1、word相似三角形一、 知識概述1.平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2.平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。3.相似三角形的定義對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等的兩個三角形叫做相似三角形4.相似三角形的根本性質(zhì)相似三角形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形的周長比等于相似比面積比等于相似比的平方溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例相似比具有順序

2、性例如ABCABC的對應(yīng)邊的比，即相似比為k，那么ABCABC的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r，才有k=k=1相似比是一個重要概念，后繼學(xué)習(xí)時出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出5. 相似三角形的判定定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或其延長線相交，所得的三角形與原三角形相似；三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。溫馨提示：1判定三角形相似的幾條思路：條件中假設(shè)有平行，可采用判定定理1；條件中假設(shè)有一對角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?，可再找一對角相等或找夾邊對應(yīng)成比例；條件中假設(shè)

3、有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；但是，在選擇利用判定定理2時，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等條件中假設(shè)有等腰關(guān)系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對應(yīng)成比例。2在綜合題中，注意相似知識的靈活運(yùn)用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量代換技巧的應(yīng)用，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力。3運(yùn)用相似的知識解決一些實(shí)際問題，要能夠在理解題意的根底上，把它轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)知識的問題，要注意培養(yǎng)當(dāng)數(shù)學(xué)建模的思想。6. 位似定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比因此，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖

4、形不一定是位似圖形性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比 注意：1位似圖形是相似圖形的一個特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形2兩個位似圖形不僅相似而且對應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊平行或在同一直線上7.三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中點(diǎn)的距離的兩倍二、 相似三角形解題思路：1、尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項(xiàng)根本功通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是

5、對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角2、常見的相似三角形的根本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比擬，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法如： (1)“平行線型相似三角形，根本圖形見上節(jié)圖“見平行，想相似是解這類題的根本思路；(2)“相交線型相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個公共角或?qū)斀恰耙娨粚Φ冉?，找?/p>

6、一對等角或夾等角的兩邊成比例是解這類題的根本思路；(3)“旋轉(zhuǎn)型相似三角形，如圖假設(shè)圖中1=2，B=D(或C=E)，那么ADEABC，該圖可看成把第一個圖中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的溫馨提示：從根本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線以上“平行線型是常見的，這類相似三角形的對應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型識圖較困難，解題時要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出根本圖形相似三角形專題分類練習(xí)講解題型一：線段的比、黃金分割1.在比例尺1：10000的地圖上，相距2cm的兩地的實(shí)際距離是 A200cm B200dm C200m D200km2.假設(shè)

7、那么以下各式中不正確的選項(xiàng)是 A B CD3.假設(shè)，那么=_；，那么=_；，且，那么。4.假設(shè)且，那么=_。5.2和8的比例中項(xiàng)是_；線段2與8的比例中項(xiàng)為_。6.a ：b ：c2 ：3 ：4，且2a3b2c10，求a， b，c的值。題型二：相似的性質(zhì)1.如果兩個相似三角形的面積比為34，那么它們的周長比為_。2.ABCDEF，且AB：DE=1：2，那么ABC的面積與DEF的面積之比為 3.如圖,DEBC，ADBD=23，那么ADE的面積四邊形DBCE的面積=_。4.如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線，那么下面四個結(jié)論：1DE=1，2CDECAB，3CDE的面積與CAB的面積之

8、比為1：4.其中正確的有：_個5.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ADE與BCE面積之比為4 ：9，那么ADE與ABE面積之比為_6.平行四邊形ABCD中，AB=28，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=EF=FC，DE交AB于點(diǎn)M，MF交CD于點(diǎn)N，那么CN=_。ABC DE第3題 第4題 第5題 第6題7.如圖，平行四邊形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，AC，DE把平行四邊形ABCD分成的四局部的面積分別為S1，S2，S3，S4下面結(jié)論：只有一對相似三角形；EF：ED=1：2；S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正確的結(jié)論是 A B C D8.如圖，大正方形中有2個

9、小正方形，如果它們的面積分別是S1、S2 ，那么S1、S2的大小關(guān)系是 A S1 S2 B. S1 = S2 C. S1S2 D. S1、S2 的大小關(guān)系不確定9.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，且AEEB21，AFDE于G交BC于F，那么AEG的面積與四邊形BEGF的面積之比為 A.12 B.14 C.49 D.2310.如圖，DEBC，CD和BE相交于點(diǎn)O，49，那么AEEC為 A.21 B.23 C.49 D.5411.三個邊長為2，3，5的正方形按圖4排列，那么圖中陰影局部的面積為_第7題 第8題 第9題 第10題 第11題12.如圖在ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，

10、D、E分別在AB、AC上，AHBC交DE于M，DGDE12，BC12 cm，AH8 cm，求矩形的各邊長。13.如圖，正方形ABCD中，AB2，E是BC的中點(diǎn)，DFAE，F(xiàn)為垂足，求DFA的面積和四邊形CDFE的面積。題型三：相似的有關(guān)證明1.：如圖，梯形ABCD中，ABDC，E是AB的中點(diǎn)，直線ED分別與對角線AC和BC的延長線交于M、N點(diǎn)NDCAEBM求證：MD：MEND：NE2.如圖，D在AB上，且DEBC，交AC于E，F(xiàn)在AD上，且，求證：AEFACD3.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且AFE=B1求證：ADFDEC；2假設(shè)AB

