足V2cosA=cos60° c