1、高等代數(shù)課程教學(xué)大綱課程名稱高等代數(shù)/Advanced Algebra課程編碼10000300410, 課程類型學(xué)科基礎(chǔ)課課程性質(zhì)專業(yè)基礎(chǔ)課適用范圍數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計算科學(xué)專業(yè)、信息安全專業(yè)學(xué)分?jǐn)?shù)8先修課程無學(xué)時數(shù)144 實驗/實踐學(xué)時無課外學(xué)時無考核方式考試 一、教學(xué)大綱說明 （一）課程的性質(zhì)、地位、作用和任務(wù)高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)本科學(xué)生的三門主要基礎(chǔ)課程之一。它不僅是代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是其它數(shù)學(xué)課程必要的前提。該課程是為大學(xué)一年級的學(xué)生開設(shè)的，總課時144學(xué)時，開設(shè)時間為一年。通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生掌握為進(jìn)一步提高專業(yè)知識水平所必需的代數(shù)基礎(chǔ)理論和基本方法。本課程的任務(wù)是使學(xué)生系統(tǒng)

2、地掌握基本的、系統(tǒng)的代數(shù)知識和抽象的嚴(yán)格的代數(shù)方法，為后繼課程如近世代數(shù)、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、泛函分析、計算方法等提供必須具備的代數(shù)知識，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的各門課程所需要的抽象思維能力提供一定的訓(xùn)練。（二）教學(xué)目的和要求通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握高等代數(shù)的基本概念、基本理論與基本方法，熟悉代數(shù)的語言、工具、方法，具有一定理解問題、分析問題、解決問題的能力。為今后的學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。熟練掌握：集合、映射、單射、滿射、雙射的概念，第一、第二數(shù)學(xué)歸納法，帶余除法，不可約多項式，線性方程組的消元法，矩陣的行（列）初等變換，矩陣的秩，初等矩陣的性質(zhì)，可逆矩陣，向量空間的基、

3、維數(shù)，線性相關(guān)與線性無關(guān)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，線性變換，矩陣特征值、特征向量的概念與求法，內(nèi)積的定義，正交變換與正交矩陣，二次型的概念及與其矩陣的對應(yīng)關(guān)系。掌握：整數(shù)的整除性、素數(shù)的性質(zhì)，集合的表示與運算，輾轉(zhuǎn)相除法，綜合除法，多項式的互素，根與系數(shù)的關(guān)系，重因式及其判定，行列式的性質(zhì)，行列式的展開，矩陣的乘法，矩陣的行列式，子空間的交與和，坐標(biāo)，過渡矩陣，線性方程組的特解與通解，線性變換的運算及其形成的向量空間，線性變換的向量空間與矩陣的向量空間的同構(gòu)，矩陣的相似，幾類向量空間的內(nèi)積，Cauchy不等式，正交基與正交化，三維空間中的幾種正交變換，正交變換與正交矩陣的關(guān)系，二次型的矩陣的

4、合同及其求法，對稱矩陣合同于對角矩陣，復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形、實數(shù)域上二次型的慣性定理、規(guī)范形、分類，正定二次型的判定。理解：數(shù)學(xué)歸納法的原理，多項式的分解的存在唯一性定理，典型分解，代數(shù)學(xué)基本定理，復(fù)數(shù)域、實數(shù)域上的不可約多項式，實數(shù)域上的多項式的虛根成對性質(zhì)，本原多項式，數(shù)環(huán)與數(shù)域上多項式的分解的關(guān)系，Gauss引理及其證明，有理數(shù)域上的多項式不可約的判定，行列式的定義，分塊矩陣的方法，矩陣乘積的秩，向量空間的定義，矩陣的相似的意義，特征多項式的性質(zhì)，可對角化的矩陣的判定及其意義，內(nèi)積的作用，正交、對稱變換的意義，主軸的意義與二次型的化簡。了解：代數(shù)運算的概念，多項式的未定元與多項式函數(shù)

5、區(qū)別，行列式的幾種計算與證明方法，多余的方程的去掉，分塊矩陣的初等矩陣，向量空間定義的條件的意義，線性相關(guān)的意義，矩陣的秩的幾何意義，線性變換的意義，核與象，線性變換與矩陣的相互轉(zhuǎn)換，矩陣的等價、相似、合同的意義。（三）課程教學(xué)方法與手段擬采用課堂講授與討論、練習(xí)相結(jié)合的教學(xué)方法，擬采用黑板書寫與PowerPoint多媒體相結(jié)合的教學(xué)手段。（四）課程與其它課程的聯(lián)系高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程之一。數(shù)學(xué)專業(yè)的許多后續(xù)課程，如近世代數(shù)、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、泛函分析、計算方法等都需要本課程作為基礎(chǔ)。（五）教材與教學(xué)參考書教材：張禾瑞、郝鈵新，高等代數(shù)第五版，高等教育出版社，2007年

6、教學(xué)參考書：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室，高等代數(shù)第三版，高等教育出版社，2003年 二、課程的教學(xué)內(nèi)容、重點和難點第一章 基本概念內(nèi)容：本章介紹集合的概念、集合的表示與運算，映射、單射、滿射、雙射的概念及其關(guān)系與性質(zhì)，第一、第二數(shù)學(xué)歸納法原理，數(shù)環(huán)與數(shù)域，以及整數(shù)的整除性。重點：集合、映射的概念，數(shù)學(xué)歸納法原理。難點：映射、單射、滿射。第二章 多項式內(nèi)容：多項式的概念、運算，多項式的帶余除法，最大公因式、互素，不可約多項式，多項式的分解的存在唯一性定理，重因式、典型分解，多項式函數(shù)，復(fù)數(shù)域、實數(shù)域、有理數(shù)域上的多項式。重點：帶余除法、多項式的互素、不可約多項式、多項式的分解的存在唯一性定理