11、=8，AD=6，AF=4，求AE的長題型四：函數(shù)與相似1. 如圖，正方形ABCD中，AB1，G為DC中點(diǎn)，E為BC上任一點(diǎn)，E點(diǎn)與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合設(shè)BE，過E作GA平行線交AB于F，設(shè)AFEC面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。2.如圖，ABCD是矩形，AH2，HD4，DE2，EC1，F(xiàn)是BC上任一點(diǎn)F與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合，過F作EH的平行線交AB于G，設(shè)BF為，四邊形HGFE面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。3.如圖，有一塊直角梯形鐵皮ABCD，AD3cm，BC6cm，CD4cm，現(xiàn)要截出矩形EFCG，E點(diǎn)在AB上，與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合，設(shè)BE，矩形EFCG周長

12、為，1寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量取值范圍；2取何值，矩形EFCG面積等于直角梯形ABCD面積的。ABOPCxy4.如圖，拋物線yx 21與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C1求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)2過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積3在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MGx軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似？假設(shè)存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否那么，請說明理由5.如圖，ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求證：AE=CE;(3)設(shè)拋

13、物線與y軸交于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F， 試問以A、B、F，為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似嗎？請說明理由 題型五、圓與相似1.2022綏化如圖，點(diǎn)A，B，C，D為O上的四個點(diǎn)，AC平分BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE=4，CD=6，那么AE的長為A.4 B.5 C.6 D.72.如圖，AB為O的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，DEAC交AC的延長線于E，O的切線BF交AD的延長線于點(diǎn)F。(1)求證：DE是O的切線；(2)假設(shè)DE3，O的半徑為5，求BF的長。3.如圖，RtABC中，C=90，O為直角邊BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓恰好與斜邊AB相切于點(diǎn)D，與BC交于另一點(diǎn)E1求證：AOCAOD；2

14、假設(shè)BE=1，BD=3,求O的半徑及圖中陰影局部的面積S4.如圖O是ABC外接圓，AB是直徑，D是AB延長線上一點(diǎn)，AEDC的延長線于點(diǎn)E，且AC平分EAB。1求證:DE是O的切線；(2) 假設(shè)AB=6, AE=4, 求BC和BD的長5.2012遼寧如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，CAB的平分線交O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E，連接BC交AD于點(diǎn)F。1猜測ED與O的位置關(guān)系，并證明你的猜測；2假設(shè)AB6，AD5，求AF的長。6.2022十堰如圖1，ABC中，CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，ODCA于點(diǎn)D，OECB于點(diǎn)E，以O(shè)為圓心，OD為半徑作O1求證：O與CB相切于點(diǎn)E；2如

15、圖2，假設(shè)O過點(diǎn)H，且AC=5，AB=6，連接EH，求BHE的面積題型六、因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似問題1D是ABC的AB邊上一點(diǎn)，過A、D及三角形邊上的一點(diǎn)E的三角形與ABC相似，畫出示意圖。DACBCABDD是RtABC的BC邊上一點(diǎn)，過C、D及三角形邊上的一點(diǎn)E的三角形與ABC相似，畫出示意圖。2RtOAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，P3，4為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動點(diǎn)，線段PC把RtOAB分成兩局部，問點(diǎn)C在什么位置時，分割得到的三角形與OAB相似？畫出所有符合要求的線段，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)。第2題 第3題 第4題3在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A4，0，B0，2，如果點(diǎn)C在x軸上C與A不重合，當(dāng)點(diǎn)C

16、的坐標(biāo)為 時，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與AOB相似。 4：如圖，P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3，BFBP，垂足為B，請?jiān)谏渚€BF上找一點(diǎn)M，使以B、M、C為頂點(diǎn)的三角形與ABP相似。5. 正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時，保持AM和MN垂直.1證明：RtABMRtMCN；DBAMCN2設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積；3當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時RtABMRtAMN，求此時x的值.6. 如圖，在ABC中，BAC=90，AD是BC邊上的高，

17、E是BC邊上的一個動點(diǎn)不與B,C重合，EFAB,EGAC，垂足分別為F,G1求證：；2FD與DG是否垂直？假設(shè)垂直，請給出證明；假設(shè)不垂直，請說明理由；3當(dāng)AB=AC時，F(xiàn)DG為等腰直角三角形嗎？并說明理由 7.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如下圖，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A6，0，C0，3，直線x與BC邊相交于D點(diǎn)1求點(diǎn)D的坐標(biāo)；2假設(shè)拋物線yax 2x經(jīng)過點(diǎn)A，試確定此拋物線的表達(dá)式；3設(shè)2中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，以P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與OCD相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)6yxOCDB-3xA8如圖，拋物線yx2x2與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交

18、于點(diǎn)C1求證：AOCCOB；xyACBODPQ2過點(diǎn)C作CDx軸交拋物線于點(diǎn)D假設(shè)點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個單位的速度由A向B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CD上也以每秒1個單位的速度由D向C運(yùn)動，那么經(jīng)過幾秒后，PQAC9如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x 軸上截得的線段AB的長為6.求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QAB與ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由題型三：位似1.如下圖，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形ABCDE.OA10 cm，OA20 cm，那么五邊形ABCDE的周長與五邊形ABCDE的周長的比值是_2.如圖，在68的網(wǎng)格圖中，每個小正