1、中南傳媒湖南新教材杯二0一九年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試卷(測(cè)試時(shí)間：2021年6月30日9：00-11：30,總分值150分)題號(hào)111213141516總分得分評(píng)分人復(fù)核人一、填空題(共10小題,每題7分,總分值70分.請(qǐng)直接將答案寫在題中的橫線上)1、a2-2,LN=卜卜2WxKa,J?=2x+3,x幺,C=/=xxwl7、一知函數(shù)/(k)=,1,1假設(shè)11.7(小)=火力那么一切的最小值是./+5,爛1,228、橢圓二+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為H、B,過橢圓的仃焦點(diǎn)作一條直線/交橢圓于點(diǎn)43尸、.,那么v,.內(nèi)切陰而枳的最大值是.9、J知x0,yOH!+=1,那么x+2y的最小值為

2、.2x+yv+1-10、定義兩點(diǎn)尸(演,乂),.(占,為)之間的“坐標(biāo)距離為:d(PyQ)=xl-x2+yl-y2,假設(shè)C(x,y)到點(diǎn)4(1,3),3(6,9)的“坐標(biāo)距離相等,其中實(shí)數(shù)y滿足0GY10,0W10,那么所有滿足條件的點(diǎn)C的軌跡的長(zhǎng)之和為二、解做題(共6小題,總分值80分.要求寫出解題過程)11、(13分)一知間量“7=(cos),-l),=(JJsin工cos：?),設(shè)函數(shù)/(x)=八+1.222(1)假設(shè)?.、三,/()=日,求85?的值；在A48C中,角4,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,IL滿足2bcosNW2.一屈,求/(B)的取值范圍.12、(13分)2021年數(shù)學(xué)奧

3、林匹克競(jìng)賽試行改革:某一在高二一年中舉行5次聯(lián)合競(jìng)賽,學(xué)生如果其中2次成績(jī)到達(dá)該市前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn),不用參加其余的競(jìng)賽,向每個(gè)學(xué)生.最多也只能參加5次競(jìng)賽.規(guī)定：假設(shè)前4次競(jìng)賽成績(jī)都沒有達(dá)全市前20名,那么第5次不能參加競(jìng)賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績(jī)達(dá)全市前20名的概率都是工,每次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)全巾前20名.杏人相獨(dú)匕4(1)求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.(2)如果該學(xué)生進(jìn)入行隊(duì)或參加完5次競(jìng)賽就結(jié)束,記該學(xué)生參加競(jìng)賽的次數(shù)為求J的分布IL%+i=(“=2,3,4,).n-a列及J的數(shù)學(xué)期2!.13、(13分)數(shù)列4中,q=1,.2=一,.4(1)求數(shù)列勺的通項(xiàng)公式;(2)求證：對(duì)一切e仃hl14、(

4、13分)三棱錐尸N5C(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中,四邊形ZBCD為邊長(zhǎng)等的正方形,.4BE和ABC戶均為正三角形,在三棱錐P/15C中:(I)證實(shí)：平而尸4c,平面Z8C；(II)假設(shè)點(diǎn)M為棱PA上一點(diǎn)IL生=求二面向P-BC-M的余弦值.MA2F圖1圖215、(14分)己知橢圓E：二十二=1(.b0),其短軸為4離心率為弓,雙曲線-2_=1.-6mn(7W0,0)的漸近線為y=x,離心率為,且烏,.2=L(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為產(chǎn),過點(diǎn)G(4,0)作斜率不為0的直線交橢圓E于N兩點(diǎn),設(shè)直線五必和FN的斜率為尢,k2f試判斷M+4是否為定值,假設(shè)是定值,求出該定值

5、;假設(shè)不是定值,請(qǐng)說明理由.16、(14分)函數(shù)/(x)=x-L-hiv.X(1)7?/(x)=a-lavlx=xl,CiW)處導(dǎo)數(shù)相等,證實(shí)：/()+/(2)3-21n2；(2)假設(shè)對(duì)于任意底(e,l),直線尸Ax+b與曲線y=都仃唯一公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)6的取值范圍.中南傳媒湖南新教材杯二0一九年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題共10小題,每題7分,總分值70分.請(qǐng)直接將答案寫在題中的橫線上題號(hào)12345678910答案I3.(-Hac仍33-211129一穴16f仍+二、解做題共6小題,總分值80分.要求寫出解題過程11、13分向量7=以圮5,1,=JJsing,c