7、、復(fù)數(shù)域、實數(shù)域上的不可約多項式的形式。難點：不可約多項式、多項式的分解的存在唯一性定理。第三章 行列式內(nèi)容：線性方程組的概念，排列的性質(zhì)，行列式的定義，行列式的性質(zhì)，行列式的展開，行列式的計算與證明、行列式的應(yīng)用。重點：（）理解行列式的定義；（）掌握行列式的性質(zhì)；（）掌握行列式的展開；（）掌握行列式的計算與證明的一些方法。難點：行列式的定義，行列式的計算與證明。第四章 線性方程組內(nèi)容：線性方程組與矩陣，線性方程組的初等變換與矩陣的行（列）初等變換，矩陣的秩，線性方程組的可解性的判定與求解，矩陣在行初等變換下化為階梯形，線性方程組的公式解。重點：（）掌握線性方程組的初等變換與矩陣的初等變換；（

8、）準(zhǔn)確理解矩陣的秩；（3）掌握線性方程組的解的確定與可解的判定；（4）掌握線性方程組的公式解。難點：線性方程組的初等變換與矩陣的行（列）初等變換，矩陣的秩在初等變換下不變。第五章 矩陣內(nèi)容：矩陣的加法、數(shù)乘、乘法，初等矩陣的性質(zhì)，可逆矩陣及其兩種求法，矩陣的行列式，分塊矩陣。重點：（）掌握初等矩陣的性質(zhì)與作用；（）熟練掌握可逆矩陣的定義、性質(zhì)及其判定；（）掌握矩陣的乘積的秩及其行列式。難點：初等矩陣的性質(zhì)，可逆矩陣，矩陣分塊。第六章 向量空間內(nèi)容：向量空間的定義、例子，線性相關(guān)與線性無關(guān)，子空間的交與和，基、維數(shù)，坐標(biāo)，同構(gòu)，矩陣的秩的幾何意義，齊次線性方程組解空間的結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)解系。重點：（）

9、準(zhǔn)確理解向量空間的定義；（）熟練掌握向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)，替換定理；（）熟練掌握向量空間的基、維數(shù)的定義、性質(zhì)；（）理解坐標(biāo)的意義，掌握過渡矩陣；（）明確矩陣的秩的幾何意義；（）掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及其解空間的結(jié)構(gòu)，會求線性方程組的特解與通解。難點：向量空間的定義，子空間的和，向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)，過渡矩陣，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。第七章 線性變換內(nèi)容：線性映射的定義，線性變換的運算及其形成的向量空間，線性變換的向量空間與矩陣的向量空間的同構(gòu)，矩陣的相似，不變子空間，特征值、特征向量，特征子空間，特征多項式，可以對角化的矩陣的判定及對角化方法、意義。重點：（）線性變換的相關(guān)概

10、念、運算及其形成的向量空間；（）理解線性變換的向量空間與矩陣的向量空間的同構(gòu)；（）熟練掌握矩陣的相似及其意義；（）熟練掌握矩陣特征值、特征向量的概念與求法，特征多項式的性質(zhì)；（）熟練掌握可以對角化的矩陣的判定；（）熟練掌握對角化方法。難點：線性變換的核，線性變換的向量空間與矩陣的向量空間的同構(gòu)， 可以對角化的矩陣的判定，矩陣的對角化方法。第八章 歐氏空間內(nèi)容：向量的內(nèi)積的定義、性質(zhì)，幾類向量空間的內(nèi)積，Cauchy不等式，正交基與正交化，正交變換與正交矩陣，對稱變換與對稱矩陣，酉空間、酉變換、酉矩陣。重點：（）掌握向量的內(nèi)積的定義、性質(zhì)，幾類向量空間的內(nèi)積，Cauchy不等式；（）掌握正交、正

11、交組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念與性質(zhì)，會將一個線性無關(guān)組正交化；（）熟練掌握正交變換與正交矩陣的概念、性質(zhì)及其關(guān)系，三維空間中的幾種正交變換：旋轉(zhuǎn)、反射及其合成；（）掌握對稱變換與對稱矩陣的關(guān)系，對稱矩陣的對角化。難點：向量的內(nèi)積的定義，幾類向量空間的內(nèi)積的不同定義形式，線性無關(guān)組的正交化，正交變換與正交矩陣的關(guān)系。第九章 二次型內(nèi)容：二次型的概念及與其矩陣的對應(yīng)關(guān)系，矩陣的合同及其求法，對稱矩陣合同于對角矩陣，復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形、實數(shù)域上二次型的慣性定理、規(guī)范形、分類，正定二次型的判定，主軸問題，雙線性函數(shù)。重點：（）掌握二次型的概念及與其矩陣的對應(yīng)關(guān)系，對稱矩陣合同于對角矩陣，矩陣的合同的求法；（）掌握復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形；（）掌握實數(shù)域上二次型的慣性定理、規(guī)范形、分類；（）掌握順序主子式，正定二次型的判定；（）對于實對