6、os;g,設(shè)函數(shù)/x=八+1./X=,求COSX的值;102在ZUBC中,角4,B,C的對(duì)邊分別是o,b,小且滿足28cosNW2c-JJa,求/3的取值范|機(jī)xx解：(1)/(x)=V3sincos-cos222X6.+1=sinx-22l+cosx+1222262./(X)=sin(x一今=w；又.X0,1J,.10652亦否/冗、4一片“不即cosy三rz7C7t717t.71.7tcosx=cos(x)HI=cos(x)cossin(x)sin=6666661010(2)rll2bcosA2c-6a得：2sin3cosA2sin/3sinA=2sincoszl2sin(4+4)-6si

7、n4=2sin5cosJ/3sinA=cosB-=Bsin(B-)e,0,即/(3)=sin(5-C)+=/(3)e0,一6262213分12、13分2021年數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試行改革：某市在高二一年中舉行5次聯(lián)合競(jìng)賽,學(xué)生如果其中2次成績(jī)到達(dá)該市前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn),不用參加其余的竟賽,而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次競(jìng)賽.規(guī)第1頁(yè),共6頁(yè)定：假設(shè)前4次競(jìng)賽成績(jī)都沒有達(dá)全市前20名,那么第5次不能參加競(jìng)賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績(jī)達(dá)全市前20名的概率都是!,每次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)全市前20名與否互相獨(dú)立.41求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.2如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競(jìng)賽就結(jié)束,記該學(xué)生參加競(jìng)賽的次數(shù)為g,求

8、g的分布列及g的數(shù)學(xué)期望.解：1記“該生進(jìn)入省隊(duì)的事件為事件力,其對(duì)立事件為了,.尸4=1-尸7=1-哉=/5分2該生參加競(jìng)賽次數(shù)g的可能取值為2,3,4,56分P(J=2)=4116,值=3)=C；1313XXX=44432P(44)=C；3-4zfkX1-4X73-4/(27-64=81一256+P(J=5)=C；x.2764故?的分布歹！為:92345P1163322764276413分j)=2x,+3xa+4x旦+5、2=絲v7163264646413、13分?jǐn)?shù)列%中,4=1,4=；且5+1=(=2,3,4,).1求數(shù)列象的通項(xiàng)公式;72求證：對(duì)一切wN*,有；一.*=i6解：1ill

9、-知,對(duì)“22仃11%一1.-1.兩邊同除以“得%一1*心T,=770Hd-12,a、771所以一1%-1-a.=377277132乂=1時(shí)也成立9故明3n-22當(dāng)片22,有ak=73A一22=T3人一43人一133人一43k-l,所以22時(shí),有JJ1/1、/1、AZ%=l+Zl+W彳-？+-1+4+3一4317-13123n-i+l=266乂=1時(shí),a；=!-.16故*j,切k=l013分14、13分三棱錐PNBC如圖1的平而展開圖如圖2中,四邊形4BCD為邊長(zhǎng)等于2J5的正方形,.4BE和水下均為正三角形,在三棱錐中:I證實(shí):平面R4C_L平面N3C；PM1II假設(shè)點(diǎn)、M為梭R4上一點(diǎn)|.

10、一=一,求二面角PBC的余弦值.MA2解：(I)設(shè),4C的中點(diǎn)為O,連接50,PO.由題意,得PA=PB=PC=20,尸0=2,AO=BO=CO=2.布4c中,PA=PC,O為月.的中點(diǎn),:.POLAC,;在PO8+1,尸0=2,05=2,P3=20,PO?+OB?=PB：.PO1OB.pD尸0609其短軸為4,離心率為馬,雙曲線=1ffi0,匕mnn0的漸近線為J=x,離心率為電,且.2=1,1求橢圓E的方程；2設(shè)橢圓石的右焦點(diǎn)為尸,過點(diǎn)G4,0作斜率不為0的宜線交橢圓E于M,N兩點(diǎn),設(shè)直線和EV的斜率為及,試判斷勺+&是否為定值,假設(shè)是定值,求出該定值；假設(shè)不是定值,請(qǐng)說明理由.解：(1)

11、由題意可知：2Z)=4,b=2=y/2,那么橢做I的離心率為el=橢I員1的離心率ex-=1,雙iih線的離心率in那么.=2應(yīng).,橢I川的標(biāo)準(zhǔn)方程：+2-=1.84v=(x-4)(2)設(shè)直線的方程為歹=左.-4)/工0).3-21n2；x(2)假設(shè)對(duì)于任意人(-00,1),直線y=與曲線y=/(x)都有唯一公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：(1)/(X)=l+-4-,令/(工1)=/(%2)=、,得,JTX_L-l+i-w=o+1-777=0&X2llI韋達(dá)定理得L+=1,即Aj+Aj=X1-X2,得$?24,XlX2:.f(xl)+f(x2)=(xl+x2)-+-(Im-J+liu-2)=xx2-In(工用)T,4,那么工/“2TnCiiR-l=f-hT,令g(f)=f-Inf-1(,4),那么g)=1-0(/4